1、中学教师资格认定考试（初级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 10及答案与解析一、单项选择题1 下列函数在 x=0 处可导的是( ) 。（A）y=x （B） （C） （D）y=sinx 2 设 a，bR，“a=0”是“复数 a+bi 是纯虚数” 的( )。（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件3 若 A，B 是正交矩阵，则下列说法错误的是( )。（A）AB 为正交矩阵 （B） A+B 为正交矩阵（C） AB 为正交矩阵 （D）AB 1 为正交矩阵4 设随机变量 X1，X 2，X n(n1)独立分布，且方差 0，记与 X1 的相关系数为( )。
2、（A）1 （B） 0（C） （D）15 函数 f(x)=cos2x+sin( +x)是( )。（A）非奇非偶函数 （B）仅有最小值的奇函数（C）仅有最大值的偶函数 （D）既有最大值又有最小值的偶函数6 圆柱底面积为 S，侧面展开图形为正方形，则这个圆柱的全面积是( ) 。（A）4S （B） (1+4)S（C） (2+4)S （D）(3+4)S7 对任意的实数 k，直线 y 一 2=k(x+1)恒过定点 M，则 M 的坐标是( )。（A）(1 ，2) （B） (1，2)（C） (1，2) （D）(1，2)8 义务教育数学课程标准(2011 年版)将初中数学课程目标分为( )。（A）总体目标和结果
3、性目标 （B）过程性目标和结果性目标（C）总体目标和学段目标 （D）过程性目标和学段目标二、简答题9 求二元函数 f(x,y)=x(2+y2)+ylny 的极值。10 若方程 x3+px+q=0 的三个根是 a、b、c，求证： 。11 设有线性方程组 ，问 m，k 为何值时，方程组有唯一解 ?有无穷多组解?有无穷多组解时，求出一般解。12 新课程标准针对义务教育阶段的数学课程，提出了哪几个核心概念?13 结合教学实际说一说你认为新课程标准对教师的课堂教学有哪些要求?三、解答题14 已知a n是由非负整数组成的无穷数列，该数列前 n 项的最大值记为 An，第 n项之后各项 an+1，a n+2，
4、的最小值记为 Bn，d n=An 一 Bn。 (1)若n ，1为2，1，4，3，2，1，4，3，是一个周期为 4 的数列(即对任意 nN*，a n+4=an)，写出 d1，d 2 d3，d 4 的值； (2)设 d 为非负整数，证明：d n=d(n=1，2，3)的充分必要条件为a n为公差为 d 的等差数列； (3)证明：若 a1=2，d n=1(n=l，2，3，)，则a n的项只能是 1 或者 2，且有无穷多项为 1四、论述题15 在义务教育各个学段中，数学课程标准安排了“数与代数” ，“空间与图形”，“统计与概率 ”，“实践与综合应用”四个学习领域，提出发展学生的数感、符号感、空间观念、统
5、计观念、以及应用意识与推理能力。请你结合新课程与新理念，谈谈在初中阶段加强“ 统计与概率 ”教学的必要性与可能性。五、案例分析题16 案例：某同学在求反比例函数 ，当 x3 时，求 y 的取值范围时直接将 z3代入 。 问题：(1)该同学的解题过程哪步错了?分析原因： (2)针对该生的情况，请你设计一个辅导教学片断，并说明设计意图； (3)怎样防范这样的错误呢?六、教学设计题17 请以“圆和圆的位置关系(第三课时)” 为课题，完成下列教学设计。(1)教学目标；(2)教学重点、难点；(3)教学过程(只要求写出新课导入和新知探究、巩固、应用等)及设计意图。中学教师资格认定考试（初级数学学科知识与教
6、学能力）模拟试卷 10答案与解析一、单项选择题1 【正确答案】 C【试题解析】 由导数定义，函数 f(x)在 x=0 处可导，则。选项 A 不正确，因为。选项 B 不正确，因为 都不存在。选项 C 正确，因为 。选项 D 不正确，因为。2 【正确答案】 B【试题解析】 当 a=0 时，如果 b 同时等于零，此时 a+bi=0 是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件；而如果 a+bi 已经为纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到 a=0，因此是必要条件，故选 B。3 【正确答案】 B【试题解析】 由正交矩阵的定义可知，若 A，B 正交，则有 ATA=I(I 为单位阵)，BTB=I，则(AB)
7、T(AB)=BTATAB=I，则选项 A 正确，同理可证明选项 C、D 也是正交矩阵。而选项 B，(A+B) T(A+B)=(AT+BT)(A+B)=2I+BTA+ATB，显然不正确，故选 B。4 【正确答案】 B【试题解析】 由于 Xi 独立分布，故。5 【正确答案】 D【试题解析】 。6 【正确答案】 C【试题解析】 设圆柱底面圆半径为 r，则圆柱底面积为 S=r2，r 2= ，底面圆周长 l=2r，又侧面展开图形为正方形，则圆柱侧面积为 S1=l2=42r2=42 =4S，则圆柱总面积为 2S+4S=(2+4)S。7 【正确答案】 C【试题解析】 当 x+1=0 时，无论直线斜率为多少，
8、都有 y2=0，此时 x=1，y=2 ，则 M(1，2) 。故选择 C。8 【正确答案】 C【试题解析】 义务教育数学课程标准(2011 年版)将初中数学课程目标分为总体和学段目标，故选 C。二、简答题9 【正确答案】 f(x，y)=2x(2+y 2)， f y(x，y)=2x 2y+lny+l。 10 【正确答案】 由一元三次方程的根与系数的关系，得 a+b+c=0 bc+ac+ab=p ， abc=q， 所以 a 2+b2+c2=(a+b+c)22(bc+ac+ab)=02p=一 2p。 又由于 a 3+b3+c33abc=(a+b+c)(a2+b2+c2bcacab)， 所以 a 3+b
9、3+c33(1)=0， 即 a 3+b3+c3=3q， 所以 。11 【正确答案】 对此线性方程组的系数矩阵 A 的增广矩阵进行初等变换如下： (1)当 m1 时，r(A)=r( )=3，方程组有唯一解； (2)当 m=1，k1 时，r(A)r( )，方程组无解； (3)当m=1，k=l 时，r(A)=r( )=23，方程组有无穷多解，此时基础解系含解向量个数为 3r(A)=1。 原方程组对应的齐次方程组经过初等变换后等价于 ，所 x2=0。 令 x3=1，得 x1=1，基础解系的解向量为 =(1，0，1) T。 原方程组经初等变换后等价的非齐次方程组为 。 令 x3=0，得 x1= ，非齐次
10、方程组的一个特解为 =( ，0) T。 通解为 x=+t= ，t R。12 【正确答案】 新课程标准针对义务教育阶段的数学课程，提出了 10 个数学课程核心概念，分别是：数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识、创新意识。13 【正确答案】 (1)创设良好氛围，激励学生学习。(2)围绕教学目标，开展教学活动。(3)突出思维训练，培养思维能力。(4) 着眼学生发展，组织学生活动。(5)运用多种教学方法，选用恰当教学媒体。(6)重视教师的人格力量，规范教师的课堂行为。三、解答题14 【正确答案】 (1)d 1=d2=1，d 3=d4=3；(2)(充分
11、性)因为a n是公差为 d 的等差数列，且 d0，所以 a1a2a n 因此 An=an，B n=an+1，d n=anan+1=d(n=1，2，3)d n=d(n=1，2，3) (必要性)因为 dn=d0(n=1，2，3)，所以An=Bn+dnBn 又因为 anAn，a n+1Bn，所以 anan+1，于是 An=an，B n=an+1。 因此an+1an=BnAn=一 dn=d，即a n是公差为 d 的等差数列。 (3) 因为 a1=2，d 1=1，所以 A1=a1=2，B 1=A1d1=1。故对任意 n1，B nB1=1。 假设a n(n2)中存在大于2 的项。 设 m 为满足 an2
12、的最小正整数，则 m2，并且对任意 1km，a k2， 又因为 a1=2，所以 Am1=2，且 Am=am2。 于是 Bm=Amdm1，B m1=minam，B m2。 故 dm1=Am1Bm10，与 dm1=1 矛盾。 所以对于任意 n1，有 an2，即非负整数列a n的各项只能为 1 或 2。 因此对任意n1，a n2=a1，所以 An=2 故 Bn=Andn=21=1。 因此对于任意正整数 n，存在 m满足 mn，且 am=1，即数列a n有无穷多项为 1。四、论述题15 【正确答案】 (必要性)学习概率与统计知识：是我国科学技术的迅猛发展需要；统计与概率的基本知识在各行各业中的应用越来
13、越广泛； 具有良好的统计概率观念是每一个公民的基本素质；初步具备对数据的收集、整理描述和分析的能力；了解随机现象发生的可能性大小的规律，已成为时代的要求等。(可能性 )学生已经具备学习的基础： 已具有一定的运算能力； 大部分知识背景与日常生活有关；学生对计算机已不再陌生； 已具有一定的分析能力等。统计观念主要表现在：能从统计的角度思考与数据信息有关的问题； 能通过收集、描述、分析数据的过程作出合理的决策；能对数据的来源、处理数据的方法以及由此得到的结果进行合理的质疑等。五、案例分析题16 【正确答案】 (1)该同学没有考虑 x0 的情形： (2)教学片段： 师：我们知道函数是有定义域的，那么函
14、数 y= 的定义域是什么? 生：x 大于 0 或 x 小于 0。 师：是的，那么同学可以画出它的图象吗?大家试试。 师：当 x3 时 y 的取值范围是什么呢? 师：是不是还要考虑 x 小于 0 的情形呢? 生：是 师：那么当 x3 时 y 的取值范围是什么呢? 生： y= 或 y0 师：很好，大家以后解题时一定不要急于求成，而要认真的思考。 设计意图：让学生在解关于函数的题型时首先要考虑函数的定义域，在定义域上研究函数。 (3)防范这种错误的方法是结合图象，注意反比例函数的图象是两支，在每一个象限内的情形要分开来解决。六、教学设计题17 【正确答案】 一、教学分析 1教学目标 (1)知识目标：
15、 探索并了解圆和圆的位置关系。 探索圆和圆的位置关系中两圆圆心距与两圆半径间的数量关系。 能够利用圆和圆的位置关系和数量关系解题。 (2)能力目标： 学生在探索圆和圆的位置关系的过程中，学会运用数形结合的思想解决问题。 学生通过运用圆和圆的位置关系的性质与判定解题，提高运用知识和技能解决问题的能力，发展应用意识。 (3)情感目标： 学生经过操作、实验、发现、确认等数学活动，从探索两圆位置关系的过程中，体会运动变化的观点，量变到质变的辩证唯物主义观点，感受数学中的美感。 2教学重点、难点 重点是探索并了解圆和圆的位置关系；难点是探索圆和圆的位置关系中两圆圆心距与两圆半径间的数量关系。 二、教学过
16、程设计 活动 1：问题，通过图片观察，描述图片中圆和圆的位置关系。 师生互动：教师演示图片，提出问题；学生观察、思考；教师找学生回答问题。 (设计意图：通过问题的提出，引导学生观察图片，联想现实生活中的例子，引起学生对圆和圆的几种位置关系的注意，激起学生对探索两圆位置关系的兴趣，也许学生不能准确地用数学语言表述圆和圆的位置关系，但本节课的学习目的就是让学生能够掌握圆和圆的位置关系。) 活动 2：画出两个半径不同的圆O 1，O 2，固定其中一个而移动另一个。(1)你能画出O 1 和O 2 的几种不同的位置关系? 每种位置关系中两圆有多少个公共点?(2)你能否根据两圆公共点的个数类比直线和圆的位置
17、关系定义，给出两圆位置关系的定义? 师生互动：教师指导学生分别在两张透明的纸上画两个半径不同的O 1 和 O2，把两张纸叠合在一起，固定其中一张而移动另一张。让学生观察、发现，并画出两圆的不同位置关系图形。教师展示学生们发现的两个圆不同位置关系的图形。 (设计意图：让学生亲自动手实验，参与数学活动，用运动变化的观点观察两圆的位置关系的变化及两圆公共点个数的变化情况，并让学生学会用类比的方法研究两圆的位置关系。) 活动 3：问题，请你根据圆和圆的位置关系，猜测出两圆的圆心距与两圆半径之间的数量关系，利用刻度尺或几何画板进行测量，验证你的猜想。 师生互动：教师提出问题，让学生根据自己所画出的两圆的
18、位置关系图形进一步观察、思考、猜想、测量，发表见解。教师演示两圆位置关系的变化情况，利用几何画板的计算功能，观察随着两圆位置关系的变化两圆圆心距与两圆半径之和或之差之间的数量关系。 (设计意图：从数量关系的角度来探讨两圆的位置关系，让学生学会运用数形结合的数学思想解题。培养学生学会探究的方法，形成良好的科学研究习惯，培养学生思维的深刻性。) 活动 4：例题练习 师生互动：师生共同完成例题的求解。 (设计意图：通过例题让学生学会利用已讨论出来的两圆位置关系与圆心距和半径之间的数量关系的结论来解决问题，使学生学会发现问题、分析问题并解决问题。培养学生正确应用所学知识，巩固所学的两圆位置关系的性质和判定。) 活动 5：小结 师生互动：学生自己总结，教师指导。 (设计意图：总结回顾学习内容，帮助学生学会归纳、反思，使学习效果达到最佳。)
