1、第一讲 三角函数的图象与性质,热点题型1 函数y=Asin(x+)的性质 【感悟经典】 【典例】1.已知函数f(x)=sin x+ cos x(0) 在 上单调递减,且满足f +f =0, 则= ( ) A.2 B.3 C.4 D.5,2.已知函数f(x)=sin (xR),下面结论错误的是( ) A.函数f(x)的最小正周期为 B.函数f(x)是偶函数 C.函数f(x)的图象关于直线x= 对称 D.函数f(x)在区间 上是增函数,3.已知函数f(x)=4cos xsin (0)的最 小正周期为. (1)求的值. (2)讨论f(x)在区间 上的单调性.,【联想解题】 1.利用辅助角公式化一,求
2、出复合函数的减区间,再由 f(x)在区间 上递减列不等式求得的范围,继而得 出x+ =k(kZ),从而可求的值.,2.看到f(x)=sin ,想到化为f(x)=-cos 2x. 3.看到三角函数的周期,想到把解析式化为y= Asin(x+)+k(A0,0)的形式,可知周期为T= . 看到讨论三角函数的单调性,想到利用基本初等函数 y=sin x的单调性求解.,【规范解答】1.选A.f(x)=sin x+ cos x= 2sin , 由 +2kx+ +2k,kZ,取k=0,得: x , 由于f(x)在区间 上单调递减,所以 解得1 .,因为f +f =0, 所以x= 为f(x)=2sin 的一个
3、对称中心的横 坐标,所以 + =k,kZ,则=3k-1, kZ,又1 .所以=2.,2.选C.f(x)=sin =-cos 2x,故其最小正周期为, 故A正确;易知函数f(x)是偶函数,B正确;由函数f(x)= -cos 2x的图象可知,函数f(x)的图象关于直线x= 不对称,C错误;由函数f(x)的图象易知,函数f(x) 在 上是增函数,D正确.,3.(1)f(x)=2 cos x(sin x+cos x)=(sin 2x+cos 2x+1)=2sin + , 因为最小正周期为,所以 =,=1.,(2)由(1)知f(x)=2sin + , 由- 2x+ ,解得- x , 由 2x+ ,解得
4、x , 因为x ,所以f(x)在 上单调递增, 在 上单调递减.,【规律方法】 三角函数的有关性质 (1)奇偶性:=k(kZ)时,函数y=Asin(x+)为奇 函数; =k+ (kZ)时,函数y=Asin(x+)为偶函数.,(2)周期性:y=Asin(x+)存在周期性,其最小正周期 为T= . (3)单调性:根据y=sin t和t=x+(0)的单调性来 研究,由- +2kx+ +2k(kZ)得单 调增区间;由 +2kx+ +2k(kZ)得 单调减区间.,(4)对称性:利用y=sin x的对称中心为(k,0)(kZ) 来解,令x+=k(kZ),求得其对称中心. 利用y=sin x的对称轴为x=k
5、+ (kZ)来解,令 x+=k+ (kZ)得其对称轴.,【对点训练】 1.(2016山东高考)函数f(x)=( sin x+cos x) ( cos x-sin x)的最小正周期是 ( ) A. B. C. D.2,【解析】选B.f(x)=( sin x+cos x)( cos x-sin x) =3sin xcos x- sin2x+ cos2x-sin xcos x =sin 2x+ cos 2x=2sin . 所以,最小正周期是.,2.函数y= sin x+ cos x 的单调递增区 间是_.,【解析】因为y= sin x+ cos x=sin , 由2k- x+ 2k+ (kZ), 解
6、得2k- x2k+ (kZ).,所以函数的增区间为 (kZ), 又x ,所以单调增区间为 . 答案:,热点题型2 由图象求函数y=Asin(x+)的解析式 【感悟经典】 【典例】1.函数f(x)=2sin(x+) 的 部分图象如图所示,则,的值分别是 ( ),A.2,- B.2,- C.4,- D.4,2.函数f(x)=Asin(x+) 的部分图象如图所示,若x1,x2 且 f(x1)=f(x2)(x1x2),则f(x1+x2)= ( ) A.1 B. C. D.,【联想解题】 1.看到最高点,想到振幅,看到对称中心、对称轴想到周期以及相位. 2.看到点的坐标 ,想到代入法.,【规范解答】1.
7、选A.因为 - = , 所以=2,又因为2 += +2k(kZ), 且- ,所以=- .,2.选D.由图象可得A=1, 解得=2,所以f(x)=sin(2x+), 代入点 可得sin , 所以 +=k,所以=k- ,kZ,又| ,所以= , 所以f(x)=sin ,所以sin =1,即图中最 高点的坐标为 , 又x1,x2 ,且f(x1)=f(x2)(x1x2), 所以x1+x2= 2= , 所以f(x1+x2)=sin = .,【规律方法】 由图象求解析式的方法 (1)求A:由图象上最高、最低点的纵坐标确定.或利用 图象上某点坐标代入解析式求解. (2)求:由图象观察一个( 个, 个)周期,
8、利用 T= 求得.,(3)求:方法一:代入法: 把图象上某点的坐标代入解析式,利用的范围,确定k,进而确定.,方法二:五点法:如图,任选一点可求: x1+=0,x2+= , x3+=,x4+= , x5+=2.,【对点训练】 如图,某地一天,从614时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(x+)+b(A0,0,0),则这段曲线的函数解析式为_.,【解析】 从题图中可以看出,614时是函数y=Asin(x+)+b的半个周期, 又 =14-6,所以= . 所以A= (30-10)=10,b= (30+10)=20,又 10+=2,解得= , 所以y=10sin +20,x6,14. 答案:y=1
9、0sin +20,x6,14,热点题型3 函数y=Asin(x+)的图象及变换 【感悟经典】 【典例】1.为得到函数y=sin 的图象,只需要将 函数y=cos 2x的图象 ( ),A.向左平移 个单位 B.向右平移 个单位 C.向左平移 个单位 D.向右平移 个单位,2.将函数f(x)=sin(2x+)的图象向左平移 个单位, 所得到的函数图象关于y轴对称,则的一个可能取值为( ) A. B. C.0 D.-,3.已知函数f(x)= sin 2xsin +cos2xcos -sin (0),其图象过点 . (1)求的值. (2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来 的 ,纵坐标不
10、变,得到函数y=g(x)的图象,求函数 g(x)在 上的最大值和最小值.,【联想解题】 1.把函数y=sin 的解析式化为cos 2 , 再把函数y=cos 2x的图象向右平移 个单位可 得y=cos 2 的图象,得出结论.,2.f(x)=sin(2x+) y=sin ; y=sin 的图象关于y轴对称 += +k(kZ)= +k(kZ).,3.看到三角变换,想到三角恒等变换的公式,化简函数表达式为y=Asin(x+)+k(A0,0)的形式,看到三角函数图象变换,想到从基本三角函数y=sin x出发,经过平移变换、伸缩变换得到正弦型函数y=Asin(x+)+k的图象.,【规范解答】1.选B.函
11、数y=sin =cos =cos =cos =cos2 ,故把函数 y=cos 2x的图象向右平移 个单位可得y=cos2 的图象.,2.选B.将函数f(x)=sin(2x+)的图象向左平移 个 单位,得到函数y=sin =sin(2x+ +)的 图象,再根据所得图象关于y轴对称,可得 +=k + ,即=k+ ,kZ,则的一个可能取值为 .,3.(1)因为已知函数图象过点 ,所以有 = sin sin +cos2 cos - sin (0),即有1= sin + cos -cos =sin (0), 所以+ = ,解得= .,(2)由(1)知= ,所以f(x)= sin 2xsin +cos2
12、xcos - sin = sin 2x+ cos2x - = sin 2x+ - =sin ,所以g(x)= sin ,因为x ,所以4x+ ,所以当4x+ = 时,g(x)取最大值 ; 当4x+ = 时,g(x)取最小值- . 所以函数g(x)在 上的最大值为 ,最小值为- .,【规律方法】 1.函数f(x)=sin(x+)的图象平移变换的两种方法 (1)y=sin x的图象向左平移个单位得y=sin(x+), 再把横坐标变为原来的 倍,纵坐标不变,得y= sin(x+)的图象.,(2)把y=sin x的图象横坐标变为原来的 倍,纵坐标 不变,得y=sin x的图象,向左平移 个单位得y=
13、sin(x+)的图象.,2.平移变换和伸缩变换都是针对x而言,即x本身加减多少值,而不是依赖于x加减多少值.,【对点训练】 1.(2016北京高考)将函数y=sin 图象上的点 P 向左平移s(s0)个单位长度得到点P.若点P 位于函数y=sin 2x的图象上,则 ( ),A.t= ,s的最小值为 B.t= ,s 的最小值为 C.t= ,s的最小值为 D.t= ,s 的最小值为,【解析】选A.点P 在y=sin 上,所以t= sin =sin = ,P 向左平移s(s0)个 单位长度得到点P ,代入y=sin 2x得sin = ,所以cos 2s= ,2s= +2k,s= + k,kZ.又因为
14、s0,所以s的最小值为 .,2.设函数f(x)=cos x(0),将y=f(x)的图象向右平 移 个单位长度后,所得的图象与原图象重合,则 的最小值等于 ( ) A. B.3 C.6 D.9,【解析】选C.根据题意,得nT= (nN*),所以n = (nN*),所以=6n(nN*).所以当n=1时,取得 最小值6.,【提分备选】设函数f(x)=sin x+ cos x (0)的周期为. (1)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图 象. (2)说明函数f(x)的图象可由y=sin x的图象经过怎样 的变换而得到.,【解析】 f(x)=sin x+ cos x = 又因为T=,所以 =,
15、即=2,所以f(x)=2sin .,(1)令z=2x+ ,则y=2sin =2sin z. 列表,并描点画出图象:,(2)方法一:把y=sin x的图象上所有的点向左平移 个单位,得到y=sin 的图象;再把y=sin 的 图象上的点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变), 得到y=sin 的图象;最后把y=sin 上所有 点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变), 即可得到f(x)=2sin 的图象.,方法二:将y=sin x的图象上每一点的横坐标x缩短为原 来的 倍(纵坐标不变),得到y=sin 2x的图象;再将 y=sin 2x的图象向左平移 个单位,得到y=sin2 =sin 的图象;
16、再将y=sin 的图象上每一点 的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标保持不变), 得到f(x)=2sin 的图象.,直观想象三角函数的图象与性质问题中的数学素养 【相关链接】 利用数形结合思想能解决的三角函数的图象和性质问题的常见类型,1.求函数定义域、值域. 2.判断单调性,利用单调性比较大小,求最值. 3.求单调区间,对称轴或中心. 4.求A,的值或范围. 5.解决方程、不等式问题 一般解题思路是利用三角函数图象,结合有关性质求解.,【典例】函数y= 的定义域为_. 【规范解答】,方法一:要使函数有意义,必须使sin x-cos x0.利用图象,在同一坐标系中画出0,2上y=sin x和y=
17、cos x的图象,如图所示.,在0,2内,满足sin x=cos x的x为 , ,再结合正弦、余弦函数的周期是2,所以原函数的定义域为,方法二:利用三角函数线,画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示).,所以定义域为 方法三:sin x-cos x= sin 0,将x- 视为 一个整体,由正弦函数y=sin x的图象和性质可知 2kx- +2k(kZ),解得2k+ x2k+ (kZ). 所以定义域为 答案:,【通关题组】 1.若函数f(x)=sin x(0)在区间 上单调递增, 在区间 上单调递减,则等于 ( )A. B. C.2 D.3,【解析】选B.因为f(x)=sin x(0)过原点,
18、 所以当0x ,即0x 时, y=sin x是递增的;,当 x ,即 x 时, y=sin x是递减的. 由f(x)=sin x(0)在 上单调递增, 在 上单调递减知, = ,所以= .,2.已知函数y=sin(x+) 的部分图象如 图所示,则 ( ) A.=1,= B.=1,=- C.=2,= D.=2,=-,【解析】选D.方法一:观察函数的图象可知,图象过点和 ,所以 所以 解得,方法二:观察函数的图象可知, - = 是四分 之一个周期,所以函数的最小正周期是,所以 =, =2,排除A,B,再由2 += ,得=- .,3.函数f(x)=Asin(x+)(A0,0,|)的部分 图象如图所示
19、,则函数f(x)的解析式为_.,【解析】由题图可知A= , 方法一: = - = , 所以T=,故=2, 因此f(x)= sin(2x+),又 对应五点法作图中的第三个点, 因此2 +=,所以= , 故f(x)= sin .,方法二:以 为第二个“零点”, 为最小值点,列方程组 解得 故f(x)= sin . 答案:f(x)= sin,4.设函数f(x)=sin -2cos2 +1. (1)求f(x)的最小正周期. (2)若函数y=g(x)与y=f(x)的图象关于直线x=1对称,求 当x 时,y=g(x)的最大值.,【解析】 (1)故f(x)的最小正周期为T= =8.,(2)方法一:在y=g(x)的图象上任取一点(x,g(x), 它关于x=1的对称点为(2-x,g(x). 由题设条件,知点(2-x,g(x)在y=f(x)的图象上, 从而g(x)=f(2-x)= sin,= 当0x 时, 因此y=g(x)在区间 上的最大值为 g(x)max= cos = .,方法二:区间 关于x=1的对称区间为 , 且y=g(x)与y=f(x)的图象关于直线x=1对称, 故y=g(x)在 上的最大值为y=f(x)在 上的最大值. 由(1)知f(x)= sin ,当 x2时, 因此y=g(x)在 上的最大值为 g(x)max= sin = .,
