1、1第一讲 三角函数的图象与性质(40分钟 70 分)一、选择题(每小题 5分,共 25分)1.在平面直角坐标系中,角 的始边为 x轴的正半轴,终边经过点 P(1,-2),则 20cos +19sin 的值是 ( )A.- B.385 5C. D.-18185 5【解析】选 A.由题意,cos = ,sin =- ,所以 20cos +19sin =20 -1915=- =- .185185 52.已知 0,函数 f(x)=sin 在 上单调递减,则 的取值范围是 ( )(+4) (2,)A. B.12,54 12,34C. D.(0,2【解析】选 A.当 =2 时, ,不合题意 ,排除 D.当
2、 =1 时,(+4) 54,94 ,合题意,排除 B,C.(+4) 34,543.若将函数 f(x)=2sin 的图象向右平移 个单位,所得图象关于 y轴对称,则 的最小正值是 ( )A. B. C. D.-23 56【解析】选 A.把该函数的图象向右平移 个单位,所得图象对应的函数解析式为:y=2sin2,又所得图象关于 y轴对称,则 -2=k+ ,kZ, 所以当 k=-1时, 有最小正值是 .4.设函数 f(x)=sin(x+) 的最小正周期为 ,且对于任意的实数 x都有 f(x)f ,则下列说法不正确的是 ( )(8)A.f(x)的一个零点为-B.f(x)的一条对称轴为 x=C.f(x)
3、在区间 上单调递增(38,58)D.f 是偶函数(+8)【解析】选 C.因为函数 f(x)=sin(x+)(0,0)的最小正周期为 ,所以 =2,又因为对于任意的实数 x都有 f(x)f ,所以 2 += +2k(kZ),因为 00,0,00),若存在3 3x1,x2 ,使得 f(x1)=g(x2)成立,则实数 m的取值范围是_. 0,4【解析】函数 f(x)=sin 2x+2 cos2x-3=sin 2x+ cos 2x=2sin .3因为 x1 ,所以 2x 1+ ,0,4 56所以 sin ,(21+3)故得函数 f(x1)的值域为1,2.4函数 g(x)=mcos -2m+3(m0),
4、因为 x2 ,所以- 2x 2- ,0,4所以 cos ,(22-6)故得函数 g(x2)的值域为 .由题意存在 x1,x2 ,使得 f(x1)3-32,3- 0,4=g(x2)成立,则需满足:3-m 1 且 3- m2,解得实数 m的取值范围是 .答案:7.已知 a=( cos x,2sin x),b=(2cos x,-cos x),函数 f(x)=ab- ,下面四个结论中3 3正确的是_.(把所有正确命题的序号填写在横线上) 函数 f(x)的最小正周期为 ;函数 f(x)的图象关于直线 x= 对称;函数 f(x)的图象是由的 y=2cos 2x图象向左平移 个单位得到的;函数 f 是奇函数
5、.(+6)【解析】f(x)=ab- =2 cos2 x-2sin xcos x-3 3 3= cos 2x-sin 2x=2cos .3因为最小正周期为 T= =,所以正确;22因为当 x= 时,2x+ = ,所以 f =0,所以错误;(6)由 y=2cos 2x的图象向左平移 个单位得到函数y=2cos 2 =2cos ,所以错误;(+6)5因为 f =2cos =(+6) 2(+6)+62cos =-2sin 2x是奇函数,所以正确.答案:8.已知函数 f(x)=Acos(x+)的图象如图所示,f =- ,则 f(0)=_. (2) 23【解析】由图象可得最小正周期为 ,于是 f(0)=f
6、 ,注意到 与 关于 对称,23 23所以 f =-f = ,故 f(0)= .(2)23 23答案:23三、解答题(每小题 10分,共 30分 )9.向量 a=(sin x, cos x),b=(cos x,-cos x),函数 f(x)=ab+ .3(1)求函数 y=f(x)的对称轴的方程.(2)求函数 f(x)在 上的最大值和最小值.0,2【解析】(1 )f(x)=sin xcos x- cos2x+ = sin 2x- (1+cos 2x)+312= sin 2x- cos 2x=sin ,12对称轴的方程为 2x- =k+ ,kZ,6解得 x= + ,kZ.2(2)因为 x ,则 2
7、x- ,0,2 -3,23所以 sin ,所以 f(x)max=1,f(x)min=- .10.已知向量 a=(x+3,x),b=(-sin 2,-csin -ccos ).(1)当 x=-1,= 时,有|a-b|=2,求实数 c的值.(2)对于任 意的实数 x和任意的 ,均有|a-b| ,求实数 c的取值范围.,32【解析】(1)当 x=-1,= 时,a=(2,-1),b=(0,c),因为|a-b|=2,所以 =2,所以 c=-1.(2)对任意的 xR 与 ,有(x+3+2sin cos ) 2+(x+csin +,32ccos ) 2 恒成立18令 m=3+2sin cos ,n=csin
8、 +ccos ,则(x+m)2+(x+n)2 2x2+2(m+n)x+m2+n2- 018 18=4(m+n) 2-8 0(m-n) 2 m-n- 或 m-n .14 12 12令 t=sin +cos 2sin cos =t 2-1,t=sin +cos = sin -2,-1,2即 m=t2+2,n=ct,m-n=t2-ct+2,7则 t2-ct+2- 或 t2-ct+2 .12 12ctt 2+ 或 ctt 2+ ct+ 或 ct+ (t- ,-1)52 32 2由单调性可得 c- 或 c- .72 6综上可得实数 c的取值范围为 或- ,+).611.某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼
9、品,该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成,圆锥的侧面用于艺术装饰,如图 1.为了便于设计,可将该礼品看成是由圆 O及其内接等腰三角形 ABC绕底边 BC上的高所在直线 AO旋转 180而成,如图 2.已知圆 O的半径为 10 cm,设BAO=,00,当 x 时,f(x)0,|0)的最小正周期为 .23(1)求 的值.11(2)若函数 y=g(x)的图象是由 y=f(x)的图象向右平移 个单位长度得到,求 y=g(x)的单调递增区间、对称轴和对称中心.【解析】(1)f(x)=(sin x+cos x) 2+2cos2x=s in2 x+cos 2x+sin 2x +1+cos 2x=sin 2
10、x+cos 2x+2= sin +2,2依题意得 = ,故 的值为 .2223 32(2)依题意得: g(x)= sin +22 3(-2)+4= sin +2,2 (3-54)由 2k- 3x- 2k+ (kZ),54解得 k+ x k+ (kZ),故 y=g(x)的单调递增区间为 23 23(kZ),因为 g(x)= sin +2,2 (3-54)所以由 3x- =k+ ,kZ,得 x= + ,kZ,所以 y=g(x)的对称轴为 x= + ,54 3 3kZ.由 3x- =k,kZ,得 x= + ,kZ,54 3所以 y=g(x)的对称中心为 .(3+512,0)( )12综上所述,y=g
11、(x)的单调递增区间为 k+ , k+ (kZ),对称轴为23 23x= + ,kZ,对称中心为 , .3 ( )2.(10分)已知函数 f(x)=sin sin x- cos2x.(2-) 3(1)求 f(x)的最小正周期和最大值.(2)讨论 f(x)在 上的单调性.【解析】(1)f(x)=sin sin x- cos2x(2-) 3=cos xsin x- (1+cos 2x)= sin 2x- cos 2x- =sin - ,12因此 f(x)的最小正周期为 ,最大值为 .(2)当 x 时,02x- ,从而当 02x- ,即 x 时,f(x)单调递6,23增,当 2x- ,即 x 时,f(x)单调递减.23综上可知,f(x)在 上单调递增;在 上单调递减.6,512 512,23
