1、湖南省教师公开招聘考试（中学数学）历年真题试卷汇编 1 及答案与解析一、选择题1 为得到函数 y=cos(2x )的图像，只需将函数 y=sin2x 的图像( )2 方程 2+3x 1= 的解为 ( )（A）0（B） 1（C） 2（D）123 如图，正方形 ABCD 的边长为 1，延长 BA 至 E，使 AE=1，连接 EC，ED，则sinCED=( )4 形如 45132 这样的数叫做“五位波浪数” ，即十位数字、千位数字均比它们各自相邻的数字大，则由 1，2，3，4，5 可构成不重复的“五位波浪数” 的概率为( )5 设函数 y= 的定义域为 M，集合 N=yy=x 2，x R，则 MN
2、等于( )（A）（B） N（C） 1，+)（D）M6 已知等比数列a n中有 a3a11=4a7，数列b n是等差数列，且 a7=b7，则 b5+b9=( )（A）2（B） g（C） 8（D）167 下列命题中是假命题的是( )（A）在ABC 中，cos2Acos2B 是 AB 的充要条件（B） a0，函数 f(x)=ln2x+lnx-a 有零点（C） ，R，使 cos(+)=cos+sin（D） R，函数 f(x)=sin(2x+)都不是偶函数8 右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是( )（A）9（B） 10（C） 11（D）12二、填空题9 向量 a=(一 1，1
3、)在向量 b=(3，4) 方向上的投影为_10 已知函数 f(x)的图像在点 M(1，f(1)处的切线方程是 2x-3y+1=0，则 f(1)+f(1)=_11 (1+ )(1+x)4 的展开式中含 x2 的项的系数为_ 12 0x(2t-2)dt-30，则 x 的取值范围是_13 已知 x 与 y 之间的一组数据： 则 y 与 x的线性回归方程为 y=bx+a 必过点_14 已知双曲线 kx2 一 y2=1 的一条渐近线与直线 2x+y+1=0 垂直，那么双盐线的离心率为_15 如图所示的程序框图输出的结果为_三、解答题15 如图，ACD 是等边三角形， ABC 是等腰直角三角形，ACB=9
4、0，BD 交AC 于 E，AB=216 求 cosCBE 的值；17 求 AE 的长17 如图所示，在四棱锥 P-ABCD 中，PA 底面 ABCD，且底面 ABCD 是直角梯形，且 ABCD，BAD=90，PA=AD=DC=2，AB=418 求证：BC PC；19 若 F 为 PB 的中点，求证： CF平面 PAD19 现有甲，乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是 12 万元，118 万元，117 万元的概率分别为 ；已知乙项目的利润与产品价格调整有关，在每次调整中价格下降的概率为 P(0P1)，记乙项目产品价格在一年内进行 2 次独立调整，设乙项目产品价格在一年内的下降次数为 ，
5、对乙项目再投资十万元， 取 0，1，2 时产品价格在一年后的利润是 13 万元，125 万元，02 万元，随机变量 1， 2 分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润 20 求 1， 2 的概率分布列和数学期望 E1，E 2；21 当 E1E 2 时，求 P 的范围21 已知 a0 且 aR，函数 f(x)=asinxcosx +2 的最小值为 g(a)22 求函数 g(a)的表达式；23 求函数 g(a)的值域；24 找出所有使 g(a)=g( )成立的实数 a24 已知数列a n满足 a1=2，a n1 =3an+3n1 一 2n(nn*)25 设 bn= ，证明：数列b n为等差数
6、列，并求数列a n的通项公式；26 求数列a n的前 n 项和 Sn；27 设 Cn= (nN*)，是否存在 kN*使得 CnCk 对一切正整数 n 均成立，并说明理由湖南省教师公开招聘考试（中学数学）历年真题试卷汇编 1 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 A【试题解析】 y= ，只需将y=sin2x 的图像向左平移 个单位即可得到函数 y=cos(2x )的图像2 【正确答案】 B【试题解析】 2+3 x1 = ，(3 x)2一 3x 一 6=0，(3 x 一 3)(3x+2)=0，故 3x=一 2(舍去)，3 x=3，故 x=1，选 B3 【正确答案】 B【试题解析】 由题设及图知CE
7、D= AED 一AEC，又正方形 ABCD 的边长为1，AE=1，tanAED=1，tan AEC= ，tanCED=tan(AED 一AEC)=，而CED 是锐角，sin CED= ，故选 B4 【正确答案】 C【试题解析】 由 1，2，3，4，5 可构成不重复数字的个数有 A55=120，记“由1，2，3，4，5 可构成不重复的五位波浪数”为事件 A，则 A 包含的结果有十位和千位数只能是 4，5 的结果有 A22A33=12，十位和千位数只能是 3，5 的结果有A22A22=4 种，由古典概率的计算公式可得，P(A)= 。故选 C5 【正确答案】 D【试题解析】 M=xx 一 20=xx
8、2，N=xx0，从而可得，NM=xx2=M 。故选 D6 【正确答案】 C【试题解析】 等比数列a n中，由 a3a11=4a7，可知 a72=4a7，a 7=4， 数列b n是等差数列， b 5+b9=2b7=2a7=8， 故选 C7 【正确答案】 D【试题解析】 A 中，在ABC 中，cos2Acos2BB，A 项正确；B 中函数f(x)=ln2x+lnx 一 a 有零点 方程 ln2x+lnx=a 有解，令 y=ln2x+lnx，所以结论正确；C 中取 = ，=0 时成立，故正确；D 中 = 时，函数 f(x)=sin(2x+)=cos(2x)，是偶函数，故 D 项错误故选 D8 【正确
9、答案】 D【试题解析】 从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，其表面积为 S=412+122+213=12，故选 D二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 设向量 a=(一 1，1)与 b=(3，4)的夹角为 则向量 a 在向量 b 方向上的投影为acos= 10 【正确答案】 【试题解析】 f(1)=1 ，f (1)= ，所以 f(1)+f(1)= 11 【正确答案】 10【试题解析】 (1+C41x+C42x2+C43x3+C44x4)展开式中含 x2 项的系数为 C42+C43=1012 【正确答案】 (一 1，3)【试题解析】 0x(2t 一 2)dt 一 3=(t
10、2 一 2t) 0x 一 3=x2 一 2x 一 3，从而有 x2 一 2x一 30，(x 一 3)(x+1)0 ，则1x3，即 x(一 1，3) 13 【正确答案】 ( ，4) 【试题解析】 线性回归直线一定经过样本中心点，即 y 与 x 的线性回归直线方程 y=bx+a 必过定点( ，4)14 【正确答案】 【试题解析】 设双曲线 kx2 一 y2=1 的标准方程为 一 y2=1，它的一条渐近线方程为 y= x 而直线 2x+y+1=0 的斜率为一 2，且直线 y= x 与直线 2x+y+1=0 垂直，15 【正确答案】 510【试题解析】 S=0+2 1+22+28= =292=510三
11、、解答题16 【正确答案】 因为BCD=90+60=150，CB=AC=CD，所以CBE=15所以cosCBE=cos(45一 30)= 17 【正确答案】 在ABE 中，AB=2 ，由正弦定理，故 AE= 18 【正确答案】 证明：在直角梯形 ABCD 中，由已知可得 AC= ，取 AB 的中点 E，连接 CE，则四边形 AECD 是正方形，AE=CE=2，又 BE= AB=2，BC=，ABC 是等腰直角三角形， ACBC，又PA平面 ABCD，BC 平面ABCD，PA BC 由 ACPA=A 可得 BC平面 PAC， PC 平面 PAC， PCBC19 【正确答案】 取 PA 中点 G，连
12、接 FG，DG，则 四边形 CDGF 为平行四边形，DGCF，又，CF 平面 PAD20 【正确答案】 1 的概率分布列E1=118由题设，得 B(2，P) ，得 的分布列2 的分布列E2=13(1 一 P)2+1252P(1 一 P)+02P 2=一 P2 一 01P+1 321 【正确答案】 由 E1E 2，得一 P2 一 01P+13118 一04P0 3，0P 1，0P0322 【正确答案】 23 【正确答案】 当 1a0 时，N (a)= ，令 N(a)=0 得 a=1当a(0，1)时，N (a)0，y(a)单调递减，则 a0 时 g(a)=a +，g(a)2 当a0 时，由 N(a
13、)=0 有 a=一 1，且在( ，一 1)上 N(a)0，在(一 1，0)上 N(a)0，在 a(一，0) 上有 g(a)g(一 1)=一 2，g(a)值域为(一，一 22，+)24 【正确答案】 若 a0 ， =1，而当 a(0，1)时 g(a)2，而 a(1，+)时g(a)=2，25 【正确答案】 b n1 bn= =1，b n为等差数列，公差为 1又 b1=0， bn=n1， an=(n 一 1)3 n+2n26 【正确答案】 设 Tn=03 1+13 2+(n 一 1)3 n，则 3Tn=03 2+13 3+(n一 1) 3n1 ，一 2Tn=32+3n 一(n-1)3 n1 = 一(n1)3 n1 所以Tn= S n=Tn+(2+22+2n)=27 【正确答案】 由已知得Cn= ，猜测 C1 最大，下证：Cn 一C1= 0，存在 k=1，使得 CnCk 对一切正整数 n 均成立
