1、- 1 -河南省郑州市 2016-2017 学年高一下学期期末考试数学试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意可得： .本题选择 C 选项.2.把黑、红、白 张纸牌分给甲、乙、丙三人，每人一张，则事件“甲分得黑牌”与“乙分得黑牌”是( )A. 对立事件 B. 必然事件 C. 不可能事件 D. 互斥但不对立事件【答案】D【解析】对于事件“甲分得黑牌”与事件“乙分得黑牌” ，两者不可能同时发生，因此它们是互斥事件；但除了“甲分得黑牌
2、”与“乙分得黑牌”之外，还有可能“丙分得黑牌” ，因此两者不是对立事件；故事件“甲分得黑牌”与“乙分得黑牌”是互斥但不对立事件.本题选择 D 选项.点睛：“互斥事件”与“对立事件”的区别：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件， “互斥”是“对立”的必要不充分条件3.某产品的广告费用 万元与销售额 万元的统计数据如下表：广告费用 （万元）2 3 4 5- 2 -销售额 （万元）26 49 54根据上表可得回归方程 ，则 为（ ）A. 36 B. 37 C. 38 D. 39【答案】D【解析】由回归方程的性质，线性回归方程过样本中心点，则：，解得： .本题选择 D 选
3、项.4.设数据 是郑州市普通职工 个人的年收入，若这 个数据的中位数为 ，平均数为 ，方差为 ，如果再加上世界首富的年收入 ，则这 个数据中，下列说法正确的是（ ）A. 年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变B. 年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大C. 年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D. 年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变【答案】B【解析】数据 x1， x2， x3， xn是郑州普通职工 n(n3,n N)个人的年收入，而 xn+1为世界首富的年收入则 xn+1会远大于 x1， x2， x3， xn，故这 n+1 个数据中，年收入平均数
4、大大增大，但中位数可能不变，也可能稍微变大，但由于数据的集中程序也受到 xn+1比较大的影响，而更加离散，则方差变大.故选 B- 3 -5.下列函数中，周期为 ，且在 上单调递减的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】逐一考查所给的函数：，其周期 ，在区间 上单调递减；，其周期 ，不合题意；，其周期 ，在区间 上单调递增，不合题意；的图象是将函数 的图象位于 轴下方的图象翻折到上方得到的图象， ，其周期 ，不合题意；本题选择 A 选项.6. 的值为（ ）A. B. C. D. 2【答案】B【解析】本题选择 B 选项.点睛：(1)技巧：寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；正确灵
5、活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值；一些常规技巧：“1”的代换、和积互化等- 4 -(2)常用方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化7.某程序框图如图所示，若输出的 ，则判断框内为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】程序在运行过程中各变量值变化如下表：- 5 -K S 是否继续循环循环前 1 1 第一圈 2 4 是第二圈 3 11 是第三圈 4 26 是第四圈 5 57 是第五圈 6 120 否故退出循环的条件应为 k5?本题选择 C 选项.点睛：使用循环结构寻数时，要明确数字的结构特征，决定循
6、环的终止条件与数的结构特征的关系及循环次数尤其是统计数时，注意要统计的数的出现次数与循环次数的区别8.已知函数 的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A. 函数 的图象关于直线 对称B. 函数 的图象关于点 对称C. 若方程 在 上有两个不相等的实数根，则实数D. 将函数 的图象向左平移 个单位可得到一个偶函数【答案】C【解析】- 6 -由函数的部分图象可得 A=2，求得 =2，再根据五点法作图可得 , ，结合函数的解析式可得说法 C 是正确的.本题选择 C 选项.9.为了得到函数 的图象，可以将函数 的图象（ ）A. 向右平移 个单位长度 B. 向右平移 个单位长度C. 向左平移 个单位
7、长度 D. 向左平移 个单位长度【答案】A【解析】，则为了得到函数 的图象，可以将函数 的图象向右平移 个单位长度，本题选择 A 选项.点睛：三角函数图象进行平移变换时注意提取 x 的系数，进行周期变换时，需要将 x 的系数变为原来的 倍，要特别注意相位变换、周期变换的顺序，顺序不同，其变换量也不同10.已知在矩形 中， ， ，点 满足 ，点 在边 上，若，则 （ ）A. 1 B. 2 C. D. 3【答案】B【解析】以 A 点为坐标原点，AD,AB 方向为 x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，则：，设 ，则： ，即 ，则：。本题选择 B 选项.11.已知 ，则 （ ）- 7 -A. B.
8、 C. D. 【答案】A【解析】由题意可得：本题选择 A 选项.12.如图，设 是平面内相交成 角的两条数轴， 分别是 轴、 轴正方向同向的单位向量，若向量 ，则把有序数对 叫做向量 在坐标系 中的坐标，在此坐标系下，假设 ， ， ，则下列命题不正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】在平面直角坐标系中可得： ，则：，则 ，本题选择 B 选项.第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知向量 ， ，则向量 在向量 方向上的投影为_- 8 -【答案】【解析】由题意可得： ，则向量 在向量 方向上的投影为 .14.在 中， ， ，则
9、_【答案】【解析】由题意可得： ，利用诱导公式可得：.15.若 ，则 _【答案】2【解析】由题意可得： ，由两角差的正切公式可得： .点睛：重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式” ；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形16.已知 ， ，若 ，则 的最小值为_【答案】【解析】由题意可得： ，则 A,B,C 三点共线，由两点之间距离公式可得： ，ABO 为等边三角形，-
10、 9 -则 的最小值为为三角形的高： .三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知向量 ， .（1）求 与 的夹角；（2）若 满足 ， ，求 的坐标.【答案】(I) ;(II)【解析】试题分析：(1)首先求得数量积，然后结合夹角公式可求得两向量的夹角为 ；(2)利用向量垂直的充要条件列出方程组，求解方程组可得 .试题解析：(I)，设 与 的夹角为 ，则又 (II)设 ，则解得： 即18.中国国家主席习近平在 2013 年提出共建丝绸之路经济带和 21 世纪海上丝绸之路的重要合作倡议，3 年多来， “一带一路”建设进展顺利，成果丰硕，受
11、到国际社会的广泛欢迎和高度评价，某地区在“一带一路”项目开展之前属于欠发达区域，为了解“一带一路”项目开- 10 -展以后对居民的收入情况的影响，前期对居民的月收入情况调查了 10000 人，并根据所得数据画了样本频率分布直方图，每个分组包含左端点，不包含右端点.（1）求居民月收入在 的概率；（2）根据频率分布直方图求样本数据的中位数、平均数.【答案】(I) ;(II)中位数为 2400（元）,平均数为 2400（元）【解析】试题分析：(1)利用频率分布直方图计算概率值为 0.2；(2)结合题意可得中位数为 2400（元）,平均数为 2400（元）试题解析：(I)居民月收入在3000，4000
12、）的频率为：(II)所以，样本数据的中位数为：（元）样本数据的平均数为：点睛：两个防范：一是在频率分布直方图中，小矩形的高表示频率/组距，而不是频率；- 11 -二是利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；平均数是频率分布直方图的“重心” ，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.19.已知函数 .（1）若 ， ，求 的值；（2）若 ，求函数 的单调减区间.【答案】(I) ;(II)【解析】试题分析：(1)利用题意求得 ， ，然后利用两角和差正余弦公式公式可得；(
13、2)结合函数的解析式和函数的定义域可得函数 的单调减区间为 .试题解析：(I) 又 (II)由 得：又- 12 -所以函数 的单调减区间为：20.为了促进学生的全面发展，郑州市某中学重视学生社团文化建设，现用分层抽样的方法从“话剧社” ， “创客社” 、 “演讲社”三个金牌社团中抽 6 人组成社团管理小组，有关数据见下表（单位：人）：社团名称 成员人数 抽取人数话剧社 50 a创客社 150 b演讲社 100 c（1）求 的值；（2）若从“话剧社” ， “创客社” ， “演讲社”已抽取的 6 人中任意抽取 2 人担任管理小组组长，求这 2 人来自不同社团的概率.【答案】(I) ;（）【解析】试
14、题分析：(1)利用分层抽样的概率可得 的值为 ;(2)列出所有可能的事件，利用古典概型公式可得这 2 人来自不同社团的概率为 .试题解析：(I)所以从“话剧社” ， “创客社” ， “演讲社”三个社团中抽取的人数分别是（）设从“话剧社” ， “创客社” ， “演讲社”抽取的 6 人分别为：则从 6 人中抽取 2 人构成的基本事件为：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共 15 个- 13 -记事件 为“抽取的 2 人来自不同社团”.则事件 包含的基本事件有：， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共 11 个21.已知对任意平面向量 ，把 绕其起点沿逆时针方向旋转 角得到的向量，
15、叫作把点 绕点 逆时针方向旋转 角得到点 .（1）已知平面内点 ，点 ，把点 绕点 逆时针方向旋转 角得到点 ，求点的坐标；（2）设平面内曲线 上的每一点绕坐标原点沿顺时针方向旋转 后得到的点的轨迹方程是曲线 ，求原来曲线 的方程.【答案】(I) ;（）【解析】试题分析：(1)利用题意结合两角和差正余弦公式可得 ；(2)由旋转变换可得原来曲线 的方程 .试题解析：(I) ，设点 的坐标为 ，则绕点 逆时针方向旋转 角得到：即即（）设旋转前曲线 上的点为 ，旋转后得到的曲线 上的点为 ，则- 14 -解得：代入 得 即22.已知函数 .（1）当 时，求 的最大值、最小值以及取得最值时的 值；（2）设 ，若对于任意 ，都存在 ，使得成立，求实数 的取值范围.【答案】(I) ， ； ， ;（）【解析】试题分析：(1)化简函数的解析式可得 ， ； ， ;(2)利用题意讨论三角函数的性质可得实数 的取值范围为 .试题解析：(I)，综上所述： ， ； ，（） 即- 15 -因为对于任意 ，都存在 ，使得 成立
