1、12821 解直角三角形1理解解直角三角形的意义和条件；(重点)2根据元素间的关系，选择适当的关系式，求出所有未知元素(难点)一、情境导入世界遗产意大利比萨斜塔在 1350 年落成时就已倾斜设塔顶中心点为 B, 塔身中心线与垂直中心线夹角为 A，过点 B 向垂直中心线引垂线，垂足为点 C.在 Rt ABC 中， C90， BC5.2m， AB54.5m，求 A 的度数在上述的 Rt ABC 中，你还能求其他未知的边和角吗？二、合作探究探究点一：解直角三角形【类型一】 利用解直角三角形求边或角已知在 Rt ABC 中， C90， A、 B、 C 的对边分别为 a， b， c，按下列条件解直角三角
2、形(1)若 a36， B30，求 A 的度数和边 b、 c 的长；(2)若 a6 ， b6 ，求 A、 B 的度数和边 c 的长2 6解析：(1)已知直角边和一个锐角，解直角三角形；(2)已知两条直角边，解直角三角形解：(1)在 Rt ABC 中， B30， a36， A90 B60，cos B ，即 c 24 ， bsin Bc 24 12 ；ac acosB 3632 3 12 3 3(2)在 Rt ABC 中， a6 ， b6 ，tan A ， A30， B60，2 6ab 33 c2 a12 .2方法总结：解直角三角形时应求出所有未知元素，解题时尽可能地选择包含所求元素与两个已知元素的
3、关系式求解变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练” 第 4 题【类型二】 构造直角三角形解决长度问题一副直角三角板如图放置，点 C 在 FD 的延长线上， AB CF， F ACB90， E30， A45， AC12 ，试求 CD 的长22解析：过点 B 作 BM FD 于点 M，求出 BM 与 CM 的长度，然后在 EFD 中可求出 EDF60，利用解直角三角形解答即可解：过点 B 作 BM FD 于点 M，在 ACB 中， ACB90， A45，AC12 ， BC AC12 . AB CF， BMsin45 BC12 12， CM BM12.2 2 222在 EFD 中， F90， E
4、30， EDF60， MD 4 ， CD CM MD124 .BMtan60 3 3方法总结：解答此类题目的关键是根据题意构造直角三角形，然后利用所学的三角函数的关系进行解答变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升” 第 4 题【类型三】 运用解直角三角形解决面积问题如图，在 ABC 中，已知 C90，sin A ， D 为边 AC 上一点， BDC45，37DC6.求 ABC 的面积解析：首先利用正弦的定义设 BC3 k， AB7 k，利用 BC CD3 k6，求得 k 值，从而求得 AB 的长，然后利用勾股定理求得 AC 的长，再进一步求解解： C90，在 Rt ABC 中，sin A
5、，设 BC3 k，则 AB7 k(k0)，BCAB 37在 Rt BCD 中， BCD90， BDC45， CBD BDC45， BC CD3 k6， k2， AB14.在 Rt ABC 中，AC 4 ， S ABC ACBC 4 612 .所以 ABC 的AB2 BC2 142 62 1012 12 10 10面积是 12 .10方法总结：若已知条件中有线段的比或可利用的三角函数，可设出一个辅助未知数，列方程解答变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第 7 题探究点二：解直角三角形的综合【类型一】 解直角三角形与等腰三角形的综合已知等腰三角形的底边长为 ，周长为 2 ，求底角的度数2
6、2解析：先求腰长，作底边上的高，利用等腰三角形的性质，求得底角的余弦，即可求得底角的度数解：如图，在 ABC 中， AB AC， BC ，周长为 2 ， AB AC1.过 A 作2 2AD BC 于点 D，则 BD ，在 Rt ABD 中，cos ABD ， ABD45，即等腰22 BDAB 22三角形的底角为 45.3方法总结：求角的度数时，可考虑利用特殊角的三角函数值变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第 2 题【类型二】 解直角三角形与圆的综合已知：如图，Rt AOB 中， O90，以 OA 为半径作 O， BC 切 O 于点 C，连接 AC 交 OB 于点 P.(1)求证： B
7、P BC；(2)若 sin PAO ，且 PC7，求 O 的半径13解析：(1)连接 OC，由切线的性质，可得 OCB90，由 OA OC，得 OCA OAC，再由 AOB90，可得出所要求证的结论；(2)延长 AO 交 O 于点 E，连接 CE，在 RtAOP 和 Rt ACE 中，根据三角函数和勾股定理，列方程解答解：(1)连接 OC， BC 是 O 的切线， OCB90， OCA BCA90. OA OC， OCA OAC， OAC BCA90， BOA90， OAC APO90， APO BPC， BPC BCA， BC BP；(2)延长 AO 交 O 于点 E，连接 CE，在 Rt
8、AOP 中，sin PAO ，设13OP x， AP3 x， AO2 x. AO OE， OE2 x， AE4 x.sin PAO ，在2 2 213Rt ACE 中 ， ， ，解得 x 3， AO2 x6 ，即 O 的半CEAE 13 ACAE 223 3x 742x 223 2 2径为 6 .2方法总结：本题考查了切线的性质、三角函数、勾股定理等知识，解决问题的关键是根据三角函数的定义结合勾股定理列出方程变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第 9 题三、板书设计1解直角三角形的基本类型及其解法；2解直角三角形的综合本节课的设计，力求体现新课程理念给学生自主探索的时间和宽松和谐的氛围，让学生学得更主动、更轻松，力求在探索知识的过程中，培养探索能力、创新精神和合作精神，激发学生学习数学的积极性和主动性.
