1、11.1.2 三角恒等变换与解三角形名校名师创新预测1.已知在ABC 中,sin Asin Bsin C=324,那么 cos C的值为 ( )A. B.- C. D.-14 23 23【解题提示】先由正弦定理,把角的关系转化为边的关系,再用余弦定理求 cos C.【解析】选 B.因为 sin Asin Bsin C=324,所以由正弦定理得 abc=324,由余弦定理得 cos C= = =- . 2+2-22 32+22-422322.已知 sin = ,sin(-)=- , 均为锐角,则 角 等于 ( )A. B. C. D.512 3 6【解析】选 C.因为 , 均为锐角,所以- -
2、2 2又 sin(-)=- ,所以 cos(-)= .31010又 sin = ,所以 cos = ,255所以 sin =sin -(-)=sin cos(-)-cos sin(-)= - (- )= .31010255所以 = .43.已知在ABC 中,sin A+2sin Bcos C=0,则 tan A的最大值是_. 【解析】由 sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C,得3sin Bcos C+cos Bsin C=0,即 3tan B+tan C=0.于是 tan A=-tan(B+C)=- = =2 ,21+3等号当 tan B= ,tan C=
3、 时取得.3因此 tan A的最大值为 .答案:4.锐角三角形的三个内角分别为 A,B,C,sin(A-B)= ,sin C= ,AB=6,则ABC 的面积为15 35_. 【解析】因为 sin(A-B)=sin Acos B-sin Bcos A= ,sin C=sin(A+B)=sin Acos B+sin Bcos A= ,35所以 sin Acos B= ,sin Bcos A= ,25 15所以 sin2A(1-sin2B)= ,sin2B(1-sin2A)= ,所以 sin2Asin2B= ,所以 sin2Asin2B= ,所以 sinAsinB= ,6+25S= absin C
4、 sin C=6( +2)=12+6 .12 6答案:12+6 635.设函数 f(x)=cos -2sin xcos x.(1)求 f(x)的单调递减区间.(2)在ABC 中,若 AB=4,f = ,求ABC 的外接圆的面积.(2)12【解析】(1)f(x)=cos -sin 2x= cos 2x+sin 2x-sin 2x=sin ,12 (2+23)令 2k+ 2x+ 2k+ ,kZ,2解得 k- xk+ ,kZ,512单调递减区间为 ,kZ.(2)因为 C为ABC 的内角,所以由 f = ,得 sin = ,(2)12 12所以 C+ = ,解得 C= ,6AB C的外接圆直径 2r= =8,r=4,ABC 的外接圆面积 S=16.
