1、全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷 13 及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 设向量组 1， 2， 3 线性无关，则下列向量组线性相关的是 ( )（A） 1+2， 2+3， 3+1（B） 1， 1+2， 1+2+3（C） 1 一 2， 2 一 3， 3 一 1（D） 1+2， 22+3，3 3+12 要使 1=(1，0，1) T， 2=(一 2，0，1) T 都是线性方程组 Ax=0 的解，只要系数矩阵A 为 ( )3 设向量组(I)： 1=(a11，a 21,a31)T， 2=(a12，
2、a 22，a 32)T， 3=(a13,a23，a 33)T，向量组()： 1=(a11，a 21，a 31， a41)T， 2=(a12，a 22，a 32， a42)T， 3=(a13，a 23，a 33，a 43)T，则 ( )4 设 1， 2， 3 是 Ax=0 的基础解系，则该方程组的基础解系还可以表示成 ( )（A） 1， 2， 3 的一个等价向量组（B） 1， 2， 3 的一个等秩向量组（C） 1， 1+2， 1+2+3（D） 12， 2 一 3， 315 设 ， 1， 2 线性相关，, 2， 3 线性无关，则 ( )（A） 1， 2， 3 线性相关（B） 1， 2， 3 线性无
3、关（C） 1 可以用 ， 2， 3 线性表示（D） 可以用 1， 2， 3 线性表示二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 行列式 的值为_7 设 A 是 n 阶方阵，A*为 A 的伴随矩阵，|A|=5 ，则方阵 B=AA*的特征值是_，特征向量是_8 已知矩阵 有一个特征值为 0，则 x=_9 三阶方阵 A 的特征值为 1，一 1，2，则 B=2A3 一 3A2 的特征值为_10 已知矩阵 A 与对角矩阵 相似，则 A2=_11 设 且 A 的特征值为 2 和 1(二重)，那么B 的特征值为_12 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=-2x12 一 6x22 一 4
4、x32+2x1x2+2x1x3，则二次型对应的矩阵为_13 已知矩阵 相似，则x=_， y=_14 设 A 为 3 阶实对称矩阵，如果二次曲面方程(x，y，z)A =1，在正交变换下的标准方程的图形如图所示，则 A 的正特征值的个数为 _15 设 A，B 为 n 阶方阵，且|A|0 ，则 AB 和 BA 相似，这是因为存在可逆矩阵P=_，使得 P-1ABP=BA.三、计算题16 利用范德蒙德行列式计算：D=17 设 且矩阵 X 满足关系式 X(CB)T=E，求 X18 已知向量组 1， 2， 3， 4 且 A=(1， 2， 3， 4)= 求向量组的秩及其一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组
5、线性表示19 设 求此向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表出20 已知非齐次线性方程组 ，讨论： 取何值时，方程组(1)有唯一解；(2) 无解；(3)有无穷多解?并在有无穷解时求通解21 设三阶方阵 A 有特征值-1，1，2， 求：(1)A 3+A+2E 的特征值； (2)2A -1+E 的特征值22 t 取何值时，二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+3x22+tx32+2x1x2 一 2x2x3 正定四、证明题23 设 A 为 n 阶方阵，且 A2=A，证明：若 A 的秩为 rn，则 AE 的秩为 n 一 r，其中 E 是 n 阶单位矩阵全国自考公共课线性代数
6、（经管类）模拟试卷 13 答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 【正确答案】 C【试题解析】 显然( 1 一 2)+(2 一 3)+(3 一 1)=02 【正确答案】 D【试题解析】 1， 2 显然线性无关，故系数矩阵的秩至多为 32=1，只有 D 符合3 【正确答案】 B【试题解析】 令 1=(1，0，0) T， 2=(1，0，0) T， 3=(0，1，0) T， 1=(1，0，0，1)T， 2=(1，0 ，0，0) T， 3=(0，1，0，0) T，显然 1， 2， 3 线性相关，而1， 2，
7、3 线性无关，排除 A，C同理可举例排除 D 也可证明 B 成立，(I) 无关，故矩阵 A43=(1， 2， 3)有一个 3 阶主式不为零，故 A 的列向量组的秩也必为 3，故 1， 2， 3 线性无关4 【正确答案】 C【试题解析】 A 错误，这是因为等价向量组所含向量的个数不一定相同，如1， 2， 3， 1+2 也与 1， 2， 3 等价，但它不是基础解系B 也错误，等价自然等秩C 正确，一方面它与 1， 2， 3 等价，且另一方面个数也为 3D 错误， 1一 2， 2 一 3， 3 一 1 线性相关5 【正确答案】 C【试题解析】 ， 2， 3 线性无关，自然 ， 2 也线性无关， ，
8、1， 2 线性相关，故存在不全为零的数 k1， k2，k 3 使得 k1+k21+k32=0，又 ， 2 线性无关，故k20(否则 k1，k 2 都为 0)，故 ，即 1 可以被 ， 2 线性表示，当然也就能被 ， 2， 3 线性表示，故选 CA，B，D 都可举出反例二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 【正确答案】 0【试题解析】 7 【正确答案】 5 任意 n 维非零向量 【试题解析】 因为 AA*=A*A=|A|E，所以对于任意 n 维非零向量 ，有AA*=|A|E=|A|所以|A|=5 是 B=AA*的特征值，任意 n 维非零向量 为其对应的特征向量8 【正确
9、答案】 【试题解析】 A 的行列式等于 A 的所有特征值的乘积，因为 A 有一个特征值为0，所以|A|=52x=0，x=9 【正确答案】 -1，一 5，4【试题解析】 设 A 的特征向量 ，对应特征值 ，则有 B=(2A33A2)=2A3 一3A2=23 一 32=(2332)，故 23 一 32 是 B 的特征值10 【正确答案】 E【试题解析】 因 A 与 D 相似，且 ，则存在可逆矩阵 T，使得TAT-1=D则 TAT-1.TAT-1=D.D= 即TA2T-1= ，两边分别左乘 T-1，右乘 T，则 即 A2=E11 【正确答案】 2 和 1(二重)【试题解析】 因为|E 一 A|=|(
10、E 一 A)T|=|E 一 AT|，即 A 与 AT 有相同的特征多项式，故有相同的特征值，又 AT=B故 B 的特征值即为 2 和 1(二重)12 【正确答案】 【试题解析】 由对称性易知为13 【正确答案】 0，1【试题解析】 因 AB，故 tr(A)=tr(B)，故 2+x=2+y 一 1又因 AB，故|A|=|B|，故一 2=-2y，故 y=1，x=014 【正确答案】 1【试题解析】 由图形可知二次曲面为双叶双曲面，其标准方程应为 从而方程左端对应二次型的正惯性指数为 1，即正特征值的个数为 115 【正确答案】 A【试题解析】 由|A|0 知 A 可逆，又 A-1(AB)A=BA，
11、故 P=A三、计算题16 【正确答案】 =(21)(31)(41)(32)(42)(43)=1217 【正确答案】 由题意知18 【正确答案】 A=( 1， 2， 3， 4)=因此，向量组的秩为 3， 1， 2， 3 是向量组的一个极大无关组(极大无关组不唯一)，并且 4=一 2+2319 【正确答案】 ( 1， 2， 3， 4)=，则 r(1， 2， 3， 4)=3，其中 1， 2， 3 构成极大无关组，且 4=一21+22+320 【正确答案】 方程组的增广矩阵(1)当 且 1 时，r(A)=r(A，b)=3 ，方程组有唯一解(2)当 时，r(A)=2，r(A，b)=3，方程组无解(3)当
12、 =1 时，r(A)=r(A，b)=2 ，方程组有无穷解，此时21 【正确答案】 (1)设 f(x)=x3+x+2，f(A)=A 3+A+2E，f(A)的特征值为 f(一 1)=0，f(1)=4 ，f(2)=12(2)A -1 的特征值为一 1，1， 设 g(x)=2x+1，g(A -1)=2A-1+E，g(A -1)的特征值为 g(一 1)=一 1，g(1)=3 22 【正确答案】 f(x 1，x 2，x 3)=(x12+2x1x2+x22)+=(x1+x2)2+ 所以，当 时，该二次型的标准形中正惯性指数等于秩，此时，二次型正定四、证明题23 【正确答案】 因为 A2=A，所以 A(AE)=0A 的秩为 rn，则 Ax=0 的解空间的维数为 nr，而 AE 的列向量都是 Ax=0 的解，于是 AE 的列向量极大无关组中向量的个数n 一 r，即 r(AE)n 一 r，所以 r+r(AE)n，所以 r(A)+r(AE)n， 又因为 r(A)+r(AE)=r(A)+r(EA)r(A+EA)=r(E)=n 所以，r(A)+r(AE)=n，所以 r(AE)=n 一 r
