1、- 1 -广东省华南师范大学附属中学 2018-2019 学年高一数学上学期测试题（B 组） （含解析）第 I 卷一、选择题（本大题 12 小题，每题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上）1.已知集合 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用集合的交集的定义求 AB.【详解】已知 ,借助数轴,易知故选 B【点睛】利用交集定义求集合的交集，可借助数轴或韦恩图直接解答.2. 是一次函数，且 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意可设 f（x）=ax+b，可得关于 a,b 的方程组,即
2、可求出 f(x)的解析式.【详解】由题意,设 f（x）=ax+b,则 解得 ,故 f(x)= x- ,故选 C【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式. 其步骤一般为：根据函数类型设出函数的解析式,根据题意构造关于系数的方程（组）,解方程（组）,确定各系数的值,将求出的系数值代入求得函数的解析式.- 2 -3.函数 的定义域是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据二次根式被开方数大于等于 0，求解分式不等式和一元二次不等式，最后将解得的 x 的范围取交集.【详解】要使二次根式有意义，则 ，由得：（x+2） （1-x）0 且 x1，解得：-2x1，解得：x-1 或 x2故原
3、函数的定义域为x|-2x-1故选：A【点睛】本题考查了函数的定义域，考查了分式不等式和一元二次不等式的解法，注意原函数的定义域为两个不等式解集的交集 .4.下列函数中在 上单调递减的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】结合初等基本函数的在区间上单调性判断.【详解】A 中 在（-，-1）和（-1，+）上是增函数，B 中，y=1-x 2在（-，0）上是增函数，C 中，y=x 2+x= ，在（-，- ）上是减函数，在（- ，+）上是增函数，D 中，y= ，定义域为（-，1,根据复合函数的单调性，函数在（-，1是减函数，故选：D【点睛】本题考查函数的单调性的判断，涉及基本初等函数
4、的性质；判断复合函数的单调性，可依据 “同增异减”判断，即两个函数单调性不一致，其复合函数为减函数.5.已知 ，则 （ ）- 3 -A. 3 B. 4 C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意得出 f（x）+f（ ）=1，进而求解.【详解】已知 则 ，易知 f（x）+f（ ）=1，故 = +3= .故选 C【点睛】本题考查了已知解析式，求函数值，解答本题关键是，根据题中所给的解析式找出规律，再计算.6.设 ,则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数 y=0.6x在 R 上单调性，可得 y2y 3再根据函数 y= 的单调性，可得 y1y 2，即可得解.【详解】根据函
5、数 y=0.6x在 R 上单调递减，可知 ,即 y2y 3，根据函数 y= 在（0，+）上是增函数，可知 ，即 y1y 2综上， ，故选 B【点睛】本题考查了幂的大小比较问题，若底数相同，指数不同，可通过指数函数的单调性比较；若指数相同，底数不同，可利用幂函数的单调性比较.7.函数 的零点所在的区间是( )A. B. C. D. 【答案】B- 4 -【解析】【分析】应用函数零点存在性定理判断.【详解】易知函数 f（x）= 在定义域上连续，且 f( )= 0 时,结合一元二次方程根与系数的关系，可判断 y= ，在（- ，0 ）上是增函数，y= ，在0,+ )上是增函数，且 x=0 时，函数图象连
6、续，故 f（x）在 R 上是单调增函数.故正确；当 b0 时，f（x）的值域是 R，没有最小值，故错误；若 f（x）=|x|x+bx，f（-x）=-f（x） ，故函数 f（x）是奇函数，即函数 f（x）的图象关于（0，0）对称而函数 f（x）=|x|x+bx+c 的图象是由函数 f（x）=|x|x+bx 的图象向上（下）平移 个单位 ，故图象一定是关于（0，c）对称的，故正确；令 b=-2，c=0，则 f（x）=|x|x-2x=0，解得 x=0，2，-2所以正确故选 C.【点睛】本题考查了分段函数的单调性、对称性和最值问题，若题目中含有绝对值，通常采取去绝对值的方法，进行分类讨论；函数的对称性
7、问题一般转化为分析函数的奇偶性，再根据函数图象的平移进行判断；存在性的命题，一般可通过特殊值法来解决第 II 卷- 7 -二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分，请把答案填在答卷相应位置。 ）13.设集合 ，集合 ，则集合 中有_个元素【答案】6【解析】【分析】列出集合 B，进而求解.【详解】由题意，B=2，3，4，5，6，8；共有 6 个元素【点睛】本题考查了集合的表示方法中的列举法，考查了集合中元素的确定性、互异性和无序性.14.若函数 ，则 _【答案】-1【解析】令 t=2x+1，则 x= , 则 f（t）= 2 = , f（3） =1.故填： .点睛：求未知函数解析
8、式的函数的函数值，有两种思路，一种是利用待定系数法、换元法、凑配法等求函数解析式的方法，求出函数的解析式，然后将自变值，代入函数解析式，进行求解；二是利用凑配特殊值的方法，凑出条件成立时的特殊值，代入求解 15.已知函数 分别是定义在 上的偶函数和奇函数，且它们在 上的图象如图所示，则不等式 在 上的解集是_. 【答案】【解析】【分析】- 8 -不等式 的解集，与 f（x） g(x) 0 且 g（x） 0 的解集相同，观察图象选择函数值同号的部分，再由 f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，得到 f（x） g（x）是奇函数，从而求得对称区间上的部分解集，最后两部分取并集即可.【详解】将不等式 转
9、化为 f（x） g(x) 0 且 g（x） 0，如图所示：满足不等式的解集为：（1,2y=f（x）是偶函数，y=g（x）是奇函数f（x） g（x）是奇函数,故在 y 轴左侧，满足不等式的解集为(-3,-2 (-1,0) 故不等式 在 上的解集是(-3,-2 (-1,0) （1,2【点睛】本题考查了函数的奇偶性在解不等式中的应用，考查了数形结合，转化，分类讨论等思想方法，根据函数奇偶性的性质以及数形结合是解决本题的关键.16.已知函数 的值域为 ，若关于 的不等式 的解集为，则实数 的值为_.【答案】9【解析】【分析】根据函数的值域求出 b= ，然后根据不等式的解集可得 f（x）=c 的两个根为
10、 m，m+6，利用根与系数的关系建立等式，进而得解.【详解】函数 f（x）=x 2+ax+b（a，bR）的值域为0，+） ，f（x）=x 2+ax+b=0 只有一个根，即=a 2-4b=0 则 b= ，不等式 f（x）= x 2+ax+ c 的解集为（m，m+6） ，则 x2+ax+ -c=0 的两个根为 x1=m，x 2=m+6，x 1+x2=-a ，x 1x2= -c |m+6-m|= 解得 c=9- 9 -【点睛】本题考查了二次函数、一元二次不等式与一元二次方程的关系的应用，以及根与系数的关系，同时考查了分析求解的能力和计算能力.三、解答题（本大题共 6 题，共 70 分, 解答应写出文
11、字说明、证明过程或演算步骤.）17.计算：（1） ；（2） 【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】（1）根据分数指数幂的运算性质计算（2）根据对数的运算性质计算.【详解】(1) 原式= .【点睛】本题考查了指数与对数的运算性质的灵活应用，考查了推理能力与计算能力.18.已知全集 .（1）求 ；（2）求 【答案】 （1） ；（2） ， .【解析】【分析】（1）根据交集、并集的概念求解即可；- 10 -（2）根据（1）的解和补集的概念求解即可.【详解】 （1）AB1，32，2）1，2） ，AB1，32，2）2，3 ；（2） （ ，1）2， ） ，（ ，2）（3， ）.【点睛】本题考查的是集
12、合的运算，在解题的过程中，需要明确集合的运算法则，注意对应集合与元素的关系，从而求得结果19.设 ，若 ，求实数 的取值范围.【答案】【解析】【分析】先分类讨论 A 是否是空集，再当 A 不是空集时，分-2a0，0a2，a2 三种情况分析a 的取值范围，综合讨论结果，即可得到 a 的取值范围【详解】若 A=，则 a-2，故 B=C=，满足 C B；若 A ，即 a -2， 由 在 上是增函数，得 ，即当 时，函数 在 上单调递减，则 ，即 ，要使,必须且只需 ，解得 ，这与 矛盾；当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，则 ，即，要使 ,必须且只需 ，解得 ；当 时，函数 在 上单调递减
13、，在 上单调递增，则 ，即，要使 ,必须且只需 ，解得 ；综上所述， 的取值范围是 .【点睛】本题考查了通过集合之间的关系求参数问题，考查了分类讨论的数学思想，要明确集合中的元素，对集合是否为空集进行分类讨论，做到不漏解- 11 -20.某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体成员从居住地到工作地的平均用时某地上班族 中的成员仅以自驾或公交方式通勤分析显示：当 中 的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间是 （单位：分钟） ，而公交群体的人均通勤时间不受 影响，恒为 40 钟，根据上述分析结果回答下列问题：（1）请你说明，当 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求
14、该地上班族 的人均通勤时间 的表达式；讨论 的单调性，并说明其实际意义【答案】 （1） ；（2）见解析.【解析】【分析】（1）由题意知求出 f（x）40 时 x 的取值范围即可；（2）分段求出 g（x）的解析式，判断 g（x）的单调性，再说明其实际意义【详解】由题意知，当 0x 30 时,f(x)=3040, 即 x2-65x+9000，解得 x20(舍去)或 x45 当 x（45，100）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间.（2）当 0x30 时，g（x）=30x%+40（1-x%）=40- 当 30x100 时， ； 当 0x30 时, g（x）=40- 是单调递减函数，
15、g（30）=37，当 30x100 时， ，且 g（30）=37，当 0x32.5 时，g（x）单调递减；当 32.5x100 时，g（x）单调递增；- 12 -实际意义：说明该地上班族 S 中小于 32.5%的人自驾时，随着自驾占比增大，人均通勤时间是递减的；大于 32.5%的人自驾时，随着自驾占比增大，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为 32.5%时，人均通勤时间最短【点睛】本题考查了分段函数的应用问题，分段函数应用时要注意：要明确函数的定义域和其相对的函数表达式；注意求的是整个函数的定义域内的值域还是分段函数，某区间内部的函数值；注意累加的情况和“仅仅”某段函数的讨论21.已知 是定义在
16、 上的奇函数，且 ，若 且 时，有成立（1）判断 在 上的单调性，并用定义证明；（2）解不等式 ；（3）若 对所有的 恒成立，求实数 的取值范围【答案】 （1）见解析；（2） ；（3） 或 或【解析】【分析】（1）利用函数单调性的定义，奇函数的性质，结合 ，判断 在 上的单调递增;(2) 根据（1）的结论，以及函数的定义域，列出不等式组,求出 x 的范围;（3）根据（1）的结论和条件，将问题转化为 m2-2am+11，即 m2-2am0 对 a-1，1恒成立，构造函数 g（a）= -2ma+m 2，进而求得 m 的取值范围.【详解】任取 x1， x21,1且 x10， 0, f(x1) f(x
17、2)0，即 f(x1)f(x2)， f(x)在1,1上单调递增- 13 -(2) f(x)在1,1上单调递增， ，解得 (3) f(1)1， f(x)在1,1上单调递增，在1,1上， f(x)1.问题转化为 m22 am11，即 m22 am0，对 a1,1恒成立设 g(a)2 ma m2.若 m0，则 g(a)00，对 a1,1恒成立若 m0，则 g(a)为 a 的一次函数，若 g(a)0，对 a1,1恒成立，必须 g(1)0，且 g(1)0， m2 或 m2. m 的取值范围是 m0 或 m2 或 m2.【点睛】本题考查了函数的单调性的综合问题，以及函数恒成立问题，考查了转化思想和分类讨论
18、思想，在解决恒成立问题时，适当的分离参数能够简化解题过程 .22.对于定义域为 的函数 ，如果同时满足以下三条：对任意的 ，总有 ； ；若 ，都有 成立，则称函数 为理想函数(1) 若函数 为理想函数，求 的值；(2)判断函数 是否为理想函数，并予以证明；(3) 若函数 为理想函数， 假定 ，使得 ，且 ，求证：【答案】 （1） （2） 理想函数【解析】本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意挖掘题设的中的隐含条件，注意性质的灵活运用（1）取 x1=x2=0 可得 f（0）f（0）+f（0）f（0）0，由此可求出 f（0）的值（2）g（x）=2x-1 在0，1满足条件g（x）0，也满足条件g（1）=1若x10，x20，x 1+x21，满足条件，收此知故 g（x）理想函数（3）由条件知，任给 m、n0，1，当 mn 时，由 mn 知 n-m0，1，f（n）- 14 -=f（n-m+m）f（n-m）+f（m）f（m） 由此能够推导出 f（x 0）=x 0
