1、128.2.2 应用举例第 3 课时 利用方位角、坡度解直角三角形1知道测量中方位角、坡角、坡度的概念，掌握坡度与坡角的关系；(重点)2能够应用解直角三角形的知识解决与方位角、坡度有关的问题(难点)一、情境导入在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度如图，坡面的铅垂高度( h)和水平长度( l)的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作 i，即 i .hl坡度通常写成 1 m 的形式，如 i16.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 ，有i tan .显然，坡度越大，坡角 就越大，坡面就越陡我们这节课就解决这方面的hl问题二、合作探究探究点一：利用方位角解直角三角形【类型一】 利用方位
2、角求垂直距离如图所示， A、 B 两城市相距 200km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段 AB)，经测量，森林保护中心 P 在 A 城市的北偏东 30和 B 城市的北偏西 45的方向上已知森林保护区的范围在以 P 点为圆心，100km 为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区(参考数据： 1.732， 1.414)3 2解析：过点 P 作 PC AB， C 是垂足 AC 与 BC 都可以根据三角函数用 PC 表示出来根据 AB 的长得到一个关于 PC 的方程，求出 PC 的长从而可判断出这条高速公路会不会穿越保护区解：过点 P 作 PC AB， C 是垂足
3、则 APC30， BPC45， AC PCtan30，BC PCtan45. AC BC AB， PCtan30 PCtan45200，即2PC PC200，解得 PC126.8km100km.33答：计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区方法总结：解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练” 第 1 题【类型二】 利用方位角求水平距离“村村通”公路工程拉近了城乡距离，加速了我区农村经济建设步伐如图所示，C 村村民欲修建一条水泥公路，将 C 村与区级公路相连在公路 A 处测得 C 村在北偏东60方向，沿区级公路前进 500m
4、，在 B 处测得 C 村在北偏东 30方向为节约资源，要求所修公路长度最短画出符合条件的公路示意图，并求出公路长度(结果保留整数)解析：作 CD AB 于 D，在 Rt ACD 中，据题意有 CAD30，求得 AD.在 Rt CBD 中，据题意有 CBD60，求得 BD.又由 AD BD500，从而解得 CD.解：如图，过点 C 作 CD AB，垂足落在 AB 的延长线上， CD 即为所修公路， CD 的长度即为公路长度在 Rt ACD 中，据题意有 CAD30，tan CAD ， AD CD.在 Rt CBD 中，据题意有 CBD60，CDAD CDtan30 3tan CBD ， BD C
5、D.又 AD BD500， CD CD500，解得CDBD CDtan60 33 3 33CD433(m)答：所修公路长度约为 433m.方法总结：在解决有关方位角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方位角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第 4 题探究点二：利用坡角、坡度解直角三角形【类型一】 利用坡角、坡度解决梯形问题如图，某水库大坝的横截面为梯形 ABCD，坝顶宽 BC3 米，坝高为 2 米，背水坡 AB 的坡度 i11，迎水坡 CD 的坡角 ADC 为 30.求坝底 A
6、D 的长度解析：首先过 B、 C 作 BE AD、 CF AD，可得四边形 BEFC 是矩形，又由背水坡 AB 的3坡度 i11，迎水坡 CD 的坡角 ADC 为 30，根据坡度的定义，即可求解解：分别过 B、 C 作 BE AD、 CF AD，垂足为 E、 F，可得 BE CF，又 BC AD， BC EF， BE CF.由题意，得 EF BC3， BE CE2.背水坡 AB 的坡度i11， BAE45， AE 2， DF 2 ， AD AE EF DF232 52 (m)BEtan45 CFtan30 3 3 3答：坝底 AD 的长度为(52 )m.3方法总结：解决此类问题一般要构造直角三
7、角形，并借助于解直角三角形的知识求解变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第 6 题【类型二】 利用坡角、坡度解决三角形问题如图，某地下车库的入口处有斜坡 AB，它的坡度为 i12，斜坡 AB 的长为 6m，斜坡的高度为 AH(AH BC)，为了让行车更安全，现将斜坡的坡角改造为 14(图中的5 ACB14)(1)求车库的高度 AH；(2)求点 B 与点 C 之间的距离(结果精确到 1m，参考数据：sin140.24，cos140.97，tan140.25)解析：(1)利用坡度为 i12，得出 AH BH12，进而利用勾股定理求出 AH 的长；(2)利用 tan14 ，求出 BC 的长即
8、可6BC 12解：(1)由题意可得 AH BH12，设 AH x，则 BH2 x，故 x2(2 x)2(6 )2，解5得 x6，故车库的高度 AH 为 6m；(2) AH6m， BH2 AH12m， CH BC BH BC12m.在 Rt AHC 中， AHC90，故 tan ACB ，又 ACB14，tan14 ，即 0.25AHCH 6BC 12，解得 BC12m.6BC 12答：点 B 与点 C 之间的距离是 12m.方法总结：本题考查了解直角三角形的应用中坡度、坡角问题，明确坡度等于坡角的正切值是解题的关键变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第 6 题三、板书设计1方位角的意义；2坡度、坡比的意义；3应用方位角、坡度、坡比解决实际问题4将解直角三角形应用到实际生活中，有利于培养学生的空间想象能力，即要求学生通过对实物的观察或根据文字语言中的某些条件，画出适合他们的图形这一方面在教学过程应由学生展开，并留给学生思考的时间，给学生充分的自主思考空间和时间，让学生积极主动地学习.
