1、中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 35及答案与解析一、单项选择题1 ( )。（A）（B） 0（C） 1（D）2 若级数 发散，则( )。3 曲面 z=4 一 x2 一 y2 上点 P 处的切平面平行于平面 2x+2y+z1=0，则点 P 的坐标是( )。（A）(1 ，1，2)（B） (一 1，l，2)（C） (1，一 1，2)（D）(一 l，一 1，2)4 设 其中 g(x)是有界函数，则 f(x)在 x=0 点( )。（A）极限不存在（B）极限存在但不连续（C）连续但不可导（D）可导5 设矩阵 ，若集合 =1，2 ，则线性方程组 Ax=b 有无穷多解的充分必要条件为
2、( ) 。6 设随机变量 X，Y 相互独立，且 XN (， 2)， Y 在a，b区间上服从均匀分布，则 D(X 一 2Y)=( )。7 义务教育数学课程标准(2011 年版)提出的课程标准包括，通过义务教育阶段的数学学习，学生能养成良好的学习习惯，良好的学习习惯指勤奋、独立思考、合作交流和( ) 。（A）反思质疑（B）坚持真理（C）修正错误（D）严谨求是8 实数于虚数统称为复数。这样的定义方式是( )。（A）外延定义（B）发生定义（C）关系定义（D）种差定义二、简答题9 求两个平行平面 1：2x 一 y 一 3z+2=0， 2：2x 一 y 一 3z 一 5=0 之间的距离。10 应用拉格朗日
3、中值定理证明下列不等式： ，其中 0m n。11 钥匙掉了，掉在宿舍里、掉在教室里、掉在路上的概率分别是 40、35和25，而掉在上述三处地方被找到的概率分别是 08，03 和 01。试求找到钥匙的概率。12 简述义务教育阶段数学课程标准(2011 年版)的课程性质。13 简述教学过程优化的要求以及教师在教学过程中应怎样实施优化?三、解答题14 设 F(x)=f(x)g(x)，其中函数 f(x)，g(x)在(一，+)内满足以下条件： f(x)=g(x)，g(x)=f(x)，且 f(0)=0，f(x)+g(x)=2e x。 (1)求 F(x)所满足的一阶微分方程； (2)求出F(x)的表达式。四
4、、论述题15 在义务教育各个学段中，义务教育数学课程标准(2011 年版)安排了“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“实践与综合应用”四个学习领域，提出发展学生的数感、符号感、空间观念、统计观念、以及应用意识与推理能力。请你结合新课程与新理念，谈谈在初中阶段加强“统计与概率” 教学的必要性与可能性。五、案例分析题15 案例：“一元一次方程” 的教学片段：师：如何解方程 3x 一 3=一 6(x 一 1)?生二老师，我还没有开始计算，就看出来了，x=1。师：光看不行，要按要求算出来才算对。生 2：先两边同时除以 3，再(被老师打断了)师：你的想法是对的，但以后要注意，刚学新知识时，记住一定要
5、按课本的格式和要求来解，这样才能打好基础。问题：16 你对这位老师的课堂行为怎么评价?17 课堂提问时应该注意哪些问题?六、教学设计题17 初中“反比例函数及其图象” 设定的教学目标如下：理解反比例函数，并能从实际问题中抽象出反比例关系的函数解析式；会画出反比例函数的图象，并结合图象分析总结出反比例函数的性质；渗透数形结合的数学思想及普遍联系的辩证唯物主义思想；体会数学从实践中来又到实际中去的研究、应用过程；培养学生的观察能力，及数学地发现问题，解决问题的能力。完成下列任务：18 根据教学目标，给出至少两个实例，并说明设计意图；19 本节课的教学重点是什么?20 作为初中阶段的基础内容，其难点
6、是什么?21 请设计一个教学导入。22 请设计本节课小结。中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 35答案与解析一、单项选择题1 【正确答案】 D【试题解析】 2 【正确答案】 D【试题解析】 3 【正确答案】 A【试题解析】 设切点为 P(x0，y 0，z 0)，故曲面在切点处的切平面的法向量为n=(2x0，2y 0， 1)，平面 2x+2y+zl=0 的法向量 m=(2，2，1)，则 mn，所以解得 P(1,1,2)。4 【正确答案】 D【试题解析】 由等价无穷小替换。故 f(x)在 x=0 点可导，且 f (0)=0，D 正确。5 【正确答案】 D【试题解析】 线性方
7、程组 Ax=b 有无穷多解的充分必要条件为： r(A)=r(A，b)3。6 【正确答案】 A【试题解析】 Y 在a，b区间上服从均匀分布，所以 。又 X，Y 相互独立，所以 Cov(X，Y)=0。D(X 一 2Y)=D(X)+D(2Y)一 2Cov(X，Y)=D(X)+4D(Y)=2+ (b 一 a)2。7 【正确答案】 A【试题解析】 义务教育数学课程标准(2011 年版)在“课程的基本理念”里提出：“要重视培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法”，并在“隋感与态度”目标中提出：“养成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑等学习习惯”。8 【正确答案】 A【试题解析】 外延
8、定义是通过揭示属概念所包括的种概念来明确该属概念所指的定义。二、简答题9 【正确答案】 在平面 1 上任取一点，例如 p0(一 1，0，0)，P 0 到 2 的距离就是 1， 2 之间的距离，代入 d=10 【正确答案】 设 F(x)=lnx， ，因为函数 f(x)在m，n上满足拉格朗日中值定理，则在(m，n) 上存在一点 ，使得11 【正确答案】 事件 B 表示“找到钥匙”，事件 A1 表示“ 钥匙掉在宿舍”，事件 A2表示“钥匙掉在教室 ”，事件 A3 表示“钥匙掉在路上。 P(B)=P(A1)P(BA 1)+P(A2)P(BA 2)+P(A3)P(BA 3) =0408+0350 3+0
9、2501 =045 所以找到钥匙的概率为 045。12 【正确答案】 义务教育阶段的数学课程是培养公民素质的基础课程，具有基础性、普及性和发展性。数学课程能使学生掌握必备的基础知识和基本技能；培养学生的抽象思维和推理能力；培养学生的创新意识和实践能力；促进学生在情感、态度与价值观等方面的发展。义务教育的数学课程能为学生未来生活、工作和学习奠定重要的基础。13 【正确答案】 (1)教学过程优化的要求：对教学目标的最优化； 对教学内容的最优化； 教学方法的最优化；习题练习的最优化。(2)实施优化的方法：引导学生将知识转化为能力； 积极开展数学探究、相互交流、合作学习的教学方式；淡化形式化的教学，注
10、重应用与创新； 注重学生个性和人格健全的发展。三、解答题14 【正确答案】 题目要求 F(x)所满足的微分方程，而微分方程中含自其导函数，自然向导对 F(x)求导，并将其余部分转化为用 F(x)表示，导出相应的微分方程，然后再求解相应的微分方程即可。 (1)由 F(x)=f(x)g(x)，有 F(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x)=g2(x)+f2(x) =f(x)+g(x)2 一 2f(x)g(x)=(2ex)2 一 2F(x) 可见 F(x)所满足的一阶微分方程为，F(x)+2F(x)=4e 2x，相应的初始条件为 F(0)=f(0)g(0)=0。 (2)由题(1)得到 F(x)所满
11、足的一阶微分方程，求 F(x)的表达式只需解一阶微分方程。又一阶线性非齐次微分方程 的通解为 所以：F(x)=e 一2dx4e2xe 2dxdx+C=e 一 2x4e4xdx+C=e2x+Ce 一 2x 将 F(0)代入上式，得 C=一 l，所以 F(x)=e2x 一 e 一 2x。四、论述题15 【正确答案】 (必要性)学习概率与统计知识：是我国科学技术的迅猛发展需要；在各行各业中的应用越来越广泛：具有良好的统计概率观念是每一个公民的基本素质； 初步具备对数据的收集、整理描述和分析的能力，了解随机现象发生的可能性大小的规律，已成为时代的要求等。(可能性) 学生已经具备学习的基础： 已具有一定
12、的运算能力； 大部分知识背景与日常生活有关；学生对计算机已不再陌生； 已具有一定的分析能力等。五、案例分析题16 【正确答案】 这位教师提问时，把学生新颖的回答中途打断，只满足单一的标准答案，一味强调机械套用解题的一般步骤和“通法” 。殊不知，这两名学生的回答的确富有创造性，可惜，这种偶尔闪现的创造性思维的火花不仅没有被呵护，反而被教师“标准的格式 ”轻易否定而窒息扼杀了。其实。学生的回答即使是错的，教师也要耐心倾听，并给与激励性评析，这样既可以帮助学生纠正错误认识，又可以激励学生积极思考，激发学生的求异思维，从而培养学生思维能力。17 【正确答案】 课堂提问要注意以下问题：提问要关注全体学生
13、。提问内容设计要由易到难，由浅入深，要富有层次性，不同的问题要提问不同层次的学生；提问要有思考的价值，课堂提问要选择一个“最佳的智能高度”进行设问，使大多数学生“ 跳一跳，够得着 ”；提问的形式和方法要灵活多样。注意提问的角度转换，引导学生经历尝试、概括的过程，充分披露灵性，展示个性，让学生得到的是自己探究的成果，体验的是成功的快乐，使“ 冰冷的，无言的 ”数学知识通过 “过程”变成“ 火热的思考”。六、教学设计题18 【正确答案】 实例 1： 我们在小学学过反比例关系，例如：当路程 S 一定时，时间 t 与速度 v 成反比例即 vt=S(S 是常数) ；当矩形面积 S 一定时，长 a 与宽
14、b 成反比例，即 ab=S(S 是常数)。 从函数的观点看，在运动变化的过程中，有两个变量可以分别看成自变量与函数。写成： (设计意图：从实际引出反比例函数的概念，方便学生了解)实例 2：列表、描点画出反比例函数 的图象 (设计意图：由于学生第一次接触反比例函数，无法推测出它的大致图象，取点描图有助于学生深刻的了解反函数图象。)19 【正确答案】 教学重点：结合图象分析总结出反比例函数的性质。20 【正确答案】 教学难点：描点画出反比例函数的图象。21 【正确答案】 教学导入： 引出反比例函数的概念： 一般地，函数 (k 是常数，k0)叫作反比例函数。 如上例，当路程 S 是常数时，时间 t
15、就是 v 的反比例函数。当矩形面积 S 是常数时，长 a 是宽 b 的反比例函数。 在现实生活中，也有许多反比例关系的例子。可以组织学生进行讨论。 一般地反比例函数 (k 是常数，k0)的图象由两条曲线组成，叫作双曲线。 观察图象，归纳、总结出反比例函数的性质 前面学习了三类基本的初等函数，有了一定的基础，这里可视学生的程度或展开全面的讨论，或在老师的引导下完成知识的学习。 显示这两个函数的图象，提出问题：你能从图象上发现有关反比例函数的什么性质呢?并能从解析式或列表中得到论证。22 【正确答案】 小结：本节课我们学习了反比例函数的概念及其图象的性质，大家展开了充分的讨论，对函数的概念、函数的图象的性质有了进一步的认识。数学学习要求我们要深刻地理解，找出事物间的普遍联系和发展规律，能数学地发现问题，并能运用已有的数学知识，给以一定的解释。即数学是世界的一个部分，同时又隐藏在世界中。
