1、全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷 14 及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 零为矩阵 A 的特征值是 A 不可逆的 ( )（A）必要条件（B）充分条件（C）非充分、非必要条件（D）充要条件2 设 1， 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值， 与 是 A 的分别属于特征值 1， 2的特征向量，则 与 ( )（A）对应分量成比例（B）线性无关（C）可能有零向量（D）线性相关3 设 1 与 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值， 是 A 的分别属于 1， 2 的特征向量，则 ( )（A）存在常数
2、k10，k 20，使 k1+k2 是 A 的特征向量（B）存在唯一的一组常数 k10，k 20，k 1g+k2 是 A 的特征向量（C）对任意 k10，k 20，k 1+k2，是 A 的特征向量（D）当 k10，k 20 时，k 1+k2 不可能是 A 的特征向量4 设三元实二次型 f(x1，x 2，x 3)=一 2x12+3x22 一 4x32，则其规范形为 ( )（A）一 z12 一 z22 一 z32（B）一 z12+z22+z32（C） z12 一 z22 一 z32（D）z 12+z22+z325 设 0 是 n 阶矩阵 A 的特征值，且齐次线性方程组( 0E-A)x=0 的基础解系
3、为 1 和2，则 A 的属于 0 的全部特征向量是 ( )（A） 1 和 2（B） C11+C22+C2(C1，C 2 为任意常数)（C） C11+C22(C1，C 2 为不全为零的任意常数 )（D） 1 或 2二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 行列式7 矩阵 行向量组线性_8 齐次线性方程组 的基础解系为_9 设矩阵 A 的伴随矩阵 则 A-1=_10 设 则 B=A2 一 2A+3E 的特征值为_11 若行列式 则 x=_12 若13 设 ，则(A*) -1=_14 用初等变换将矩阵 化为标准形为_。15 二次型 f(x1，x 2，x 3)=2x12+3x22
4、+5x32+2x1x22x1x3+8x2x3 的矩阵是_三、计算题16 计算行列式 D=17 解矩阵方程18 求矩阵 的秩19 为何值时，线性方程组 有唯一解，无解和有无穷多解?当方程组有无穷多解时求其通解20 设 问 1， 2， 3是否是 A 的特征向量? 如果是，它们分别属于哪个特征值?21 设三阶矩阵 ，求矩阵 A 的特征值和特征向量22 求一个正交变换 x=Py，把二次型 f(x1，x 2，x 3)=3x12+4x1x2+2x32 化为标准形四、证明题23 设 1=1， 2=1+2， 3=1+2+3， 4=1+2+3+4，且向量组 1， 2， 3， 4 线性无关，证明：向量组 1， 2
5、， 3， 4 也线性无关全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷 14 答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 【正确答案】 D【试题解析】 零为矩阵 A 的特征值,|0EA|=|-A|=(一 1)n|A|=0,|A|=0 推得 A 不可逆故选 D.2 【正确答案】 B【试题解析】 因 12， 与 是 A 的特征向量，则 ，则由定理 5.2.4 得 ，线性无关。3 【正确答案】 D【试题解析】 假设 k1+k2 是 A 的属于 的特征向量，即 A(k 1+k2)=(k1+k2)，即(k 11+k22)
6、=k1+k2，即(k 11k1)+(k22k2)=0，而 与 分属于 A 的两个不同特征值的特征向量， 又 k1，k 2 都不为 0，得=1=2 与 12 矛盾 故当 k10，k 20 时，k 1+k2，不可能是 A 的特征向量，选 D4 【正确答案】 C【试题解析】 三元二次型 f=一 2x12+3x22 一 4x32，经过可逆线性变换：，则其规范型为 f=z12 一 z22 一 z325 【正确答案】 C【试题解析】 对任意常数 C1，C 2，都有( 0EA)(C11+C22)=C1(0EA)1+C2(0EA)2=0 即有 A(C 11+C22)=0(C11+C22) 但又由于零向量不是特
7、征向量 故属于 0 的全部特征向量即为 C11+C22，(C 12+C220)，故选 C二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 【正确答案】 0【试题解析】 7 【正确答案】 相关【试题解析】 向量个数大于维数，则线性相关8 【正确答案】 (0，0，1，0) T，(一 1，1，0，1) T【试题解析】 9 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 2，6【试题解析】 上三角矩阵 A 的特征值为 1 和 3，由 B=A2 一 2A+3E 知，对应多项式 f(x)=x2 一 2x+3，所以 B 特征值为 f(1)=2，f(3)=611 【正确答案】 3【试题解析】 1
8、2 【正确答案】 2【试题解析】 13 【正确答案】 【试题解析】 由于 所以 A*=|A|A -1，(A*) -1=(|A|.A-1)-1= 又|A|=1，所以(A*) -1=A.14 【正确答案】 【试题解析】 对 A 进行初等变换，有15 【正确答案】 【试题解析】 因 f(x1，x 2，x 3)=2xx12+3x22+5x32+2x1x22x1x3+8x2x3 可以由二次型的性质知，其二次型的矩阵为三、计算题16 【正确答案】 把第一行的(一 1)倍加到第二行上，第一行的(-1)倍加到第三行上，17 【正确答案】 18 【正确答案】 所以 r(A)=319 【正确答案】 线性方程组的增
9、广矩阵所以，当 1 且 一 2 时，r(A)=r(A，b)=3 ，方程组有唯一解；当 =一 2 时，r(A)=2，r(A ，b)=3，方程组无解；当 =1 时，r(A)=r(A ，b)=1，方程组有无穷多组解当方程组有无穷多解时，同解方程组为 x1=一 x2 一 x3-2，令 x2=x3=0，得 x1=一 2，从而得到方程组的一个特解 原方程组的导出组的同解方程组为x1=一 x2 一 x3，20 【正确答案】 ，即 1 是 A 的属于特征值一 1 的特征向量 即 2是 A 的属于特征值一 2 的特征向量，即 3 是 A 的属于特征值一 3 的特征向量21 【正确答案】 矩阵 A 的特征多项式为
10、故 A 的特征值为 1=0， 2=3=1对于特征值 1=0，解齐次线性方程组(0E 一 Ax)=0，得其一个基础解系为 故属于特征值 1=0 的全部特征向量为 k1 k1 是不为零的任意常数对于特征值 2=3=1，解齐次线性方程组(EA)x=0 ，故属于特征值 2=3=1 的全部特征向量为k22+k33= 其中 k2，k 3 是不全为零的任意常数22 【正确答案】 二次型的矩阵是故 A 的特征值为 1=-1， 2=2， 3=4当 1=一 1 时解方程组(一 E-A)x=0，对 A+E 进行初等行变换，得属于特征值 1=一 1 的一个特征向量是当 2=2 时，解方程组(2EA)x=0 ，得到属于
11、特征值 2=2 的一个特征向量是 当 3=4 时，解方程组(4EA)x=0 ，得到属于特征值 3=4 的一个特征向量是 令P=(p1，p 2，p 3)= ，则 P 为正交矩阵 从而 x=Py 为正交变换，故f(x1，x 2，x 3)=f(y1，y 2，y 3)=一 y12+2y22+4y32四、证明题23 【正确答案】 设存在一组数 k1，k 2，k 3，k 4，使 k11+k22+k33+k44=0，则k11+k2(1+2)+k3(1+2+3)+k4(1+2+3+4)=0，即(k 1+k2+k3+k4)1+(k2+k3+k4)2+(k3+k4)3+k44=0，又因为 1， 2， 3， 4 线性无关，故从而得 k1=k2=k3=k4=0，所以向量组 1， 2， 3， 4 也线性无关
