1、专升本高等数学一（一元函数积分学）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题1 下列等式中正确的是 ( )（A）f (x)dx=f(x)（B） ddf(x)=f(x)+C（C） f(x)dx=f(x)（D）df(x)dx=f(x)2 设f(x)dx=x 2+C，则xf(1 一 x2)dx= ( )（A）2(1 一 x2)2+C（B） 2(1 一 x2)2+C（C）一 (1 一 x2)2+C（D） (1 一 x2)2+C3 设 F(x)是 f(x)的一个原函数，则 cosxf(sinx)dx= ( )（A）F(cosx)+C（B） F(sinx)+C（C）一 F(cosx)+C（D）一 F(sinx)
2、+C4 不定积 dx= ( )5 若函数 f(x)在区间a，b上连续，则下列结论中正确的是 ( )（A）在区间(a，b)内至少存在一点 ，使得 f()=0（B）在区间(a，b)内至少存在一点 ，使得 f()=0（C）在区间(a，b)内至少存在一点 ，使得 f(b)一 f(a)=f()(b 一 a)（D）在区间(a，b)内至少存在一点 ，使得 abf(x)dx=f()(b 一 a)6 下列反常积分收敛的是 ( )7 若广义积分 0 dx=1，其中 k 为常数，则 k= ( )8 设 F(x)=xx2 esintsintdt，则 F(x) ( )（A）为正常数（B）为负常数（C）恒为零（D）不为常
3、数二、填空题9 =_10 =_11 说明定积分 1 1 dx 的几何意义，并求其值_12 0 dx=_13 设 f(x)= 则 2 2f(x)dx=_14 函数 y=一 图像上点(2，一 1)处的切线与坐标轴所围成图形的面积为_15 设 f(x)的原函数 F(x) 0，且 F(0)=1，当 x0 时，F(x)f(x)=sin 22x，求 f(x)16 求ln(1+x 2)dx17 设xf(x)dx=arcsinx+C，求 18 已知由 0yet2dt=0x2costdt+cosy2 确定 y 是 x 的函数，求 dy19 求 在 t=1 处的切线方程20 计算 0xt2et2dt21 求定积分
4、 01exsinxdx21 设函数 f 在a，b上连续，且 f(x)0，若 F(x)=axf(t)dt+bx dt，证明：22 F(x)为a，b上的严格单调递增函数；23 方程 F(x)=0 在(a，b)内有且只有一个根24 求由曲线 y=x2(x0)，直线 y=1 及 y 轴围成的平面图形的面积25 曲线 y=axx 2(a0)与 x 轴围成的平面图形被曲线 y=bx2(b0)分成面积相等的两部分，求 a，b 的值专升本高等数学一（一元函数积分学）模拟试卷 2 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 C【试题解析】 A 项：f (x)dx=df(x)=f(x)+C；B 项： ddf(x)=d(
5、f(x)+C)=f(x)dx；D项：df(x)dx=f(x)dx，故选 C【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 C【试题解析】 xf(1x 2)dx= f(1x 2)d(1x 2)=一 (1 一 x2)2+C【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 B【试题解析】 cosxf(sinx)dx=f(sinx)dsinx f()d=F()+C=F(sinx)+C【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 A【试题解析】 +C，故选 A【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 D【试题解析】 由积分中值定理可知，在闭区间上连续的函数在其开区间内至少存在一点 ，使得 abf(x)dx
6、=f()(ba)【知识模块】 一元函数积分学6 【正确答案】 D【试题解析】 由 1 dx 当 p1 时发散，p 1 时收敛，可知应选 D，容易看出A 选项发散；B 选项 1 =+，故此积分发散；对于 C 选项，由1 lnxdx=1 lnxd(lnx)= (lnx)2 1 = ，故此积分发散【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 B【试题解析】 因为 0 【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 A【试题解析】 因 esinxsinx 是以 2 为周期的周期函数，所以 xx 2esintsintdt=02esintsintdt=02esintd(cost) =一 esintcost
7、02一 02(cost)esintcostdt =02esintcos2tdt， 又 esinxcos2x0，故选 A【知识模块】 一元函数积分学二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 ，令 tanx=，则原式= C【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 曲线 y= 与 x 轴围成图形的面积，其值为【试题解析】 容易知道，题述定积分表示曲线 y= 与 x 轴围成的图形的面积，即以原点为圆心，1 为半径的上半圆的面积，故原式= 【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学13 【
8、正确答案】 【试题解析】 2 2f(x)dx=2 0dx+01(x+1)dx+122xdx =2 01x 2 12=2241= 【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 4【试题解析】 y (x)= ，y (2)= ，所以函数在点 (2，一 1)处的切线为 y 一(一1)= (x 一 2)，即 y= 2，切线与两坐标轴的交点分别为(0，一 2)，(4，0)，所以切线与两坐标轴所围成图形面积为【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 ln(1+x 2)dx=xln(1+x2)一 =xln(1+x2)一 =xln(1+x2)一 2(xar
9、ctanx)+C【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 原式两边对 x 求导，得 xf(x)= ，因此【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 等式两边对 x 求导得，e y2y =cox22x(一 siny2)2yy ，所以y= 【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 由 dy= ，而 t=1 时，y=a ，x= 01 ，故切线方程为 y 一 a=x【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 01exsinxdx=01sinxdex=exsinx 01 一 01exd(sinx)=esin1 一01excosxdx=e
10、sin1 一 01cosxdex=esin1excosx 01+01exd(cosx)=esin1ecos1+1 01exsinxdx从而 01exsinxdx= (esin1ecos1+1)【知识模块】 一元函数积分学【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 因为 F(x)= +22，所以 F(x)在 a，b上严格单调增加【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 因为 F(a)=ba dt=ab dt0，F(b)= abf(t)dt0，所以由闭区间上连续函数的根的存在性定理可知，方程 F(x)=0 在(a ，b)内至少存在一个根，又由于 F(x)在a，b上严格单调增加，所以方程 F(x)=0 在(a，b)内有且只有一个根【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 y=x 2(x0)，y=1 及 y 轴围成的平面图形 D 如图 35 所示其面积为 S=01(1 一 x2)dx=(x x3) 01= 【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 由 ax 一 x2=bx2 得两条曲线交点的横坐标为 x1=0，x 2= 由题设有 (ax 一 x2 一 bx2)dx=0a(ax 一 x2)dx，即 ，a 为大于零的任意常数【知识模块】 一元函数积分学
