1、中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 3及答案与解析一、单项选择题1 函数 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度，所得图象与 y=ex 关于 y 轴对称，则 f(x)=( )。（A）e x+1（B） ex-1（C） e-x+1（D）e -x+12 设 其导函数在 x=0 处连续，则 的取值范围是( )。（A）2（B） 2（C） 2（D）23 执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为( )。 4 函数 f(x)=sinxcosx 的最小正周期为( )。（A）（B） （C） 2（D）45 设三阶矩阵 ，若其伴随矩阵的秩为 1，则必有( )。（A）a=b 或 a+2b=0（B
2、） a=b 或 a+2b0（C） a6 且 a+2b=0（D）ab 且 a+2b06 曲线 和直线 y=x 及 y=2 所围成的图形的面积为( )。（A）1（B）（C） 1-ln2（D）7 普通高中数学课程标准(实验)提出的新课程基本理念，下面各组选项中说法不正确的是( ) 。 构建共同基础，提供发展平台； 提供针对课程，适应个性选择；倡导积极主动、勇于探索的学习方式；注重提高学生的数学思维能力；发展学生的数学思维能力； 与时俱进地认识双基； 强调本质，注意适度形式化；体现数学的文化价值； 注重信息技术与数学课程的整合； 建立合理、科学的评价体系。（A）（B） （C） （D）8 下列说法中不正
3、确的是( )。（A）选择性是整个高中课程的基本理念（B）在教学中。教师要帮助学生养成良好的学习习惯（C）在教学过程中，结果是最重要的，老师要时刻关注学生的学习成绩（D）新课程标准强调数学文化的重要作用二、简答题9 一圆与 Y 轴相切，圆心在 x-3y=0 上，在 y=x 上截得的弦长为 ，求圆的方程。10 一商家销售某种商品的价格满足关系 p=7-02x(万元吨)，其中 x 为销售量，该商品的成本函数为 C=3x+1(万元)。(1)若每销售一吨商品，政府要征税 t 万元，求该商家获最大利润时的销售量；(2)t 为何值时，政府税收总额最大?11 已知函数 (1)当 时，求函数 f(x)在一 2，
4、2 上的最大值、最小值； (2)令 g(x)=In(1+x)+3-f(x)，若 g(x)在 上单调递增，求实数 a 的取值范围。12 结合自己的教学实践，谈谈函数觯调性、奇偶牲与周期性同等重要吗?13 为什么学生在函数学习中，总感觉“消化不良”?三、解答题14 设 f(x)，g(x) 在0 ，1上的导数连续，且 f(0)=0，f(x)0，g(x)0。 证明：对任何 a0，1，有四、论述题15 在考试中不考建模，是不是就没必要学习建模了?结合新课程标准的相关要求，谈谈你对此观点的看法。五、案例分析题16 案例：阅读下列三位教师关于“直线与平面垂直的判定” 的教学片段。教师甲的引入：教师甲：同学们
5、，空间直线与平面有哪几种位置关系?学生边演示边叙述，得到直线与平面的三种位置关系。教师：直线在平面内，直线与平面的平行已研究过，直线与平面相交成为今天要研究的问题。在日常生活中，你见过哪些情景可以抽象成直线与平面相交?举例说明。学生：日光灯的掉线与天花板相交；房子的柱子与天花板相交；插在碗里的筷子与平的碗底相交。教师：想象力丰富。生活中确实有很多例子。例如，墙角与地面(图片展示)，小区的建筑，竹竿与水平面以及古诗词中的自然景观“大漠孤烟直” ，“一行白鹭上青天”。在直线与平面相交的模型中，你认为哪种相交最特殊?学生：直线与平面垂直。教师：今天我们就研究这种关系。(板书课题)教师乙的引入：教师：
6、(用 PPT 呈现龙卷风图片 )同学们刚进教室看到这样的壮丽图片，联想起“大漠孤烟直 ”的美景，大家欣赏完之后是否想到立体几何中什么与什么的关系?学生：线面垂直。教师：很好，那生活中有没有这样的例子? 学生：看电视时，视线与画面；电线杆与地面垂直。教师：这样的例子很多。比如，大桥桥柱与水面。正因为生活中有很多线与面垂直关系，所以几何中有必要对此进行研究。这堂课就学习直线与平面垂直。(板书课题)教师丙的引入：教师：前面我们研究了直线与平面平行的判定与性质，今天我们要研究直线与平面的其他位置关系。(展示天安门广场上的国旗与旗杆)先请大家看一幅图：天安门广场的红旗迎风飘扬。再看另一幅图：一桥飞架南北
7、，天堑变通途。请大家回答下面的问题。问题：请同学们观察图片，说出旗杆与地面，大桥桥柱与水平面是什么位置关系?学生：垂直。教师：从教学的角度看，就是什么与什么垂直。学生：线与面。教师：你还能举出一些类似的例子吗?想一想。(同时出示课题)学生 1：箱的边缘与地面。学生 2：立竿见影，竿与地面垂直。教师又展示跨栏跳高架的图片，说明跨栏的支架与地面，跳高架立竿与地面是垂直关系，请大家参照旗杆与地面这种关系画出相应的几何图形。学生画图，教师在黑板上画出图。教师：为什么画成这样呢?这样直观性强，将直线画得与表示平面的平行四边形的一边垂直。教师：接着前面的内容的学习，下面我们要学习直线与平面垂直的定义、判定
8、与性质。问题：(1)三种引入方式各有什么特点?(2)在(1)的基础上，给出你对课题引入的观点。六、教学设计题17 高中“集合与函数概念实习作业” 设定的教学目标如下：了解函数概念的形成、发展的历史以及在这个过程中起重大作用的历史事件和人物：体验合作学习的方式，通过合作学习品尝分享获得知识的快乐：在合作形式的小组学习活动中培养学生的领导意识、社会实践技能和民主价值观。完成下列任务： (1)根据教学目标，设计一个合理的课堂准备；(2)确定本节课的教学重点和难点；(3)给出本节课的教学过程。中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 3答案与解析一、单项选择题1 【正确答案】 D【试
9、题解析】 与 y=ex 关于 y 轴对称的函数为 y=e-x，f(x)的图象向右平移 1 个单位长度得 y=e-x，则 f(x)= e-x-1，故选择 D。2 【正确答案】 A【试题解析】 A 是参变量，x 是函数 f(x)的自变量 要使该式成立，必须 当 x(-，0)(0，+) 时， 要使在 f(x)=0 在 x=0 处连续，由函数连续的定义应有 由该式得出 2。所以 f(x)在x=0 处右连续的充要条件是 2。3 【正确答案】 C【试题解析】 当 i=0，S=1 时，故选择 C。4 【正确答案】 B5 【正确答案】 C【试题解析】 根据 A 与其伴随矩阵 A*秩之间的关系 知r(A)=2，
10、它的秩小于它的列数或者行数，故有 有 a+2b=0 或 a=b。 当 a=b 时， 显然 r(A)=12，故必有 ab 且 a+2b=0。6 【正确答案】 D【试题解析】 先做草图，求出曲线、直线间的交点的坐标 ，B(2，2)，C(1，1)。 方法一：选取变量 x 为积分变量，则由图可得三线所围的图形的面积为 方法二：选取变量 y 为积分变量，则由图可得三线所围的图形的面积为 故选 D。7 【正确答案】 B8 【正确答案】 C【试题解析】 选择性是整个高中课程的基本理念，是本次高中课程改革的最大变化之一；在教学中，教师要帮助学生养成良好的学习习惯；新课程课标中强调数学文化的重要作用，要求将其尽
11、可能与高中数学课程内容有机结合；在教学过程中，除了给学生打分的终结性评价之外，更多地提倡过程性评价，所以结果不是最重要的，学习成绩的高低也不能完全反映一个人的综合能力。二、简答题9 【正确答案】 设该圆的标准方程为(x-a) 2+(y-b)2=r2，则由题意知 故所求圆的标准方程为：(x-3) 2+(y-1)2=9 或(x+3)2+(y+1)2=9。10 【正确答案】 (1)设政府税收总额为 T，商品销售收入为 R，则 T=tx，R=x，P=Tx-0 2x 2， 利润函数为 L=R-C-T=7x-02x 2-(3x+1)-tx=-02x 2+(4-t)x-1；L=-04x+(4-t) 。 令
12、L=0，得 ，又 L=-040，所以当销售量为 (吨) 时，该商家可获得最大利润。 (2)，T=10-5t ，令 T=0，得 t=2，又 T=-50， 所以当 t为 2 万元时，政府税收总额最大。11 【正确答案】 (1)f(x)=-2x 2+4ax+3，当 时 f(x)=-2x2+x+3=(-2x+3)(x+1)，令f(x)=0 得 ，x 2=-1，当 x 变化时 f(x)和 f(x)的变化情况如下表： ， 所以 f(x)在-2，2上的最大值，最小值 (2)g(x)=In(1+x)+3-f(x)=ln(1+x)+3-(-2x2+4ax+3)=ln(1+x)+2x2-4ax，g(x)= ，由题
13、目知在上 g(x)0 恒成立，等价于二次函数 h(x)=4x2+(4-4a)x-4a+1 在上恒大于 0。根据二次函数的性质有：解之得 a0。12 【正确答案】 在高中阶段，主要讨论函数的变化，所谓变化就是自变量增加(减少)时，函数值是增加还是减少。增加或减少总是与自变量在某个区间有关，所以在单调性、奇偶性与周期性中，单调性是体现函数变化的最基本的性质，是最为重要的。13 【正确答案】 在中学数学中，“数形结合” 是非常重要的思想。学生在函数学习中会感到困难，感觉“ 消化不良 ”，很多情况下是对 “数形结合”没有很好地认识。“数”泛指“数”所蕴涵的数学，例如，代数式，运算，以及符号语言，等等；
14、 “形”泛指“图形”所蕴涵的数学，例如，图形的直观，图形的运动，图形的位置关系，图形的性质，等等。“数”又可以理解为用符号语言表达的规律； “形”也可以理解为直观的图形语言表达的规律。把符号语言和图形语言结合起来。把抽象和直观捆在一起，理解“数” 也就简单、准确了。应当把“数形结合” 当做认识数学概念、讨论数学问题的一种习惯。函数是刻画客观世界的一个基本数学模型。因此，对于函数的学习，应该将体会函数、认识函数和运用函数解决问题有机地结合起来。这都离不开函数图象，尽量画出函数图象，才能把握住一个函数的整体情况。三、解答题14 【正确答案】 设 ，则 F(x)在0，1上的导数连续，并且 F(x)=
15、g(x)f(x)-f(x)g(1)=f(x)g(x)-g(1) 由于 x0，1f(x)0，g(x)0，因此 F(x)0，即 F(x)在0，1上单调递减。 注意到 而 故 F(1)=0。 因此x0，1时，F(x)0，由此可得对任何 a0，1，有 四、论述题15 【正确答案】 在新课标中，数学建模与数学探究、数学文化是一个重要的学习领域。新课标要求高中阶段的学习要让学生结合实际问题，“感受运用函数概念建立模型的过程和方法”，“ 力求对现实世界中蕴涵的一些数学模型进行思考和做出判断” ，收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)的实例，了解函数模型的广泛应用，体会
16、运用函数思想理解和处理现实生活问题的重要性。可见，新课标是十分强调学生亲身经历建模过程的重要性的。事实上，数学建模是培养学生问题意识和应用意识的重要载体。通过数学建模，学生能体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的联系，从而能促进学生逐步形成和发展数学应用意识，提高实践能力。在通过数学建模解决问题的过程中，学生能逐渐积累经验，对数学的本质会有更多的思考，会意识到“数学可以解决实际问题”，并且也认识到 “自己的数学知识还有待提高 ”，增强探究和解决问题的意识，逐步提高数学应用的水平。因此，在数学课程中，学习建模对中学生来说是相当必要的。五、案例分析题16 【正确答案】 (1)三
17、位教师的引入各有特色。教师甲在直线与平面位置关系的数学中，以“在这些相交关系中，你认为哪种相交最特殊?”引出课题，并伴以学生的动手操作、举例、想象和语言叙述。这一设计的特点是：注意知识的系统与联系；强调学生生活经验的作用。这样容易唤起在“直线与平面平行” 的学习中形成的经验，从而明确“研究什么 ”和“怎样研究”，使学习的自觉性得到提高。教师乙利用一张生活图片提出“是否想到在立体几何中的什么与什么的关系” ，由于“诱导”过分明显，学生就不假思索地齐声回答 “线面垂直”。虽然有后面的师生分别举例，但课题引入任务由这一句话已经完成。虽然这一引入有单刀直入、开门见山的特点，但学生对看图片的意图、当前学
18、习内容与已有知识与方法的联系与借鉴等都很难觉察到。另外，“线面垂直” 的说法不好，至少提出得太早。另外，甲、乙两位老师用的“大漠孤烟直” 的情景不能很好地反映当前学习内容的本质，不是一个好情景。教师丙的引导语“ 前面我们研究了直线与平面平行的判定与性质，今天我们要研究直线与平面的其他位置关系”以及图片，目的都是直指“ 要研究直线与平面垂直”。这样引入也稍嫌太快，学生对于“要学什么” 、“为什么要学”和“ 如何学”等的感知都不充分，要学的内容与已有经验的衔接不够自然。(2)良好的开端是成功的一半，课题引入是课堂教学的重要一环。教学设计中，应当重点考虑：如何利用新旧知识的联系与发展，以及学生相关的
19、生活经验，创设问题情境，自然、亲切地引出学习内容；如何在课题引入中融入“学什么、为什么、怎么学”的成分。六、教学设计题17 【正确答案】 (1)课堂准备： 分组：4-6 人为一个实习小组，确定一人为组长。教师需要做好协调工作，确保每位学生都参加。 选题：根据个人兴趣初步确定实习作业的题目。教师应该到各组中去了解选题情况，尽量多地选择不同的题目。 参考题目：A函数产生的社会背景；B函数概念发展的历史过程； C函数符号的故事；D数学家(如：开普勒、伽利略、笛卡儿、牛顿、莱布尼兹、贝努利、欧拉、柯西、狄里克雷、罗巴契夫斯基等)与函数；E也可自拟题目 分配任务：根据个人情况和优势，经小组共同商议，由组
20、长确定每人的具体任务。 搜集资料：针对所选题目，通过各种方式(相关书籍函数在你身边世界函数通史世界著名科学家传记等；搜集素材，包括文字、图片、数据以及音像资料等，并记录相关资料，写出实习报告。 投影仪、多媒体； 把各组的实习报告，贴在班级的学习栏内，让学生学习交流。 (2)教学重点和难点 重点：了解函数在数学中的核心地位，以及在生活里的广泛应用； 难点：培养学生合作交流的能力以及收集和处理信息的能力。 (3)教学过程 出示课题：交流、分享实习报告 交流、分享： (由数学科代表主持。小组推荐中心发言人；记录发言概述) 学生 1：函数小史 数学史表明，重要的数学概念的产生和发展，对数学发展起着不可
21、估量的作用。有些重要的数学概念对数学分支的产生起着奠定性的作用。我们刚学过的函数就是这样的重要概念。在笛卡尔引入变量以后，变量和函数等概念日益渗透到科学技术的各个领域。最早提出函数(function)概念的，是 17 世纪德国数学家莱布尼茨。最初莱布尼茨用“ 函数”一词表示幂。1755 年，瑞士数学家欧拉把给出了不同的函数定义。中文数学书上使用的“函数”一词是转译词。是我国清代数学家李善兰在翻译代数学(1895 年)一书时，把“function”译成 “函数”的。 我们可以预计到，关于函数的争论、研究、发展、拓广将不会完结，也正是这些影响着数学及其相邻学科的发展。 学生 2：函数概念的纵向发展
22、 该同学从早期函数概念几何观念下的函数到十八世纪函数概念代数观念下的函数讲述了函数概念的发展。其中包括 18 世纪中叶著名的数学家欧拉对函数概念发展的贡献。接着又讲述了十九世纪函数概念对应关系下的函数。以及现代函数概念集合论下的函数。函数概念的定义经过三百多年的锤炼、变革，形成了函数的现代定义形式。 教师带头鼓掌并简单评价。 学生 3：我国数学家李国平与函数 学生 3 描述了数学家中国科学院数学物理学部委员李国平(19101996)的身世和他的成长历程。李国平 1933 年毕业于中山大学数学天文系。后历任中国科学院数学计算技术研究所所长中国科学院武汉数学物理研究所所长，中国数学会理事，中国科学
23、院学部委员等职务。学生还通俗地讲述了李国平先生在微分方程复变函数论领域的卓越贡献。 教师带头鼓掌并简单评价。 学生 4：函数概念对数学发展的影响 该学生从历史上重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的事实出发，讲述了函数概念对数学发展的深刻影响，可以说是贯穿古今、旷日持久、作用非凡，回顾函数概念的历史发展，看一看函数概念不断被精炼、深化、丰富的历史过程，是一件十分有益的事情，它不仅有助于我们提高对函数概念来龙去脉认识的清晰度，而且更能帮助我们领悟数学概念对数学发展，数学学习的巨大作用。 函数概念来源于代数学中不定方程的研究。由于罗马时代的丢番图对不定方程已有相当研究，所以函数概念至少在那时已经
24、萌芽。该学生说道，早在函数概念尚未明确提出以前，数学家已经接触并研究了不少具体的函数，比如对数函数、三角函数、双曲函数等等。1673 年前后笛卡儿在他的解析几何中，已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念，因此直到 17 世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候。数学家还没有明确函数的一般意义。 从以上函数概念发展的全过程中，我们体会到，联系实际、联系大量数学素材，研究、发掘、拓广数学概念的内涵是何等重要。 教师带头鼓掌并简单评价。 学生 5：函数概念的历史演变过程 该学生说，数学的抽象完全舍弃了事物的质的内容，而仅仅保留了它们的量的属性，即数学抽象的目的只是数量关系和空间形式。这就决定了数学与其它自然科学的区别，也决定了数学的特殊性。如果在两个集合元素之间存在有确定的对应关系，就称为是一个映射。 上述函数概念的历史演变过程。就是一系列弱抽象的过程。学生展示了下表：
