1、1河北省武邑中学 2018-2019 学年高二上学期第三次月考数学（文）试题卷（选择题，共 60 分）一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.现要完成下列 3 项抽样调查：我校共有 320 名教职工，其中教师 270 名，行政人员20 名，后勤人员 30 名为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为 32 的样本学术报告厅有 16 排，每排有 22 个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请 16 名听众进行座谈从高二年级 24 个班级中抽取 3 个班进行卫生检查较为合理的抽
2、样方法是( )A. 简单随机抽样系统抽样分层抽样 B. 简单随机抽样分层抽样系统抽样C. 系统抽样简单随机抽样分层抽样 D. 分层抽样系统抽样简单随机抽样【答案】D【解析】【分析】利用简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的定义、性质直接判断求解即可.【详解】在中，我校共有 320 名教职工，其中教师 270 名，行政人员 20 名,后勤人员 30名，抽取一个容量为 32 的样本，三个不同层次的人员差异明显，应该用分层抽样；在中，学术报告厅有 16 排,每排有 22 个座位，报告会恰好坐满了听众，请 16 名听众进行座谈，可以利用“排”为分组依据，应该用系统抽样；在中，从髙二年级 24 个班级中抽取
3、 3 个班进行卫生检查，数量较少，应该用简单随机抽样，故选 D.【点睛】本题考查随机抽样、系统抽样、分层抽样的定义，是基础题.系统抽样适合抽取样本较多且个体之间没有明显差异的总体，系统抽样最主要的特征是，所抽取的样本相邻编号等距离；分层抽样适合总体中个体差异明显，层次清晰的抽样，其主要性质是，每个层次，抽取的比例相同.2.点 M 的直角坐标为 ，则点 M 的一个极坐标为(2,23)A. B. C. D. (4,6) (4,3) (4,76) (4,43)【答案】D2【解析】【分析】根据极坐标与直角坐标的转化公式即可求得直角坐标。【详解】由极坐标与直角坐标转化公式， 2=x2+y2tan=yx
4、代入得 2=(-2)2+(-23)2=16tan=-23-2= 3 因为 M 位于第三象限，所以 (-2,-23) =43所以极坐标 为M(,) M(4,43)所以选 D【点睛】本题考查了极坐标与直角坐标的转化，注意点所在的象限，属于基础题。3.设 满足约束条件 ，则 的最大值为x,y x2y+30xy+10y1 z=3x+4yA. 4 B. 5 C. 6 D. 7【答案】B【解析】【分析】利用线性约束条件，画出可行域，将目标函数平移可得最大值。【详解】根据约束条件，画出可行域如下图所示：3将图中目标函数（红色） 平移，可知当平移经过 P 点（蓝色）时目标函数取得最大y=34x值，此时 P(1
5、,2)所以最大值为 z=-31+42=5所以选 B【点睛】本题考查了线性规划的简单应用，注意可行域的选择，属于基础题。4. 下列抽样实验中，适合用抽签法的有( )A. 从某厂生产的 3 000 件产品中抽取 600 件进行质量检验B. 从某厂生产的两箱(每箱 15 件)产品中取 6 件进行质量检验C. 从甲、乙两厂生产的两箱(每箱 15 件)产品中抽取 6 件进行质量检验D. 从某厂生产的 3 000 件产品中抽取 10 件进行质量检验【答案】B【解析】A，D 中个体的总数较大，不适合用抽签法；C 中甲、乙两厂生产的两箱产品性质可能差别较大，因此未达到搅拌均匀的条件，也不适于用抽签法；B 中个
6、体数和样本容量较小，且同厂生产的两箱产品，性质差别不大，可以看作是搅拌均了考点：简单随机抽样.5. 从装有两个红球和两个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ 4）A. “至少有一个黑球”与“都是黑球B. “至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C. “恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”D. “至少有一个黑球”与“都是红球”【答案】C【解析】试题分析：A 中两事件不是互斥事件；B 中两事件不是互斥事件；C 中两事件是互斥事件但不是对立事件；D 中两事件既是互斥事件又是对立事件考点：互斥事件与对立事件6.不等式(x-2y+1)(x+y-3)0 在直角坐标平面内表示的区域(用阴影部
7、分表示),应是下列图形中的( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】不等式 等价于 或 ，根据二元一次不等式与(x2y+1)(x+y3)0 x2y+10x+y30 x2y+10x+y30区域的关系即可得出正确选项.【详解】 等价于 或 ，(x2y+1)(x+y3)0 x2y+10x+y30 x2y+10x+y30即不等式表示的区是同时在两直线的上方或同时在两直线的下方部分，只有选项 符合题C意，故选 C.【点睛】本题考查二元一次不等式与区域的对应，解题的关键是熟练掌握判断规則，并能5作出正确的图形，作图时要根据边界的存在与否来选择边界是实线还是虚线.7.若变量 ， 满足约束条件
8、，则 的最大值等于（ ）x y x+2y80x40y3 z=2x+yA. B. C. D. 7 8 10 11【答案】C【解析】试题分析：作出不等式组 所表示的可行域如下图所示，x+2y80x40y3 直线 交直线 于点 ，作直线 ，则为直线在 轴上的截距，当直x=4 x+2y=8 A(4,2) l:z=2x+y y线经过可行域上的点 时，直线在 轴上的截距最大，此时取最大值，即A y，故选 C.zmax=24+2=10考点：本题考查线性规划中线性目标函数的最值，属于中等题.视频8.某学校从编号依次为 001，002，900 的 900 个学生中用系统抽样（等间距抽样）的方法抽取一个样本，已知
9、样本中相邻的两个编号分别为 053，098，则样本中最大的编号为（ ）A. 853 B. 854 C. 863 D. 864【答案】C【解析】样本中相邻的两个编号分别为 053，098，样本数据组距为 9853=45，则样本容量为 =20，90045则对应的号码数 x=53+45（n2） ，当 n=20 时，x 取得最大值为 x=53+4518=863，6故选：C9.执行如图所示的程序框图，则输出的数值是（ ）A. B. C. D. 9899 4999 50101 100101【答案】B【解析】由题意可得此程序框图的功能是计算 的值，113+ 135+ 19799又 。113+ 135+ 19
10、799=12(113)+(1315)+(197199)=12(1199)=4999选 B。点睛：识别算法框图是高考的重点和热点，解决这类问题要注意：（1）要明确算法框图中的顺序结构、选择结构和循环结构；（2）要识别运行算法框图，理解框图解决的实际问题；（3）按照题目的要求完成解答 10.实数 满足不等式组 ，则目标函数 的最大值是（ ）x,y x0,y03x+y-60x+ 3y-230 z=2y-xA. 12 B. 4 C. D. 0 -23【答案】A【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得
11、结论.7【详解】作出实数 满足不等式组 的可行域如图，x,y x0,y03x+y-60x+ 3y-230 由 ，解得 ,x=03x+y6=0 A(0,6)将 变形为 ，z=2yx y=12x+12z平移直线 ，y=12x+12z由图可知当直 经过点 时，y=12x+12z A(0,6)直线在 轴上的截距最大，y目标函数 的最大值为 ，故选 A.z=2yx z=260=12【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行
12、域的端点或边界上取得.11.在等比数列a n中，若 a1a 2a 3a 4 ，a 2a3 ，则 等于( )158 98 1a1+1a2+1a3+1a4A. B. C. D. 53 35 53 35【答案】C【解析】【分析】由等比数列的性质可得 ，两式相除化简即可得结果.a1a4=a2a3=98,a1+a2+a3+a4=158【详解】 ，a1a4=a2a3=98,a1+a2+a3+a4=158两式相除可得，8a1+a2+a3+a4a2a3 =a2+a3a2a3+a1+a4a1a4，故选 C.=1a1+1a2+1a3+1a4=15898=53【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式与等比数列的性质，
13、意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题. 解答有关等比数列的问题时，要注意应用等比数列的性质：若 则 .p+q=m+n=2r apaq=aman=ar212.在长方体 中， , 分别在线段 和 上，ABCDA1B1C1D1 AB=4，BC=3，AA1=5M,N AA1 AC，则三棱锥 的体积最小值为|MN|=2 DMNC1A. 4 B. C. D. 321 432 624【答案】A【解析】【分析】此三棱锥中点 D 到平面 MNC1的距离为定值 ，只要 C1到 MN 的距离最小，则 MNC 1的面积125最小，则三棱锥 DMNC 1的体积最小【详解】如图，面 MNC1就是平面 ACC
14、1A1，因此 D 点到面 MNC1的距离为定值 ，由题意125是正方形，由对称性知当 （或 ）与 重合时， 到直线 的距离最小，最小值ACC1A1 M N A C1 MN为 5，此时 ， SC1MN=1225=5 VDMNC1最 小 =135125=4故选 A【点睛】最值问题求法很多，如用代数知识建立函数，用基本不等式，解不等式等是常用方法，有时也可利用共线求距离最短，通过运动轨迹求最值等9卷（非选择题，共 90 分）二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13.【2018 年全国卷文】某公司有大量客户，且不同龄段客户对其服务的评价有较大差异为了解客户的评价，该公司准备进行
15、抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是_【答案】分层抽样.【解析】分析：由题可知满足分层抽样特点详解：由于从不同龄段客户中抽取，故采用分层抽样故答案为：分层抽样。点睛：本题主要考查简单随机抽样，属于基础题。14.若 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为_x y x2y20xy+10y0 z=3x+2y【答案】6【解析】分析：首先根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，再将目标函数化成斜截式，之后在图中画出直线 ，在上下移动的过程中，结合 的几何意义，可y=32x+12z y=32x 12z以发现直线 过 B 点时取得最大值，联立方程组，求得点 B
16、的坐标代入目标函数y=32x+12z解析式，求得最大值.详解：根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：10由 可得 ，z=3x+2y y=32x+12z画出直线 ，将其上下移动，y=32x结合 的几何意义，可知当直线过点 B 时，z 取得最大值，z2由 ，解得 ，x2y2=0y=0 B(2,0)此时 ，故答案为 6.zmax=32+0=6点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断 z 的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的
17、形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.15.如果椭圆 的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是_x236+y29=1【答案】 y=-0.5x+4【解析】设弦为 ，且 ，代入椭圆方程得 ，两式作差并化简得AB A(x1,y1),B(x2,y2)x2136+y219=1,x2236+y229=1，即弦的斜率为 ，由点斜式得 ，化简得 .y2y1x2x1=x1+x2y1+y2=12 12 y2=12(x2) y=0.5x+416.如图，在底面半径和高均为 4 的圆锥中，AB、CD 是底面圆 O 的两条互相垂直的直径，E是母线 PB 的中点，若过直径 C
18、D 与点 E 的平面与圆锥侧面的交线是以 E 为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点 P 的距离为_【答案】 10【解析】【分析】根据圆锥的性质，建立坐标系,确定抛物线的方程，计算出 的长度，结合直角三角形的EF11关系进行求解即可.【详解】如图所示，过点 作 ,垂足为 ，E EHAB H母线的 中点，圆锥的底面半径和高均为 4 ,E PB，OH=EH=2OE=22在平 内建立直角坐标系如图，CED设抛物线的方程为 ， 为抛物线的焦点， ，y2=2px (p0),F C(22,4)，解得 ，16=2p(22) p=22,F( 2,0)即 ，OF= 2,EF= 2，PB=42,PE=
19、22该抛物线的焦点到圆锥顶点 的距离为 P，故答案为 .EF2+PE2= 2+8= 10 10【点睛】本题考查了圆锥的性质、抛物线的标准方程与性质，考查空间想象能力以及转化与划归思想、数形结合思想的应用,建立平面坐标系，求出抛物线的方程以及焦点坐标是解决本题的关键，属于难题.三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）17.已知直线 l1：x-2y+3=0 与直线 l2：2x+3y-8=0 的交点为 M，（1）求过点 M 且到点 P（0，4）的距离为 2 的直线 l 的方程；（2）求过点 M 且与直线 l3：x+3y+1=0 平行的直线 l 的方程12【答
20、案】 （1）y=2 或 4x-3y+2=0； （2）x+3y-7=0.【解析】【分析】(1)先求两条直线的交点,设所求直线斜率 ，利用点斜式设出直线方程，由点到直线的距离k公式求出 ，从而确定直线方程；(2)根据直线平行求出直线的斜率,利用点斜式方程求解即k可.【详解】 （1）由 l1：x-2y+3=0 与 l2：2x+3y-8=0 联立方程 x-2y+3=0 与 2x+3y-8=0 解得，l 1，l 2的交点 M 为（1，2） ，设所求直线方程为 y-2=k（x-1） ，即 kx-y+2-k=0，P（0，4）到直线的距离为 2， ，解得 k=0 或 ，直线方程为 y=2 或 4x-3y+2=
21、0；2=|-2-k|1+k2 43（2）过点（1，2）且与 x+3y+1=0 平行的直线的斜率为：- ，13所求的直线方程为：y-2=- （x-1） ，即 x+3y-7=013【点睛】本题主要考查待定系数法求直线方程以及直线点斜式方程，属于中档题.待定系数法求直线方程的一般步骤是：（1）判断，根据题设条件判断出用那种形式的直线方程参数较少；（2）设方程，设出所选定的标准形式的直线方程；（3）求参数，根据条件列方程求出参数；（4）将参数代入求解；（5）考虑特殊位置的直线方程，因为除一般式外，其他四种标准方程都有局限性.18.求过三点 的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标0(0,0),A(1,1
22、),B(4,2)【答案】 5,(4,3)【解析】【分析】设出圆的一般方程，把 代入所设,得到关于 的方程组，求解 ,0(0,0),A(1,1),B(4,2) D,E,F D,E,F即可求得圆的一般方程，化为标准方程，进一步求得圆心坐标与半径.【详解】设圆的方程为：x 2+y2+Dx+Ey+F=0，则 ，解得 D=4，E=3，F=0，圆的方程为 x2+y28x+6y=0，13化为（x4） 2+（y+3） 2=25，可得：圆心是（4，3） 、半径 r=5【点睛】本题主要考查圆的方程和性质，属于简单题.求圆的方程常见思路与方法有:直接设出动点坐标 ，根据题意列出关于 的方程即可；根据几何意义直接找到
23、圆心(x,y) x,y坐标和半径，写出方程；待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般式方程，再根据所给条件求出参数即可.19.某货轮在 A 处看灯塔 B 在货轮北偏东 ，距离为 n mile；在 A 处看灯塔 C 在货轮75 126的北偏西 ，距离为 n mile.货轮由 A 处向正北航行到 D 处时，再看灯塔 B 在北偏东30 83.120求：（）A 处与 D 处之间的距离；（）灯塔 C 与 D 处之间的距离.【答案】 （）AD=ABsinBsinADB=1262232 =24（）灯塔 C 与 D 处之间的距离为 n mile.83【解析】解：（）在 ABD 中，由已知得 ADB= ，
24、 B= 60 45由正弦定理得 6 分AD=ABsinBsinADB=1262232 =24（）在 ADC 中，由余弦定理得，解得 CD= .所以 A 处与 D 处之间的距离为 24 n CD2=AD2+AC22ADACcos30 83mile，灯塔 C 与 D 处之间的距离为 n mile. 12 分831420.已知 ， （本题不作图不得分）x-4y-33x+5y25x1 （1）求 的最大值和最小值； z=2x+y（2）求 的取值范围z=y+1x+1【答案】 （1）最大值为 12，最小值 3； （2） .12,2710【解析】【分析】（1）由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式
25、，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论；（2） 的几何意z=y+1x+1义表示区域内的点与 连接直线的斜率，可得与 连接的直线斜率最小，与 连接的直(1,1) B C线斜率最大，从而可得结果.【详解】（1）由已知得到平面区域：z=2x+y 变形为 y=-2x+z，当此直线经过图中 A 时使得直线在 y 轴的截距最小，z 最小，经过图中 B 时在 y 轴 的截距最大，z 最大，A（1，1） ，B（5，2） ，所以 z=2x+y 的最大值为 25+2=12，最小值 21+1=3； （2） 的几何意义表示区域内的点与（-1，-1）连接直线的斜率，z=y+1
26、x+1所以与 B 连接的直线斜率最小，与 C 连接的直线斜率最大， 所以 的最小值为 ，最大值为z=y+1x+1 2+15+1=12 225+11+1=2710所以 的取值范围是 z=y+1x+1 12,2710【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移或旋转变形后的目标函数，15最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.21.如图，四边形 ABCD 为菱形，G 为 AC 与 BD
27、 的交点，BE平面 ABCD.(1)证明：平面 AEC平面 BED；(2)若ABC120，AEEC，三棱锥 EACD 的体积为 ，63求该三棱锥的侧面积【答案】 （）见解析；（） 3+25【解析】试题分析：（1）由菱形性质得 ACBD.再由线面垂直性质得 ACBE，因此 AC平面 BED.最后根据面面垂直判定定理得结论（2）先确定各面形状，再根据勾股定理求对应量，最后根据面积公式求各面面积，和为侧面积试题解析：(1)因为四边形 ABCD 为菱形，所以 ACBD.因为 BE平面 ABCD，所以 ACBE，又 BDBE=B，故 AC平面 BED.又 AC平面 AEC，所以平面 AEC平面 BED.
28、(2)设 AB=x，在菱形 ABCD 中，由ABC=120，可得 AG=GC= x，GB=GD= .32 x2因为 AEEC，所以在 RtAEC 中，可得 EG= x.32由 BE平面 ABCD，知EBG 为直角三角形，可得 BE= x.22由已知得，三棱锥 E-ACD 的体积VE-ACD= ACGDBE= x3= .13 12 624 63故 x=2.从而可得 AE=EC=ED= .6所以EAC 的面积为 3，EAD 的面积与ECD 的面积均为 .5故三棱锥 E-ACD 的侧面积为 3+2 .516点睛：证明面面垂直的方法(1)利用面面垂直的定义(不常用)；(2)可以考虑证线面垂直，即设法先
29、找到其中一个平面的一条垂线，再证这条垂线在另一个平面内或与另一个平面内的一条直线平行(常用方法)22.已知椭圆 C： 的两个焦点分别为 F1，F 2，离心率为 ，过 F1的直线 lx2a2+y2b2=1(ab0) 12与椭圆 C 交于 M，N 两点，且MNF 2的周长为 8（1）求椭圆 C 的方程；（2）若直线 ykxb 与椭圆 C 分别交于 A，B 两点，且 OAOB，试问点 O 到直线 AB 的距离是否为定值，证明你的结论【答案】 （1） ； （2）见解析.x24+y23=1【解析】【分析】(1)根据三角形周长为 8，结合椭圆的定义可知， ，利用 ，即可求得和4a=8e=ca= 1-b2a
30、2=12的值,求得椭圆方程；(2)分类讨论，当直线斜率斜存在时,联立 ，得到关于 的b y=kx+bx24+y23=1 x一元二次方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算,求得 和 的关系，利用点到直线m k的距离公式即可求得点 到直线 的距离是否为定值.O AB【详解】 （1）由题意知，4a=8，则 a=2，由椭圆离心率 ，则 b2=3e=ca= 1-b2a2=12椭圆 C 的方程 ；x24+y23=1（2）由题意，当直线 AB 的斜率不存在，此时可设 A（x 0，x 0） ，B（x 0，-x 0） 又 A，B 两点在椭圆 C 上， ，x204+x203=1,x20=127点 O 到直线 A
31、B 的距离 ，d=127=2217当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 y=kx+b设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2）联立方程 ，消去 y 得（3+4k 2）x 2+8kbx+4b2-12=0y=kx+bx24+y23=1 17由已知0，x 1+x2= ， x1x2= ，-8kb3+4k2 4b2-123+4k2由 OAOB，则 x1x2+y1y2=0，即 x1x2+（kx 1+b） （kx 2+b）=0，整理得：（k 2+1）x 1x2+kb（x 1+x2）+b 2=0， 7b 2=12（k 2+1） ，满足0点 O 到直线 AB 的距离 为定值综上可知：点 O 到直线 AB 的距离 d= 为定值【点睛】本题主要考查椭圆的定义及椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及点到直线的距离公式，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种： 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关； 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
