1、12.1.6 第二节 点到直线的距离（）【学习导航】 知识网络 点到直线的距离公式两条平行直线之间的距离公式直接运用公式求值对称问题的运用平面几何中的运用学习要求 1巩固点到直线的距离公式及两平行直线间 的距离公式；2掌握点、直线关于点成中心对称（或关于 直线成轴对称）的点、直线的求解方法； 3能运用点到直线的距离公式及两平行直线 间的距离公式灵活解决一些问题【课堂互动】自学评价1.若 0(,)Qxy与 (,)x关于点 (,)Pab对 称,则 2 a , 02y 2. 若 0()与 ()关于直线CByAx对称,则 ,与 xy的中点落在直线 0CByAx上,且 0Q与 的连线与 0CBA垂直.【
2、精典范例】例 1：在直线 3上找一点,使它到原 点和直线 32的距离相等分析：直线 xy与直线20xy平行，即可算出它们之间的距 离，然后利用两点之间的距离公式算出该点的坐标【解】直 线 3与 20之 间 的距 离 为 ： 2|0|153听课随笔2设直线 30xy上的点 0(,)Pxy满足题意，则022310()5xy，解得051y或01y，所求点的坐标为 3(,)5或 (,)点评:本题主要利用两条平行直线之间的距离公式解决问题，是对上节课所学内容的一个复习与巩固例 2：求直线 160xy关于点 (,1)P对称的直线方程分析：解题的关键是中心对称的两直线互相平行，并且两直线与对称中心的距离相等
3、【解】设所求直线的方程为 xyC，由点到直线的距离公式可得 22|016|01|， （舍去）或 38，所以，所求直线的方程为 0xy点评:本题也可以利用点与点的对称，设直线 2160xy上任意一点 0(,)Axy（ 0(,)Axy在直线 216上，所以 0）与 1P对称的点为 则 0， 0解得 ， ，然后将 0， 的值代入0216求出所求直线，比较而言，此法注重轨迹的推导过程，而前面的方法比较简便，为求直线关于点对称的直线方程的基本方法（直线关于点对称的问题） 例 3：已知直线 1l： yx，2l： 0yx，求直线 2l关于直线 1l对称的直线 l的方程分析：直线关于直线对称，可以在 上任意取
4、两个点，再分别求出这两个点关于直线 1l的对称点，最后利用两点式求出所要求的方程这里可以通过求出交点这个特殊点以简化计算【解】由 0321yx，解得： 35yx， l过点 25(,)3P，又显然 ),(Q是直线 2l上一点，设 Q关于直线 1l的对称点为 0,Qxy，则00012()yx，解得： 02，即 (,)Q，3因为直线 l经过点 P、 Q，所以由两点式得它的方程为： 042yx点评: 本题为求直线关于第三条直线对称的直线方程的基本方法（两条直线关于第三条直线对称的问题） 注意：这里有一种特殊情况：直线 0CByAx关于直线 yx对称的 直线方程为：例 4：建立适当的直角坐标系，证明：等
5、腰 三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高分析：要证明的结论中涉及的都是点到直线 的距离，故可考虑用点到直线的距离公式计算距离，因此必须建立直 角坐标系.【证明】设 ABC是等腰三角形，以底边 CA所在直线为 x轴，过顶点 且垂直与 CA的 直线为 y轴，建立直角坐标系（如图） 设 )0,(a，),0(b( ， )，则 ),(直线 的方程： 1by，即： 0ax直线 BC的方程： x，即： yb设底边 A上任意一点为 )0,(P（ ax） ，则 P到 的距离 22)(| bxE，到 BC的距离 22|()bxaF，A到 的距离 22| bah ()()xPEF2bha故原命题得证点
6、评:本题主要利用点到直线的距离公式进行 简单的几何证明方面的运用，运用代数方法研究几何问题.追踪训练一听课随笔4 点 P在 x轴上,若它到直线430y的距离等于 1，则 P的坐标是 (2,0)或 1,)直线 4关于点 ),2(对称的直线的方程为 30xy3. 光 线 沿 直 线 l1： 03yx照 射 到 直 线 l2： 4上 后 反 射 ， 求 反 射 线 所 在 直 线3l的 方 程 【解】由 24，解得： 71x， 3l过点 (7,1)P，又显然 Q是直线 l上一点，设 Q关于直线 2l的对称点为 0(,)Qxy，则00021()xy，解得： 05xy，即 (,5)Q，因为直线 l经过点
7、 P、 ，所以由两点式得它的方程为 2150xy求证：等腰三角形底边延长线上任一点到两腰（所在直线）的距离的差的绝对值等于一腰上的高分析：要证明的结论中涉及的都是点到直线的距离，故可考虑用点到直线的距离公式计算距离，因此必须建立直角坐标系【证明】设 ABC是等腰三角形，以底边 CA所在直线为 x轴，过顶点 B且垂直于 CA的直线为 y轴，建立直角坐标系，如图，设 (,0)a， (,)b0,)a，则 ，直线 方程为：1x，即： xy，直线 BC方程为： 1ab，即： 0bxy，设 (,)P或 )x是底边延长线上任意一点，则 到 A距离为22|(|Dab，BEDPOxy5P到 BC距离为 22|(
8、)|bxaxEb，A到 距离为22|hab，当 x时， 22()| |xabPDE2hab，当 x时， 22()| |xabPE2hab，当 x或 a时， |PDEh，故原命题得证【选修延伸】一、数列与函数 例:分别过 )3,0(,4BA两点作两条平 行线，求满足下列条件的两条直线方程：（1）两平行线间的距离为 ；（2）这两条 直线各自绕 A、 B旋转，使它们之间的距离取最大值分析：（）两条平行直线分别过 (4,0)A，(0,3)B两点,因此可以设出这两条直线的方 程之间(注意斜率是否存在)，再利用两条平行直线之间的距离公式，列出 方程，解出所要求的直线的斜率；（）这两条平行直线与 B垂直 时
9、，两直线之间距离最大【解】 （1）当两直线的斜率不存在时，方程 分别为 0,4x，满足题意当两直线的斜率存在时，设方程分别为 )4(xky与 3kxy，即： 0 与 0y，由题意： 4132k，解得 247k，所以，所求的直线方程分别为： 08yx， 0724yx综上：所求的直线方程分别为：7，或 ,4（2）结合图形，当两直线与 AB垂直时，两 直线之间距离最大，最大值为 |5AB，同上可求得两直线的方 程此时两直线的方程分别为 0163yx， 0934yx听课随笔6点评:（）设直线方程时一定要先考虑直线的斜率是否存在，利用平行直线之间的距离公式列出相应的方程，解出相应的未知数；（）体现了数形
10、结合的思想，通过图形，发现问题的本质思维点拔：对称问题在遇到对称问题时关键是分析出是属于什么对称情况，这里大致可以分为：点关与点对称，点关于直线对称，直线关于点对称，直线关于直线对称这四种情况，一旦确定为哪种情况后对应本节课的四种基本方法进行求解追踪训练二1两平行直线 1l， 2分别过 (1,0)A， (,5)B（） l， 之间的距离为，求两直线方程；（）若 1， 2之间的距离为 d，求 的取值范围【解】 （1）当两直线的斜率不存在时，方程分别为 1x， 0，不满足题意当两直线的斜率存在时，设方程分别为 ()ykx与 5ykx，即： 0 与 0，由题意： 21，解得 或 512k，所以，所求的直线方程分别为： 1l： 0y， 2l： 5y或： 5x，2： 6（） (,d学生质疑教师释疑
