1、教师公开招聘考试中学数学（向量）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题1 已知 a=一 2i+mj+3k，b=nj-2j 一 k 是空间中的两个向量，则“ab”是“m=6，n= ”的( )（A）充分不必要条件（B）充要条件（C）必要不充分条件（D）既不充分也不必要条件2 已知向量 a=i+2j 一 k， b=-2i 一 j+k=，则 ab=( )（A）一 ij（B） 3ij+3k（C）一 5（D）i+j+3k3 已知空间内的三点 A(2，1，一 2)，B(1，1，一 1)，C(1，2，一 2)，则ABC=( )4 已知 a=(1，一 1，1)，b=(2，2，1) ，则 a 在 b 上的投影为(
2、)（A）3（B）一 3（C）（D）一5 已知空间内两直线 l1： ，若 l1l2，则( )6 已知 n=(1，2)，m=(-2 ，1)若向量 =( )（A）(3 ，1)（B） (-3，一 1)（C） (一 1，3)（D）(-1，1)7 向量 a=(x，2，1)，b=(2，一 1，y) ，ab，则 y 关于 x 的函数图象不经过( )（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限8 在平行四边形 ABCD 中，顶点 A(3，2，0)，B(5，3，1)，C(0，一 1，3)，则平行四边形 ABCD 的面积为( )（A）3（B）（C）（D）69 已知 a=i+2j+3k，b=2i+mj+4
3、k ，c=ni+2j+k 是空间中的三个向量，则“m=0 且 n=0”是“a，b，c 三向量共面”的( )（A）充分不必要条件（B）充要条件（C）必要不充分条件（D）既不充分也不必要条件10 已知 a=mi+j 一 2k，b=一 3i+j 一 nk 是空间中的两个向量，则 “ab”是“m=1，n=1” 的( )（A）充分不必要条件（B）充要条件（C）必要不充分条件（D）既不充分也不必要条件11 已知空间内两直线 l1： ，则“l1l2”是“m=一 n=一 2”的 ( )（A）充分不必要条件（B）充要条件（C）必要不充分条件（D）既不充分也不必要条件12 在四面体 OABC 中，OB=OC=1，
4、 AOB=AOC= =( )二、填空题13 将空间中一点 M(1，1，2)按向量 a=(一 1，一 2，1) 平移后，所得点 M的坐标为_14 已知空间内两个平面 ：xmy+2z=4， ：一 x+y-2z=1，若 与 的二面角的正切值为 ，则 m=_15 已知 i，j，k 分别是空间直角坐标系 x，y，z 三个轴的单位向量，若 s=i+j+k，则s=_16 已知直线 l： =3z，过点 A(3，5，一 2)与该直线平行的直线方程是_17 已知数列a n为 a1=1 且公差不为 0 的等差数列，向量 p=(a1，a 2，a 3)，q=(a2，a 6，a 10)若 pq，则 an 的通项公式是_1
5、8 已知a =1，b=2，a-b= 则 a 与 b 的夹角为_19 已知向量 a=(3，4，5)，则与 a 平行的单位向量 n=_20 已知空间中三个向量 a=(2，1，一 1)，b=(一 1，3，2)，c=(2，一 2，1)，则(ab).c=_21 若向量 m，n 的夹角为 60，m=2，n= ，则(m+2n)(m-n)=_22 已知空间两直线 l1： ，则直线l1，l 2 的夹角的余弦值是_23 已知 ab，a =2，b=4，则a+b_a-b(填“”“”或“=”)24 已知向量 a=2i+3j-k，b=一 i+2j 一 2k，c=2ma 一 3nb，若 cx 轴，则m=_(用 n 表示 )
6、三、解答题25 已知空间直线 L 的一般方程为 ，求： (1)直线 L 与平面 ：x一 2y+z 一 2=0 所成角的正弦值； (2)过点 A(3，2，一 1)且垂直于直线 L 的平面26 已知 ai，b iR(i=1，2，3)，试证明不等式a 1b1+a2b2+a3b327 已知空间向量 a=(3，0，-4)，b=(2 ，一 3，1)，求：(1)ab，ab；(2)(2a)(一 b)，(一 a)(2b)；(3)向量 a，b 所成角的正弦值28 已知 A(一 1，1，一 2)，B(一 5，6，2)，C(一 1，一 3，1)，求： (1)过点 M(一2，3，1) 且与 A，B，C 三点所在平面平行
7、的平面 ； (2)向量 的模；(3)点 A 到 BC 的距离(结果用根号表示即可)29 请用向量证明下列推论：(1)直径所对应的圆周角是直角；(2)平面上对角线互相平分的四边形是平行四边形30 已知 a，b ，c 是平面上三个单位向量，且 a+b+c=0(1)证明：(a-b)c ；(2)若a 一 b+kc2(k R)，求 k 的取值范围教师公开招聘考试中学数学（向量）模拟试卷 2 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 向量2 【正确答案】 D【试题解析】 ab=(1， 2，一 1)(一 2，一 1，1)=21 一(一 1)(一 1)i+(一 1)(一 2)一 1j
8、+1(一 1)-2(一 2)k=i+j+3k【知识模块】 向量3 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 向量4 【正确答案】 C【试题解析】 acos(a，b)即为 a 在 b 上的投影，将题干中的数代入，则有acos(a， b)=【知识模块】 向量5 【正确答案】 D【试题解析】 由题意知直线 l1，l 2 的方向向量分别为 s1=(m，2，一 1)，s 2-(4，3，一 n)，因为 l1l2，所以 【知识模块】 向量6 【正确答案】 A【试题解析】 =nm 一(1，2)一(一 2，1)=(3，1)【知识模块】 向量7 【正确答案】 C【试题解析】 因为 ab，所以 ab=2x 一 2
9、+y=0，即 y=一 2x+2，如图所示，该函数图象不过第三象限【知识模块】 向量8 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 向量9 【正确答案】 A【试题解析】 三向量共面的充要条件是(ab)c=0，即 =0，所以 m+8n一 3mn=0当 m=0 且 n=0 时，等式成立，可推出三向量共面；当三向量共面时，无法推出 m=0 且 n=0因此选 A【知识模块】 向量10 【正确答案】 C【试题解析】 当 ab 时，有 ab= 一 3m+1+2n=0，无法推出 m=1，n=1，所以“ab”是“m=1，n=1”的不充分条件；当 m=1，n=1 时，a=i+j 一 2k，b= 一 3i+j 一k
10、，ab=一 3+1+2=0，即 ab，所以“ab” 是“m=1 ，n=1” 的必要条件因此本题选 C【知识模块】 向量11 【正确答案】 C【试题解析】 由题意可知直线 l1，l 2 的方向向量分别为 s1=(2，m，一 1)，s2=(n，3，一 2)若 l1l2，则有 s1s 2=(2，m ，一 1)(n，3，一 2)=2n+3m+2=0，无法推出 m=一 n=一 2；若 m=一 n=一 2，则 s1=(2，一 2，一 1)，s2=(2， 3，一 2)，即 s1s 2=0，所以 l1l2综上所述 “l1l2”是“m= 一 n=一 2”的必要不充分条件【知识模块】 向量12 【正确答案】 D【
11、试题解析】 【知识模块】 向量二、填空题13 【正确答案】 (0，一 1，3)【试题解析】 由题意可知， =a，所以 M的坐标(x，y，z)=(1，1，2)+( 一 1，一 2，1)=(0，一 1，3) 【知识模块】 向量14 【正确答案】 3 或一【试题解析】 依题意可知， 的一个法向量分别是 n1=(1，一 m，2)，n 2=(一1，1，一 2)设 ， 的【知识模块】 向量15 【正确答案】 【试题解析】 依题意知 i，j，k 之间相互垂直，所以 ij=0，jk=0，ik=0又因为 S2=(i+j+k)2=i2+j2+k2+2ij+2jk+2i k=3，所以s = 。【知识模块】 向量16
12、 【正确答案】 =-2-z【试题解析】 因为所求直线与直线 l 平行，所以 l 的方向向量(2，一 2，一 1)即为所求直线方程的方向向量；又因为直线过 A(3，5，一 2)，所以所求直线方程为=一 2z【知识模块】 向量17 【正确答案】 a n=3n 一 2【试题解析】 根据题意可设数列a n的通项公式为 an=1+(n 一 1)d因为 pq，所以 ，解得 d=3 或 0(舍去)因此 an=3n 一2【知识模块】 向量18 【正确答案】 【试题解析】 a 一 b 2=(a 一 b)2=a2 一 2ab+b 2=12ab+4=3，所以ab=1，故 cos= 。【知识模块】 向量19 【正确答
13、案】 【试题解析】 【知识模块】 向量20 【正确答案】 23【试题解析】 (ab)c=(12 一(一 1)3，(一 1)(一 1)一 22，23 1(一 1)(2，一 2，1)=(5 ，一 3， 7)(2 ，一 2，1)=23【知识模块】 向量21 【正确答案】 -2【试题解析】 (m+2n)(m 一 n)=m2+mn 一 2n2=m 2+mn cos60一2n 2=4+2 【知识模块】 向量22 【正确答案】 【试题解析】 依题意可知直线 l1，l 2 的方向向量分别是 s1=(2，一 3，一 1)，s 2=(一3，1，2) ，s 1=【知识模块】 向量23 【正确答案】 =【试题解析】
14、【知识模块】 向量24 【正确答案】 一【试题解析】 依题意有 c=2m(2i+3j-k)一 3n(一 i+2j 一 2k)=(4m+3n)i+(6m 一 6n)j一(2m 一 6n)k，取 x 轴单位方向向量 e=(1，0，0)，因为 cx 轴，所以 ce，即ce=(4m+3n，6m 一 6n，一 2m+6n)(1，0，0)=4m+3n=0，所以 m=一 【知识模块】 向量三、解答题25 【正确答案】 (1)依题意知平面 的一个法向量为 n1=(1，一 2，1)， (2)因为平面 与直线 l 垂直， 所以可令平面 的法向量 n2=s=(5，一 5，一 5) 又因为平面 过点 A(3，2，一
15、1)， 所以平面 的方程为 5(x 一 3)一 5(y 一 2)一5(z+1)=0，即 xyz 一 2=0【知识模块】 向量26 【正确答案】 设 a=(a1，a 2，a 3)，b=(b 1，b 2，b 3)， 则ab=abcos(ab) 因为cos 1， 所以ab a b 即a 1b1+a2b2+a3b3，当 cos=1 时取等号【知识模块】 向量27 【正确答案】 (1)ab=(3，0，一 4)(2，一 3，1)=32+0( 一 3)+(一 4)1=2； ab= =-12i11j 一 9k (2)(2a)(一 b)=一 2(ab)=一 22=一 4； (-a)(2b)=一 2(ab)=一
16、2(一 12i11j 一 9k)=24f+22j+18k a 与 b 的夹角在0， 的范围内， 所以0sin1所以 sina，b=【知识模块】 向量28 【正确答案】 (1)设 A， B，C 三点所在的平面 的法向量为 n=(x，y，z)因为 ，所以 n也是平面 的法向量，即 n，又因为平面 过点(一 2，3，1)，所以平面 的方程为 (x+2)+3(y 一 3)+4(z 一 1)=0，整理可得平面 的方程为31x+12y+16z+10=0【知识模块】 向量29 【正确答案】 (1)如图所示，BC 为O 的直径，A 为圆上不同于 B、C 的一点【知识模块】 向量30 【正确答案】 (1)因为 a、b、c 为单位向量， 所以 a=b=c=1 设 a与 b 之间的夹角为 ， 由题干得 a+b=一 c，即(a+b) 2=c2 化简为a 2+2abcos+ b 2=c 2 所以(a 一 b)c=acbc =11cos120一 11cos120 =0 即(ab) c (2)因为a 一 b+kc2， 所以a一 b+kc 24，即 a2+b2+k2c2 一 2ab+2kac 一 2kb.c4， 即 k2 一 10，解得k一 1 或 k1故 k 的取值范围是(一，一 1)(1，+)【知识模块】 向量
