1、专升本高等数学二（一元函数积分学）模拟试卷 3 及答案与解析一、选择题1 若 f(x)的导函数是 sinx，则函数 f(x)有一个原函数是 ( )（A）1+sinx（B） 1 一 sinx（C） 1+cosx（D）1 一 cosx2 若 f(lnx)=1+lnx，则 f(t)= ( )（A）t+ +C（B） 1+lnt+C（C） tlntC（D）t+ +C3 x2ex3dx= ( )（A） x2ex3+C（B） 3x2ex3+C（C） ex3+C（D）3e x3+C4 下列各式中正确的是 ( )（A） 01x3dx01x2dx（B） 12lnxdx12(lnx)2dx（C） abarcsinx
2、dx=arcsinx（D） 1 1 dx=05 0 2sinxdx= ( )（A）（B） 1（C） 2（D）36 设 f(x)=0xsintdt，则 ff( )= ( )（A）一 1（B） 1（C）一 cos1（D）1 一 cos17 已知函数 f(x)在区间0， a(a0)上连续，f(0)0，且在(0，a)上恒有 f(x)0，设s1=0af(x)dx，s 2=af(0)，s 1 与 s2 的关系是 ( )（A）s 1s 2（B） s1=s2（C） s1s 2（D）不确定8 椭圆曲线 +y2=1 围成的平面图形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体体积 V= ( )（A）2（B） （C）（D）二、填空
3、题9 不定积分 dx=_10 (tan+cot)2d=_11 02 x 一 1dx=_12 12 dx=_13 极限 =_14 曲线 所围图形的面积 A=_15 计算不定积分 16 求x 2cosxdx17 求 dx18 计算xsinxcosxdx19 设 f(x)=x0tet2 dt，求 f(x)在1，2上的最大值20 已知 f(x)= 求 1 1f(x)dx21 求反常积分 21 若当 x0 时，函数 f(x)=0x2t33t a dt 与 x 是等价无穷小量22 求常数 a 的值，23 证明： f(2)823 设函数 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内大于零，并满足 xf(x)=f
4、(x)+ x2(a 为常数)，又曲线 y=f(x)与直线 x=0，x=1 ，y=0 所围成图形 S 的面积为 224 求函数 f(x)；25 a 为何值时，图形 S 绕 x 轴旋转一周得到的体积最小26 求曲线 y=ex 与直线 y=0 之间位于第一象限的平面图形的面积专升本高等数学二（一元函数积分学）模拟试卷 3 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 B【试题解析】 f (x)=sinx，则 f(x)=f(x)dx=sinxdx=cosx+C，f(x)dx=(一 cosx+C)dx=sinx+Cx+C 1，令 C=0，C 1=1，故 f(x)的一个原函数为 1 一 sinx【知识模块】 一元
5、函数积分学2 【正确答案】 A【试题解析】 f (lnx)=1+lnx，则 f(x)=1+x，故 f(x)=x+ C，即 f(t)=t +C【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 C【试题解析】 C【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 B【试题解析】 对于选项 A，当 0x1时，x 3x2，则 01x3dx01x2dx对于选项 B，当 1x2时，lnx(lnx) 2，则 12lnxdx12(lnx)2dx对于选项C， abarcsinxdx=0(因 abarcsinxdx 是一个常数 )对于选项 D， 1 1 dx=0 不成立，因为当 x=0 时， 无意义【知识模块】 一元函数积
6、分学5 【正确答案】 C【试题解析】 =2【知识模块】 一元函数积分学6 【正确答案】 D【试题解析】 由牛顿一莱布尼茨公式有 f(x)=0xsintdt=一 cost 0x=1 一 cosx，所以有 =f(1)=1 一 cos1故选 D【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 C【试题解析】 由 f(x)0 在(0，a)上恒成立知 f(x)在(0，a)严格单调增加，由积分中值定理知，存在 (0，a)，使得 s1=0af(x)dx=af() ，由于 0a，则 f(0)f() f(a)，即 af() af(0)=s 2，即 s1s 2，故选 C【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 C
7、【试题解析】 V= 2 2(1 一 )dx=(x 一 x3) 2 2= 【知识模块】 一元函数积分学二、填空题9 【正确答案】 +C【试题解析】 =(1+lnx)2013d(lnx)=(1+lnx)2013d(1+lnx)= C 【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 tan 一 cot+C【试题解析】 (tan+cot) 2d=(tan2+2+cot2)d=(sec2+csc2)d=tancot+C 【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 1【试题解析】 02x 一 1dx= 01(1 一 x)dx 12(x1)dx=(x x2) 01( x) 12=1【知识模块】 一元函数
8、积分学12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 a 2【试题解析】 消参后曲线 方程即为 x2+y2=a2，故其面积为 A=a2【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】 原式= +C【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 x 2cosxdx=x2d(sinx)=x2sinxsinxd(x 2) =x2sinx2xsinxdx=x 2sinx+2xd(cosx) =x2sinx+2xcosx2cosxdx =x 2sinx+2xcosx 一2sinx+C【知识模块】 一元函数积分学
9、17 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 f (x)=一 xex2 ，且在1，2上 f(x)0，f(x)在1，2上单调递减，故最大值是 f(1)，而 f(1)= 【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 1 1f(x)dx=1 0 dx 01 dx，其中， 1 0 dx=1 0(1)dx=1ln(1e x) 1 0=ln(1e) ln2， 01 dx=01 d(x1)=ln(1x) 01=ln2，所以 1 1f(x)dx=ln(1+e)【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学【知
10、识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 由题意可知， =2a=1，得 a=0；【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 已知 f(x)=0x2t33t dt，设 g(t)=2t33t 则令 g(t)=ln22 t33t (3t23)=0，得 t=1，g(0)=1，g(1)= ，g(2)=4，故在0，2上 g(t)4，由估值定理得 2 02g(t)dt24，即 f(2)8【知识模块】 一元函数积分学【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 将 xf(x)=f(x)+ x2 化成 对上式两边积分，由 f(x)在 x=0 的连续性得 f(x)= x2+cx，(x 0，1)由已知 2=01f(x)dx=01 ，c=4 一 a，f(x)=x2+(4 一 a)x；【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 V=V(a)= 01f2(x)dx=01 V (a)= ，令 V(a)=0 得 a=一5，V (a)= ，V (一 5)= 0a=一 5 是 V 的唯一极小值点，从而为最小值点，因此 a=一 5 时，旋转体的体积最小【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 如 39 图，曲线 y=ex 与 x 轴之间在第一象限的平面图形的面积A=0 ex dx=一 ex 0 =1【知识模块】 一元函数积分学
