1、2017 年湖南省教师公开招聘考试（中学数学）真题试卷精选及答案与解析一、选择题1 若 A=(x， y)x+3 + =0，B=一 3，1，则必有( )。（A）（B） AB（C） AB（D）A=B2 将函数 f(x)=ex 的图像向左平移一个单位得到图像 C1，再将图像 C1 向上平移一个单位得到 C2，作出 C2 关于 y=x 的对称图像 C3，则 C3 对应的函数解析式为( )。（A）y=ln(x-1)+1（B） y=ln(x-1)一 1（C） y=ln(x+1)+l（D）y=ln(x+1)一 13 为使方程 x2+(a+2i)x+3+ai=0(i 是虚数单位)至少有一个实数根，则实数 a
2、的取值为( )。（A）a4（B） a一 4（C） a4 或 a一 4（D）4 若存在实数 a，b 使得 mex 一 x0 的解集为a ，b ，则 m 的取值范围是( )。5 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)的周期为 3，若 f(一 1)=0，则在区间(0，6)内满足f(x)=0 的解至少有( )个。（A）4（B） 5（C） 6（D）76 由 x=e，y=2x 及曲线 所围成的封闭图形的面积为( )。（A）3+1n2（B） e23（C） 3（D）e7 点 F 为双曲线 (a，b0)的焦点，过点 F 的直线与双曲线的一条渐近线垂直且交于点 A，与另一条渐近线交于点 B，若 ，则双曲线的离心率是
3、( )。8 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 6，E 是 AB 的中点，点 P 是面 BB1C1C 上的一动点，其满足DPC=EPB，则三棱锥 P-ABC 体积的最大值为( )。（A）36（B）（C） 24（D）9 对方程 4xx+9yy+36=0 ，有如下叙述： x 与 y 具有函数关系，x+y0，当 x0 时，y一 2，y 可能随 x 的增大而增大，点(x，y)不会在第一象限，其中论断错误的个数是( )。（A）4（B） 3（C） 2（D）110 如图是一个算法的程序框图，若此程序运行结果为 S=3，则在判断框中应填入关于 i 的判断条件是( ) 。（A）i79（B） i87
4、（C） i97（D）i107二、填空题11 在ABC 中，若 2sinA+cosB=2，sinB+2cosA= ，则 C 的大小应为_。12 已知实数 x，y 满足不等式组 则 z=x+2y 的取值范围为_。13 在 RtABC 中，已知 D 为斜边 AB 上的中点，点 P 在线段 CD 上，且满足CP= PD ，则三、解答题14 某项闯关挑战赛设有 A，B 两个关卡，A，B 关卡依次进行，只有闯过关卡 A，才能进入关卡 B，A，B 关卡均有 2 次挑战机会，现有人参与挑战，其顺利通过关卡 A 的概率是 ，其顺利通过关卡 B 的概率是 ，假设各次挑战互不影响。 (1)求其顺利闯关的概率； (2
5、)假设其不放过每次机会，记参加挑战的次数为 ，求 的数学期望 E。15 已知在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，AD=2，AB=1，PA平面ABCD，E，F 分别是线段 AB，BC 的中点，G 为 PA 上的点，且 PG=3GA。(1)证明：PFFD；(2)证明：EG平面 PDF；(3)若PA=1，求二面角 APDF 的余弦值。16 已知数列a n中，a 1=1， (1)求数列a n的通项公式；(2) 设17 已知函数 f(x)=xlnx+1， (1)求函数 f(x)的单调区间； (2)对一切 x(0，+)，2f(x)3x2+2x+3 恒成立，求实数 a 的取值范围。18 已知
6、抛物线 C：y 2=4x 的焦点 F，过点 F 的直线 l 与抛物线 C 交于 A，B 两点，过点 K(一 1，0) 与点 A 的直线 l与抛物线 C 相交于另一点 D。(1)求证：B，D 关于 x 轴对称； (2)若作AB 的垂直平分线与抛物线 C 交于 M，N 两点，以 MN 为直径的圆恰好经过 A，B两点，求直线 l 的方程。2017 年湖南省教师公开招聘考试（中学数学）真题试卷精选答案与解析一、选择题1 【正确答案】 A【试题解析】 A=(x ，y)x+3+ =0=(一 3，1)，是一个点集，而集合B 是一个数集，两个集合所包含的元素属性不同，所以 。2 【正确答案】 B【试题解析】
7、f(x)=e xC 1：y=e x+1C 2：y=e x+1+1C 3：x=ln(y1)一 1，所以 C3对应的函数解析式为 y=ln(x 一 1)一 1。3 【正确答案】 D【试题解析】 设 x0 是方程实根，即 x0v+(a+2i)x0+3+ai=0，整理得x02+ax0+3+(2x0+a)i=0，由复数相等的充要条件可得4 【正确答案】 D【试题解析】 令 f(x)=mex 一 x，则 f(x)=mex 一 1。当 m0 时 f(x)0，此时 f(x)在定义域 R 上单调递减，不满足题意；当 m0 时，令 f(x)=0，得5 【正确答案】 B【试题解析】 由题意知,f(-1)=0 ，f(
8、0)=0 ，f(2)=f(一 1+3)=0，所以在 f(x)的一个周期一 1，2 内， f(x)在整数点上的函数值都是 0，由函数的周期性可知，当 xZ 时，f(x)=0，所以在区间 (0，6)内满足 f(x)=0 的解至少有 5 个。6 【正确答案】 B【试题解析】 S= 1e(2x 一 )dx=(x2 一 2lnx) 1e=e2 一 3。7 【正确答案】 A【试题解析】 双曲线的渐近线方程为垂直，则 FA 的方程为8 【正确答案】 B【试题解析】 由DPC=EPB，得 RtEPBRtDPC，要使体积最大，只需 h 最大即可。在面 BB1C1C 内建立平面直角坐标系，如图， 设P(x0，y
9、0)，则有 PC=2PB，即 整理得 y02=一 x02+16x0-48=(x0 一 8)2+16，又 x00，6 ，所以当 x0=6 时取得最大值，此时9 【正确答案】 C【试题解析】 在直角坐标系的四个象限内分别讨论方程 4xx+9yy+36=0：第一象限，原方程化简得在第二象限的部分；第三象限，原方程化简的在第四象限的部分。因此，每一个 y 都有唯一的 x 与之对应，即 x 与 y 具有函数关系，其大致图像如图所示（曲线部分）。所以论断正确，论断错误。下面说明论断错误，考虑第四象限双曲线在第四象限部分相交。设交点横坐标为 x0，则当 xx 0 时，满足原方程的 x，y，有 x+y0。10
10、 【正确答案】 C【试题解析】 由程序框图知所以当 i=9时，此程序运行结果为 S=3。所以判断框中应填入关于 i 的判断条件是“i97”。二、填空题11 【正确答案】 【试题解析】 对 2sinA+cosB=2， 两边分别平方后两式相加，化简得，2(sinAcosB+cosAsinB)=1整理得12 【正确答案】 。【试题解析】 可行域如图所示， 可以解得 在 B(1，2)处取得最大值，即z=5。所以 z=x+2y 的取值范围为13 【正确答案】 10。【试题解析】 如图 1，设CP=PD =x，AD=BD =2x，在 APAD 中，由余弦定理得。PA 2=AD 2+PD 2-2ADPDco
11、s ADP=5x2-4xvcosADP，同理在PBD 中，由余弦定理得，PB 2=BD 2+PD 2 一 2BDPDcos BDP=5x2 一4x22cosBDP。由于 cosBDP=cos(ADP)=一 cosADP，所以 +得，PA 2+PB 2=10x2。所以三、解答题14 【正确答案】 (1)用 Ai 表示选手第 i 次成功挑战关卡 A，B i 表示选手第 i 次成功挑战关卡 B，i=1 或 2。选手成功挑战 A 关卡的概率(2)=2，即选手两个关卡都一次挑战成功，或挑战两次 A 关卡都没有成功，所以 =3，即选手挑战关卡 A 第一次失败第二次成功，继续挑战关卡 B 一次成功，或挑战关
12、卡 A 一次成功，接着挑战关卡 B 第一次不成功，继续挑战第二次。所以=4，即选手挑战关卡 A 第一次失败第二次成功，接着挑战关卡 B 一次失败，继续挑战第二次，所以所以 的分布列为15 【正确答案】 几何法： (1)连接 AF，在底面 ABCD 中，AB=BF=CF=CD=1，则AFB=DFC=45， AFD=90，所以 FDAF。又 PA平面 ABCD，FD 平面ABCD，所以 FDPA 所以 FD面 PAF，进而证得 FDPF。 (2) 如图 1，取 FD 的中点 H，连接 EH，过 G 作 GKAD 交PD 于 K，连接 HK。则 EH 是梯形 ABFD 的中位线，EHAD，且所以 E
13、G平面 PDF。 (3) 如图 2， 取 AD 的中点M，连接 FM，则 FM面 PAD，且 AFPD 在面 PAD 上的投影为 AMPD 设二面角A 一 PDF 为 ，由面积射影定理得， 。下面求两个三角形的面积，已知 AB=PA=1，AD=2，所以 PF2=PA2+AF2=PA2+AB2+BF2=316 【正确答案】 (1)已知(2)由(1)知17 【正确答案】 (1)函数 f(x)的定义域(0，+)，f(x)=lnx+1，令 f(x)=0，得上单调递增。(2)不等式 2f(x)3x2+2ax+3 对一切 x(0，+)恒成立，可得当 0x1 时，h(x)0，当 x1 时，h(x) 0，所以
14、 x=1 是 h(x)的极大值点，也是最大值点，最大值 h(1)=一 2。所以 a一 2。18 【正确答案】 (1)由题意知焦点 F(1，0)，K(一 1，0)。设 A(xA，y A)，B(x B，y B)，D(xD，y D)。由题意可知，直线 l，l和坐标轴不垂直。可设直线 l 的方程为x=my+1(m0)，直线 l的方程为 x=m1y-1(m10)。则 直线 l的方程与抛物线方程联立可得 y2 一 4my 一 4=0，所以 yA+yB=4m，y AyB=4。直线 l的方程与抛物线方程联立可得 y2-4m2y+4=0，所以 yA+yD=4m2，y AyD=4。所以所以，B，D 关于 x 轴对称。(2)设 M(xM， yM)，N(x N，y N)。由(1)中计算可知， AB 的中点坐标 E(2m2+1，2m)，弦长 又直线 MN 的斜率为一 m，所以直线 MN 的方程为 y=一 mx 一(2m 2+1)+2m，整理得如图所示， 以 MN 为直径的圆恰好经过 A，B 两点，等价于化简得 m2=1，所以 m=1，直线 l 的方程为 x-y 一 1=0 或 x+y 一 1=0。
