1、1计算题题型专练(四) 带电粒子在电场磁场中的运动1空间存在方向竖直向上的匀强电场，水平地面上有一根细短管，与水平面之间的夹角为 37，如图所示，一略小于细短管直径、质量为 m、电荷量为 q 的带正电小球，从水平地面上方一定高度处水平抛出，经时间 t 小球恰好无碰撞地落入细短管。已知细短管到抛出点的水平距离为 d，重力加速度大小为 g，取 sin 370.6，cos 370.8，空气阻力不计，求：(1)小球抛出点与落地点间的高度差 h；(2)细短管所在位置与小球抛出点间的电压 U。解析 (1)小球抛出时的速度大小为： v0dt设小球下落的加速度大小为 a，有： h at212又：tan 37a
2、tv0解得： h 。3d8(2)小球落入细短管时的速度大小为： v v0cos 375d4t对小球在空中运动的过程，由动能定理有：mgh qU mv2 mv12 12 20解得： U 。mq(3gd8 9d232t2)2答案 (1) (2)3d8 mq(3gd8 9d232t2)2如图所示，在纸面内有一个边长为 L 的等边三角形 abc 区域，一质量为 m，电量为q 的带正电的粒子从 a 点以速度 v0沿平行于纸面且垂直于 bc 边的方向进入此区域。若在该区域内只存在垂直于纸面的匀强磁场，粒子恰能从 c 点离开；若该区域内只存在平行于 bc边的匀强电场，该粒子恰好从 b 点离开(不计粒子重力)
3、。求：(1)电场强度与磁感应强度大小之比：(2)带电粒子在匀强电场和匀强磁场中运动的时间之比。解析 (1)粒子在磁场中做匀速圆周运动，由几何关系可知： r L洛伦兹力充当向心力： qv0B mv20r解得 Bmv0qL粒子在电场中运动： t2L2 12qEm v0t3L2解得 E ，故 4mv203qL EB 4v033(2)带电粒子在电场中运动的时间为 t13L2v0在磁场中运动的时间为 t2 L3v0时间之比为 。t1t2 332答案 (1) (2)4v03 3323真空中有如图所示矩形区域，该区域总高度为 2l0、总宽度为 6l0，其中上半部分有磁感应强度为 B、垂直纸面向里的水平匀强磁
4、场，下半部分有竖直向下的匀强电场， x 轴恰为水平分界线，正中心恰为坐标原点 O。在 x4 l0处有一与 x 轴垂直的足够大的光屏(图中未画出)。质量为 m、电荷量的绝对值为 q 的带负电粒子源源不断地从下边界的坐标值为( l0， l0)的 P 点由静止开始经过匀强电场加速，通过 x 轴后进入匀强磁场中。粒子间的相互作用和粒子重力均不计。(1)若粒子在磁场中恰好不从上边界射出，求加速电场的场强 E1；(2)若将光屏向 x 轴正方向平移，粒子打在屏上的位置始终不改变，则加速电场的场强E多大？解析 (1)带电粒子在电场中加速，根据动能定理有 qEl0 mv2124进入匀强磁场后做匀速圆周运动有 q
5、vB mv2r要求粒子在磁场中恰好不从上边界射出，则： r l0解得 EqB2l02m(2)由“将光屏向 x 轴正方向平移，粒子打在屏上的位置始终不改变” ，知离开磁场时粒子速度方向必平行于 x 轴，沿 x 方向。故：进入匀强磁场后做匀速圆周运动的半径为：r (n1,2,3,4)4l02n 3又 qv B mv 2r带电粒子在电场中加速，根据动能定理有 qE l0 mv 212解得 E (n1,2,3,4)。8qB2l0(2n 3)2m答案 (1) E (2) E (n1,2,3,4)qB2l02m 8qB2l0(2n 3)2m4如图所示，足够大的光滑绝缘水平桌面置于平行桌面的匀强电场和垂直桌
6、面的匀强磁场中，在桌面内建立 xOy 坐标系。桌面上质量 m210 2 kg、电荷量 q110 4 C 的带正电小球从坐标原点 O 平行桌面以 v01 m/s 的速度射入电磁场区域，在电场和磁场作用下发生偏转，小球到达点 M(30 cm,40 cm)时，动能变为 O 点动能的 0.5 倍，速度方向垂直 OM，此时撤掉磁场，一段时间后小球经过点 N(62.5 cm,0)，动能变为 O 点动能的 0.625倍。设 O 点电势为 0，不考虑磁场撤掉时对电场的影响。求：5(1)M 点电势；(2)匀强电场的场强大小和方向；(3)小球由 M 点运动到 N 点所需的时间。解析 (1)由电势差的定义和动能定理
7、可得： UOM WOMq EkqUOM O M解得 M50 V(2)同理(1)可得 N37.5 V据匀强电场的特点，距 M 点四分之一 OM 的点与 N 点等势， d12.5 cm场强方向由 M 点指向 O 点E 得 E100 V/mUd(3)方法一：据题意，小球从 M 点后做类平抛运动a ， y d at2qEm 12解得 t s22方法二：据题意，小球从 M 点后做类平抛运动小球在 M 点的速度 v m/s226x vt由图中几何关系可得： x50 cm解得： t s。22答案 (1)50 V (2)方向由 M 点指向 O 点；100 V/m (3) s225.如图所示，在以 O1点为圆心
8、、 r0.20 m 为半径的圆形区域内，存在着方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为 B1.010 3 T 的匀强磁场 (图中未画出)。圆的左端跟 y 轴相切于直角坐标系原点 O，右端与一个足够大的荧光屏 MN 相切于 x 轴上的 A 点。粒子源中，有带正电的粒子(比荷为 1.010 10 C/kg)，不断地由静止进入电压 U800 V 的加速电qm场，经加速后，沿 x 轴正方向从坐标原点 O 射入磁场区域，粒子重力不计。(1)求粒子在磁场中做圆周运动的半径、速度偏离原来方向的夹角的正切值。(2)以过坐标原点 O 并垂直于纸面的直线为轴，将该圆形磁场逆时针缓慢旋转 90，求在此过程中打在荧光屏 M
9、N 上的粒子到 A 点的最远距离。解析 (1)带电粒子在电场中加速，由动能定理得qU mv12 207进入磁场后做圆周运动，洛伦兹力提供向心力 qvB m联立解得 R 0.4 m1B2mUq设速度偏离原来方向的夹角为 ，由几何关系得 tan 2 rR 12故速度偏离原来方向的夹角正切值 tan 43(2)以 O 点为圆心， OA 为半径做圆弧 AC 交 y 轴于 C 点；以 C 点为圆心， CO 为半径作出粒子运动的轨迹交弧 AC 于 D 点。粒子在磁场中运动的最大圆弧弦长 OD2 r0.4 m，由几何关系可知 sin 2 rR最远距离 ym(2 r Rtan )tan 2代入数据可得 ym m0.29 m。2（ 3 1）5答案 (1)0.4 m (2)0.29 m43
