1、1专题 4.3 动态圆周运动【题型概览】在动态圆周运动中，圆周运动的轨迹平面可以在水平面内、竖直面内，也可以在斜面内；约束可以是由接触面形成，可以由杆形成，也可以由绳、环形成；接触面可以是水平面、竖直面或是斜面，可以是单侧约束或双侧约束；形成临界的原因可以是接触面的分离、接触面间滑动、绳的松弛与断裂等【题型通解】1.动态分析方法(1)首先分析物体受力,建立正交坐标系列方程一种正交分解方法是：在沿半径方向上列出动力学方程： ，注意 v 与 F 向 对应于圆周上同一位置；垂直于半径方向上在匀速圆周运动中可列出平衡方程，变速圆周运动中此方向上合力不为 0. 再一种正交分解的方法是以待求的力所在直线建
2、立坐标轴，向心加速度不在坐标轴上时将向心加速度也分解，在两方向上均利用牛顿第二定律列方程(2)确定方程中的不变量与变化量，分析变量的变化情况，需注意变量的取值范围.2.圆周运动中的临界状态(1)绳形成的临界状态有两种:张力最小时(等于零)的即将松弛状态与张力最大时即将断裂的状态.(2)接触面形成的临界状态也有两种常见情形：一是即将分离时的弹力为零状态;二是即将发生相对滑动时的摩擦力达到最大静摩擦力的状态或是静摩擦力方向即将改变即恰好为零的状态. 例 6.如图所示，V 形细杆 AOB 能绕其对称轴 OO转动，OO沿竖直方向，V 形杆的两臂与转轴间的夹角均为 =45两质量均为 m=0.1kg 的小
3、环，分别套在 V 形杆的两臂上，并用长为=1. 2m、能承受最大拉力Fmax=4.5N 的轻质细线连结，环与臂间的最大静摩擦力等于两者间弹力的 0.2 倍当杆以角速度 转动时，细线始终处于水平状态，取 g=10m/s2例 6 图（1）求杆转动角速度 的最小值；（2）将杆的角速度从（1）问中求得的最小值开始缓慢增大，直到细线断裂，写出此过程中细线拉力随角速度变化的函数关系式；2【答案】 （1）3.33rad/s（2）【解析】 （1）角速度最小时， fmax沿杆向上，则， ，且 ，2lr， 1=10/33.33rad/s（2）当 fmax沿杆向下时，有， ， 2=5rad/s当细线拉力刚达到最大时
4、，有， 3=10rad/s4.竖直平面及斜面内的变速圆周运动(1)轻绳模型如图 2 所示,此模型包括沿圆形轨道内侧运动的小球,其共同特征是在最高点时均无支撑.图 2 图 3小球能通过最高点的条件 a如图 3 所示,在最高点 A: 、 01T即 gRvA小球能过最高点 A 的临界条件 1、 A b小球能做完整圆周运动时在最低点 B 满足的条件 vB5 c3小球不脱离轨道在最低点 B 满足的条件 gRvB5或 gvB2 d小球沿圆周运动过程中绳中张力（或轨道弹力）变化情况： e在最低点绳中张力最大,在最高点时绳中张力最小,此两点处绳中张力大小差值恒定,即 .小球从圆周的最低点运动至最高点的过程中,
5、绳中张力单调减小.变速圆周中小球位于最高点处时:动能最小、势能最大、绳中张力最小,小球在此处最易脱轨,小球 f在此处不脱轨是保证小球做完整圆周运动的充要条件.小球位于最高点处时:动能最大、势能最小、绳中张力最大,绳在此处最易断裂. 设钉子在 G 点小球刚能绕钉做圆周运动到达圆的最高点，设 EG=x2，如上图，则： AG= 2)(lxr2=l AG= l 2)(lx 在最高点： mg 2rmv 由机械能守恒定律得： mg ( lr2)= 1mv22 由联立得： x2 67l 在水平线上 EF 上钉子的位置范围是： 67lx 32l 例 9 一小球以初速度 v0竖直上抛，它能到达的最大高度为 H，
6、下列几种情况中，哪种情况小球不可能达到高度H（忽略空气阻力）例 9 题图A以初速 v0沿光滑斜面向上运动（图 a）B以初速 v0沿光滑的抛物线轨道从最低点向上运动（图 b）C以初速 v0沿半径为 R 的光滑圆轨道从最低点向上运动（图 c， ）D以初速 v0沿半径为 R 的光滑圆轨道从最低点向上运动（图 d、 RH）【答案】C4(2)轻杆模型如图 4 所示,此模型包括沿圆形管轨道内运动的小球、套在光滑环上的小球, 其共同特征是在最高点时均有支撑.图 4 图 5小球能通过最高点的条件如图 5 所示,在最高点 C: 0Cv a小球能过最高点 C 的临界条件 mgN、 b小球能做完整圆周运动时在最低点
7、 D 满足的条件 gRvD4 c小球沿圆周运动过程中杆中弹力变化情况 d在最低点杆中弹力最大,在最高点时杆中弹力不一定最小:若 0cv,杆中弹力方向向上,大小为 mgN1若 ,杆中弹力方向向上,大小小于重力, ,大小随此点速度的增大而减小.若 gRvc,杆中无弹力若 c,杆中弹力方向向下,大小可小于、等于或大于小球重力, ,大小 随此点速度的增大而增大此两点处当杆中弹力都是拉力时,其大小差值恒定,即 ;若在最高点 C 处杆中弹力为推5力时,此两点处弹力大小之和恒定,即 .小球从圆周的最低点运动至最高点的过程中,杆中弹力不一定是单调减小的.例 10.如图所示光滑管形圆轨道半径为 R（管径远小于
8、R） ，小球 A b 大小相同，质量相同，均为 m，其直径略小于管径，能在管中无摩擦运动.两球先后以相同速度 v 通过轨道最低点，且当小球 a 在最低点时，小球 b 在最高点，以下说法正确的是例 10 图A当小球 b 在最高点对轨道无压力时，小球 a 比小球 b 所需向心力大 5mgB当 v= gR5时，小球 b 在轨道最高点对轨道无压力C速度 v 至少为 ，才能使两球在管内做圆周运动D只要 v ,小球 a 对轨道最低点压力比小球 b 对轨道最高点压力都大 6mg【答案】BD(3)半球面模型如图 6 所示,小球从光滑半球面顶端 E 开始运动. 图 66小球只在重力和球面弹力作用下运动时,不可能
9、沿球面从顶端运动底端. a小球从顶端由静止开始下滑,离开球面时的位置 H 满足 32cos. b小球在顶端 E 时的速度 V 越大,离球面时的位置 H 越靠近顶端, 角越小即小球能沿球下滑的距离越短. c当小球在球面顶端的速度 gRvE时,小球直接从 E 点离开球面做平抛运动. d例 11.如图所示，从光滑的 1/4 圆弧槽的最高点滑下的小滑块，滑出槽口时速度方向为水平方向，槽口与一个半球顶点相切，半球底面为水平，若要使小物块滑出槽口后不沿半球面下滑，已知圆弧轨道的半径为R1，半球的半径为 R2，则 R1和 R2应满足的关系是（ ）21例 11 图【答案】【解析】为使小物块不沿半球面下滑，则它
10、在球顶端的速度 2vgR，由机械能守恒定律可得：，联立解得 D 为正确选项5.斜面上的圆周运动 物体在斜面平面内做圆周运动时有匀速圆周运动与变速圆周运动，动态分析及临界与极值确定方法相同例 12.如图所示，一倾斜的匀质圆盘垂直于盘面的固定对称轴以恒定的角速度 转动，盘 面上离转轴距离2.5m 处有一小物体与圆盘始终保持相对静止 ， 4.如图所示，两根长度不同的细线分别系有两个小球，细线的上端都系于 O 点。设法让两个小球在同一水平面上做匀速圆周运动。已知细线长之比为 L1 L2= 31， L1跟竖直方向成 60 角。下列说法中正确的有 Om1L1L2m24 图A 两 小 球 做 匀 速 圆 周
11、 运 动 的 周 期 相 等 7B 小 球 m1的 周 期 大C L2跟竖直方向成 30 角 D L2跟竖直方向成 45 角【答案】AC5.如图所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心轴 OO/转动，同内壁粗糙，筒口半径和筒高分别为 R 和 H，筒内壁 A 点的高度为筒高的一半，内壁上有一质量为 m 的小物块，求：5 图当筒不转动时，物块静止在筒壁 A 点受到的摩擦力和支持力的大小；当物块在 A 点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，筒转动的角速度【答案】 、 .mgHR2 H2 mgRR2 H2 2gHR【解析】(1)物块静止时，对物块进行受力分析如图甲所示，设筒壁与水平面的夹角为 .由平
12、衡条件有 Ff mgsin FN mgcos由图中几何关系有5 图甲 5 图乙cos ，sin RR2 H2 HR2 H2故有 Ff ， FNmgHR2 H2 mgRR2 H2(2)分析此时物块受力如图乙所示，由牛顿第二定律有 mgtan mr 2.8其中 tan ， r ，可得 .HR R2 2gHR6.质量为 100 t 的火车在轨道上行驶，火车内外轨连线与水平面的夹角为 =37,如图所示，弯道半径R=30 m.问：（g 取 10 m/s2）6 图（1）当火车的速度为 v1=10 m/s 时，轨道受到的侧压力为多大？方向如何？（2）当火车的速度为 v2=20 m/s 时，轨道受到的侧压力为
13、多大？方向如何？【答案】(1) N30.方向沿轴指向内侧(2)4.710 5 N,方向沿轴指向外侧【解析】设火车转弯时刚好对铁轨无侧压力，速度为 v0，以火车为研究对象，受力如图 所示，则有：6 答图甲丙乙6 答图得9（2）v 1v0,由于半径不变，需增加向心力，则轨道外侧铁轨将受到一个沿轴的侧压力 F2，此 种情况下，车受力情况如力丙所示.则有：得由牛顿第三定律知:F 2=F2=4.710 5 N,方向沿轴指向外侧.7.如图所示，在倾角为 的光滑斜面上，有一长为 L 的细线，细线的一端固定在 O 点，另一端拴一质量为 m 的小球，现使小球恰好能在斜面上做完整的圆周运动，求：(1)小球通过最高
14、点 A 时的速度 vA.(2)小球通过最低点 B 时，细线对小球的拉力【答案】(1) .(2)6mgsin lgsin【解析】 (1)小球恰好能在斜面上做完整的圆周运动，则小球通过 A 点时细线的拉力为零，根据圆周运动和牛顿第二定律有mgsin m vA2l解得： vA . lgsin(2)小球从 A 点运动到 B 点，根据机械能守恒定律有 mvA2 mg2lsin mvB212 12解得 vB 5glsin10小球在 B 点时根据圆周运动和牛顿第二定律有 FT mgsin m vB2l解得 FT6 mgsin .8.图为某游乐场内水上滑梯轨道示意图，整个轨道在同一竖直平面内，表面粗糙的 AB
15、 段对到与四分之一光滑圆弧轨道 BC 在 B 点水平相切。点 A 距水面的高度为 H，圆弧轨道 BC 的半径为 R，圆心 O 恰在水面。一质量为 m 的游客（视为质点）可从轨道 AB 的任意位置滑下，不计空气阻力。（1）若游客从 A 点由静止开始滑下，到 B 点时沿切线方向滑离轨道落在水面 D 点，OD=2R，求游客滑到的速度 vB 大小及运动过程轨道摩擦力对其所做的功 Wf；（2）若游客从 AB 段某处滑下，恰好停在 B 点，有因为受到微小扰动，继续沿圆弧轨道滑到 P 点后滑离轨道，求 P 点离水面的高度 h。 （提示：在圆周运动过程中任一点，质点所受的向心力与其速率的关系为RvmF2向）【答案】 （1） （2） 3R【解析】 （1）游客从 B 点做平抛运动，有2Rvt=gt联立解得从到 B，根据动能定理，有可得（）设 OP 与 OB 间夹角为 ，游客在 P 点时的速度为 Pv，受到的支持力为 N，从 B 到 P 由机械能守恒定11律，有过 P 点根据向心力公式，有N =0coshR=解得23
