1、专升本高等数学二（常微分方程）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题1 下列方程是二阶齐次线性微分方程的是 ( )（A）(y )2+5yy+xy=0（B） x2y+2y+yx2=0（C） yy+x2y+y2=0（D）xy +2y+x2y=02 设 y1，y 2 是一阶线性非齐次微分方程 y+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数 ， 使y1+y2 是该方程的解，y 1 一 y2 是该方程对应的齐次方程的解，则 ( )3 f(x)=02xf( )dt+ln2，则 f(x)= ( )（A）e xln2（B） e2xln2（C） ex+ln2（D）e 2x+ln24 已知函数 y=f(x)是微分方程
2、2y =y 满足初始条件 y x=4=1 的特解，则 f(16)= ( )（A）1（B） e（C） e2（D）05 设二阶常系数线性齐次方程 y+py+qy=0，它的特征方程有两个不相等的实根r1、r 2，则方程的通解是 ( )（A）C 1cosr1x+C2sinr2x（B） C1er1x+C2xer2x（C） C1er1x+C2er2x（D）x(C 1er1x+C2er2x)6 设 y=f(x)是方程 y一 2y+4y=0 的一个解，若 f(x0)0，且 f(x0)=0，则函数 f(x)在点 x0( )（A）取得极大值（B）取得极小值（C）某个邻域内单调增加（D）某个邻域内单调减少7 具有待
3、定特解形式为 y=ax+b+Bex 的微分方程是 ( )（A）y +y一 2y=2x+ex（B） y一 y一 2y=4x 一 2ex（C） y一 2y+y=x+ex（D）y 一 2y=x+2ex8 求微分方程(1 一 x2)yxy =0 的通解时，可 ( )（A）设 y=p，则有 y=p（B）设 y=p，则有 y=（C）设 y=p，则有 y=（D）设 y=p，则有 y=二、填空题9 微分方程 xy2y +3y4=0 的阶数为_10 设 0xf(t)dt=ex 一 f(x)，则 f(x)=_11 已知曲线 y=f(x)过点(0， )，且其上任一点(x，y)处的切线斜率为 xln(1+x2)，则
4、f(x)=_12 已知某二阶线性齐次微分方程的通解为 y=C1ex +C2e2x，则该微分方程为_13 已知微分方程 y+ =0 的两个特解 y1=ex，y 2=x，则该方程满足初始条件 y(0)=1，y (0)=2 的解为_14 求方程 =0 的通解15 求方程 eyy一 xe2x2=0，满足 y x=0=0 的特解16 求微分方程 =0，满足初始条件 y x=0=0 的特解17 求微分方程 xy+y=xsinx2 满足 的特解18 设 x0 时 f(x)可导，且满足 f(x)=1+ 1xf(t)dt，求 f(x)19 设可导函数 f(x)满足 f(x)cosx+20xf(t)sintdt=
5、x+1，求 f(x)20 已知函数 0x2f(t)t 2costdt=xf(x)，且 =0，求函数 f(x)21 求方程 满足初始条件 y x=0=1 的特解22 求 y2y 一 8y=0 的通解23 求 y一 y一 2y=sin3x 的特解24 求 y+y一 12y=(x+2)ex 的通解25 已知二阶可导函数 y=f(x)满足 f(x)=x3+1 一 x0xf(t)dt+0xtf(t)dt，求 f(x)26 求微分方程 xdy=y(lnylnx)dx 的通解27 求 y(5)一 y(4)=0 的通解专升本高等数学二（常微分方程）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 D【试题解
6、析】 由二阶齐次线性微分方程的定义可知 D 正确，A 、C 项是非线性的，B 项是非齐次的【知识模块】 常微分方程2 【正确答案】 A【试题解析】 将解 y1+y2 代入方程 yp(x)y=q(x) ，得 y1+p(x)y1y 2+p(x)y2=q(x)又 y1p(x)y 1=q(x)，y 2+p(x)y2=q(x)，故 +=1； 将解 y1y 2：代入方程 y+p(x)y=0，得 y1+p(x)y1一 y2+p(x)y2=0又 y1+p(x)y1=q(x)，y2+p(x)y2=q(x)，故 一 =0 联立 ，两式，得 ，故选 A【知识模块】 常微分方程3 【正确答案】 B【试题解析】 因 f
7、(x)=f(x)2，即 y=2y,此为一阶常系数线性齐次方程，分离变量得 dy=2dx，积分得 Iny=2x+C 1，故通解为 y=Ce2x，又当 x=0 时，f(0)=ln2，所以 C=ln2，故 f(x)=e2xln2【知识模块】 常微分方程4 【正确答案】 C【试题解析】 =y 分离变量可得 ，两边积分得 lny= +C1，即 y=，又方程满足 y x=4=1，可得 C=e2 ，故方程特解为 y= ，当 x=16 时，f(16)=e2，故选 C【知识模块】 常微分方程5 【正确答案】 C【试题解析】 由二阶齐次线性微分方程对应的特征方程的根的情况可得该方程的通解为 y=C1er1x+C2
8、er2x，C 1、C 2 为任意常数【知识模块】 常微分方程6 【正确答案】 A【试题解析】 由题设，有 f(x0)一 2f(x0)+4f(x0)=0，结合 f(x0)0，f (x0)=0，可得f(x0)=一 4f(x0)0，由极值判别的充分条件，x=x 0 是 f(x)的极大值点故选 A【知识模块】 常微分方程7 【正确答案】 B【试题解析】 根据特解形式以及选项中等式右端的式子可知，=0，=1 不是二阶齐次线性微分方程的特征根，分别求解四个选项中二阶齐次线性微分方程的特征根，可知只有 B 选项满足条件，故选 B【知识模块】 常微分方程8 【正确答案】 A【试题解析】 对于可降阶方程中的 y
9、=f(x，y )型，需令 y=p，则 y=p，故选 A【知识模块】 常微分方程二、填空题9 【正确答案】 3【试题解析】 题中含有的未知函数 y 的导数最高为三阶，故该微分方程的阶数为3【知识模块】 常微分方程10 【正确答案】 (ex+ex )【试题解析】 等式两边求导得 f(x)+f(x)=ex，利用一阶非齐次线性微分方程的通解公式得 f(x)=edx (exedx+C)=ex (e2x+C)=ex ( e2xC)= ex+Cex ，当 x=0 时，f(0)=1，代入通解公式可得 C= (exe x )【知识模块】 常微分方程11 【正确答案】 (1+x2)ln(1+x2)一 1【试题解析
10、】 由题可知 y=xln(1+x2)，即 dy=xln(1+x2)dx等式两端积分得y=xln(1+x2)dx= (1+x2)ln(1+x2)一 1+C把(0， )代入上式，得 C=0，故f(x)= (1+x2)ln(1+x2)一 1【知识模块】 常微分方程12 【正确答案】 y 一 y一 2y=0【试题解析】 由该二阶齐次线性微分方程的通解可知该方程对应的特征方程的特征根为 r1=一 1，r 2=2，所以对应的特征方程为(r+1)(r 一 2)=r2 一 r 一 2=0，故该微分方程为 y一 y一 2y=0【知识模块】 常微分方程13 【正确答案】 y=e x+x【试题解析】 线性微分方程解
11、的结构，y 1，y 2 是齐次方程 y+ =0 的两个线性无关特解，所以 y=C1y1C 2y2 是 y =0 的通解，再由初始条件 y(0)=1，y (0)=2 可解得 y=ex+x【知识模块】 常微分方程14 【正确答案】 原方程可分离变量，化为 ，两边积分得 =C，其中 C 为任意常数【知识模块】 常微分方程15 【正确答案】 方程分离变量得 eydy=xe2x2dx，两边积分有 eydy=xe2x2dx，即 ey=e2x2+C，将初始条件代入得 C= ，则方程的特解为 4ey=e2x2+3【知识模块】 常微分方程16 【正确答案】 方程分离变量得 ， 将初始条件 y x=0=0 代入方
12、程得C=2，则方程的特解为 =2【知识模块】 常微分方程17 【正确答案】 将原方程改写成 y+ =sinx2，则 将初始条件 ，故原方程的特解为 y= 【知识模块】 常微分方程18 【正确答案】 因 f(x)=1+ 1xf(t)dt 可导，在该式两边乘 x 得 xf(x)=x+1xf(t)dt，两边对 x 求导得 f(x)+xf(x)=1+f(x)，所以 f(x)= ，则 f(x)=lnx+C，再由 x=1 时，f(1)=1，得 C=1，故 f(x)=lnx+1【知识模块】 常微分方程19 【正确答案】 等式两端对 x 求导得 f(x)cosx+f(x)sinx=1，整理可得 f(x)+f(
13、x)tanx=secx， 此为一阶线性微分方程，利用其通解公式得 y=etanxdx secxetanxdxdx+C=cosx(sec2xdx+C) =cosx(tanx+C)=sinx+Ccosx， 又 f(0)=1，所以 0+C=1，C=1，故 f(x)=sinx+cosx【知识模块】 常微分方程20 【正确答案】 对方程 0x2f(t)t 2costdt=xf(x)两端同时对 x 求导数，得 f(x)=一f(x)=xcosx，则此方程为一阶线性微分方程，令 P(x)= ，Q(x)=xcosx，则此一阶微分方程的通解为 f(x)=eP(x)dx Q(x)eP(x)dxdx+C= =xcos
14、xdxC=x(sinx+C)又因 =0，所以 C=一 1，故 f(x)=x(sinx 一 1)【知识模块】 常微分方程21 【正确答案】 原方程不容易求解，若看作 x=x(y)的一阶微分方程则可求解此时 P(y)= ，Q(y)=y，代入通解公式得 将初始条件 x=0 时 y=1 代入，可得C= ，故得所求特解为 x= 【知识模块】 常微分方程22 【正确答案】 对应的特征方程为 r2+2r 一 8=0，解得 r=一 4，2，故原方程的通解为 y=C 1e4x +C2e2x 其中 C1，C 2 为任意常数【知识模块】 常微分方程23 【正确答案】 原方程对应的齐次方程的特征方程为 r2 一 r
15、一 2=0，r 1=一1，r 2=2，=3i 不是特征方程的根，故设原方程的特解为 y=Asin3x+Bcos3x，则 y=一 3Bsin3x+3Acos3x，y =一 9Asin3x 一 9Bcos3x，代入原方程得一 9Asin3x 一9Bcos3x 一(一 3Bsin3x+3Acos3x)一 2(Asin3x+Bcos3x)=sin3x，则 cos3x【知识模块】 常微分方程24 【正确答案】 原方程对应的齐次方程的特征方程为 r2+r 一 12=0，解得 r1=一4，r 2=3，所以对应的齐次方程的通解为 =C1e4x +C2e3x，=一 1，不是特征方程的根，故设原方程的特解为 y*
16、=ex (Ax+B)，则(y *)=ex (一 AxB+A)，(y *)=e x(Ax+B 一 2A)，代入原方程得 ex (Ax+B 一 2A)+ex (一 AxB+A)一12ex (Ax+B)=(x+2)ex ，解得 ，故原方程的通解为y=C1e4x +C2e3x+ex 其中 C1，C 2 为任意常数【知识模块】 常微分方程25 【正确答案】 对等式求导得 f(x)=3x2 一 0xf(t)dtxf(x)+xf(x)=3x2 一 0xf(t)dt， 再求导得 f(x)=6x 一 f(x)，即 f(x)+f(x)=6x， 这是二阶非齐次线性微分方程，其对应的齐次方程的特征方程为 r2+1=0
17、，所以 r1=i，r 2=一 i， 故对应二阶齐次微分方程通解为 y=C1cosx+C2sinx =0 不是该微分方程的特征根，故特解形式为 y*=Ax+B， (y*)=A，(y *)=0，代入原方程得 Ax+B=6x，解得 A=6，B=0 故通解为 f(x)=C1cosx+C2sinx+6x，又方程满足 f(0)=1，f (0)=0，所以解之可得 C1=1，C 2=一 6，故函数 f(x)=cosx 一 6sinx+6x【知识模块】 常微分方程26 【正确答案】 原方程化为 ，是齐次微分方程令 =(由于x0，y0，所以 0)，得 =ln，分离变量可得 ，积分得 lnln 一1=lnx+lnC，即 ln 一 1=Cx，将 = 回代，得原方程的通解为 一1=Cx (或 y=xeCx1 )其中 C 为任意常数【知识模块】 常微分方程27 【正确答案】 令 y(4)=p，则 y(5)=p，原方程化为 p一 =0分离变量后积分得p=C1x，即 y(4)=C1x，连续积分四次得通解为y= C1x5+ C2x3 C3x2+C4x+C5其中 C1，C 2，C 3，C 4，C 5 为任意常数【知识模块】 常微分方程
