1、12019 届重庆市西南大学附属中学校高三上学期第三次月考数学（文）试题注 意 事 项 ：1 答 题 前 ， 先 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 ， 并 将 准 考 证 号 条 形 码 粘 贴在 答 题 卡 上 的 指 定 位 置 。2 选 择 题 的 作 答 ： 每 小 题 选 出 答 案 后 ， 用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 ， 写在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。3 非 选 择 题 的 作 答 ： 用 签 字 笔 直 接 答
2、在 答 题 卡 上 对 应 的 答 题 区 域 内 。 写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。4 考 试 结 束 后 ， 请 将 本 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交 。一、单选题1复数 的共轭复数 在复平面中对应的点位于=1+2i A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2抛物线 的焦点坐标为=42A B C D(0 ， 14) (0 ， 116) (14 ， 0) (116 ， 0)3过抛物线 的焦点 作直线，交抛物线于 两点，若2=4 1(1 ， 1) ， 2(2 ， 2)，则1+2=6 | 12 |=A5 B6 C8
3、 D104抛物线 的焦点到双曲线 其中一条渐近线的距离为2=8223=1A B1 C D232 35若实数 满足约束条件 ，则 的最大值是 ， +10+2201 =2+A3 B7 C5 D16在等差数列 中， ，则 1+58=1 ， 92=5 5=A4 B5 C6 D77偶函数 在 上是增函数，且 ，则满足 的实数 的取值范()( ， 0 (1)=1 (23)1 围是A B C D(1 ， 2) (1 ， 0) (0 ， 1) (1 ， 1)8若 ，则 的取值范围为2+4=1 +2A B C D(0 ， 2 0 ， 2 2 ， +) ( ， 29已知函数 ( ，e 是自然对数的底数)在 处取得
4、极小值，()=(2)e+2 =0则 的极大值是()A B C D4e2 4e2 e2 e210如图，在直角梯形 中， ， 为 边上一点， ， 为 的=2=2 =3 中点，则 =A B13 23 23 +13 C D13 +23 23 13 11过双曲线 的左焦点 作圆 的切线，切点为 ，延长 交2222=1 ( ， 0) 2+2=2 双曲线右支于点 若线段 的中点为 ， 为坐标原点，则 与 的大小关系是 | | | A B| | |= | | |12已知函数 ，函数 零点的个数为()=(+1) ， 0 e ， 0) (1 ， 0) 22 ，设 中点分别为 ， ， ， (1) 求椭圆的标准方程；
5、(2)求以 为顶点的四边形的面积的取值范围； ， ， ， 21已知函数 ；()=122+(1)当 时， ，使 成立，求 的取值范围；0 ()0 (2)令 ，证明：对 ，恒有()=()(+1) ， (1 ， e 1 ， 21 ， | (1)(2) |1=(1)等价于 ，(|23|)(1)，|23|12由 得 ，（ ） =（ （ ） 12=0 （ （ ） =12则 ，有一个交点，（ ） =121则函数 的零点个数是 1 个，（ ） =（ （ ） 12=0故选：D【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用函数与方程的关系将条件转化为两个函数的交点问题是解决本题的关键13 25【解析】【分析】根据 即
6、可得出 y=-4，从而得出 | |=25【详解】 ；y=-4； | |=25故答案为 25【点睛】考查向量平行时坐标的关系，向量坐标的运算，属于基础题1412【解析】分析：先根据条件解出 再根据两角和正弦公式化简求结果.， ，详解：因为 ， ，所以+=1 +=0，(1)2+()2=1,=12,=12因此(+)=+=12122=141+2=141+14=12.点睛：三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；变换待求式
7、，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.15 2+1【解析】过点 作准线的垂线，垂足为 ，则由抛物线的定义可得： ， |=| ， ，则 ，|=|=|=1设 的倾斜角为 ，则 ， =1当 取得最大值时， 最小，此时直线 与抛物线相切， 设直线 的方程为 ，代入 ，可得 ，即 ， =1 2=4 2=4(1) 24+4=0 ，即 ， ，双曲线的实轴长为 ，=16216=0 =1 (2,1) =2(21)双曲线的离心率为 ，故答案为 .22(21)=2+1 2+1点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质，双曲线
8、的简单性质，有一定的难度；过点 作准线的垂线，垂足为 ，则由抛物线的定义结合 ，可得 ，设 的倾斜角为 ，当 |=|=1 取得最大值时， 最小，此时直线 与抛物线相切，求出 点坐标，利用双曲线的定义，即可 求出双曲线的离心率.16 （ 1,）【解析】【分析】先求导，利用 f（x）=0 时，x=0 或 x= ,讨论两个极值点与（-1，1）的关系，再根据导数23和函数的单调性最值的关系将极值与端点处函数值作比较得到 a 的范围.【详解】f（x）=x 3ax，f（x）=3x 22ax=x(3x-2a)，当 f（x）=0 时，x=0 或 x= ,23（1）当 （，1时，即 a 时，f(x)在（-1 ，
9、0）单调递减，在（0，1）单调递增，23 32此时 x=0 时 f（x）取得最小值，所以舍去.（2）当-1(1) 1(1) 0-1.故答案为 .（ 1,）【点睛】本题考查了导数和函数的最值的关系，运用分类讨论思想，考查了分析问题，解决问题的能力，属于中档题17（1） （2）=3 6【解析】【分析】（）利用正弦定理、诱导公式、两角和差的三角公式求出 cosA 的值，可得 A 的值（）利用余弦定理及基本不等式求得 a 的最小值【详解】解：(1) 中， ，=2由正弦定理知， ， ，=12 += ，=(+)=+ ，+=12 ，=12 ， =12 =3(2) 由 (1)及 得 ， =3 =6所以 2=2
10、+22=2+2626=6当且仅当 时取等号，所以 的最小值为= 6【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理、诱导公式、两角和差的三角公式的应用，属于中档题18（1） x2 或 3x4 y60（2）2x4y30，3510【解析】【分析】（1）C：x 2+y2+2x4y+3=0，化为标准方程，求出圆心 C，半径 r分类讨论，利用 C 到 l 的距离为 1，即可求直线 l 的方程；（2）设 P（x，y）由切线的性质可得：CMPM，利用|PM|=|PO|，可得 3x+4y12=0，求|PM|的最小值，即求|PO|的最小值，即求原点 O 到直线 2x4y+3=0 的距离【详解】解：(1) (1) x2 y
11、22 x4 y30 可化为( x1) 2( y2) 22，当直线 l 的斜率不存在时，其方程为 x2，易求直线 l 与圆 C 的交点为 A(2，1)， B(2，3)，| AB|2，符合题意；当直线 l 的斜率存在时，设其方程为 y k(x2)，即 kx y2 k0，则圆心 C 到直线 l 的距离 ，=| 2+2 |2+1 =1解得 ，=34所以直线 l 的方程为 3x4 y60综上，直线 l 的方程为 x2 或 3x4 y60(2) 如图， PM 为圆 C 的切线，连接 MC， PC，则 CM PM，所以 PMC 为直角三角形，所以| PM|2| PC|2| MC|2设 P(x， y)，由(1
12、)知 C(1，2)，| MC| ，2因为| PM| PO|，所以( x1) 2( y2) 22 x2 y2，化简得点 P 的轨迹方程为 2x4 y30求| PM|的最小值，即求| PO|的最小值，也即求原点 O 到直线 2x4 y30 的距离，代入点到直线的距离公式可求得| PM|的最小值为 .3510【点睛】本题考查直线方程，考查直线与圆的位置关系，考查了圆的切线的性质、勾股定理、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19(1) ；(2)2.=21【解析】试题分析：(1)由题意有 ，分类讨论可得：当 时， ，当 时，1+=2 =1 1=1 2，整理可得 ，据此可得 成等比数
13、列， .1=221 =21 =121=21(2)结合(1)中的结论有 ，结合等比数列前 n 项和公式可得1+1=13(12)1，即 ，据此可得关于 n 的方程 ，解方程131(12)1112 =()22()=23(222) (21)(2+3)=0可得 .=2试题解析：(1)因为 成等差数列，所以 ，1, 1+=2当 时， ，=1 1+1=211=1当 时， ，2 1+1=21则 ，则 ，即 ，1=221 =221 =21又 ， ，所以 成等比数列，所以 .101=2 =121=21（2）因为 ，1+1= 12+2+1=13(12)1又 ，所以 ，11+2+ 12+3+ 1+1=()2+1131
14、(12)1112 =()22所以 ，()=23(222)又 ，所以 ，()=23(222)=8 (21)(2+3)=0所以 ，所以 .2=4 =220(1) (2) 22+2=1 169 ， 2【解析】【分析】（）利用椭圆的离心率 ，以及 求出 a、b ，即可求椭圆的方程；=22 =1，（）当两条弦中一条斜率为 0 时，另一条弦的斜率不存在，直接求出面积当两弦斜率均存在且不为 0 时，设 A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），且设直线 AB 的方程为 y=k（x-1），与椭圆方程联立，利用韦达定理以及弦长公式，求出 AB，CD 即可求解面积的表达式，通过基本不等式求出面积的最值【详解】解
15、：(1) 由题意： ，=1 ， =22 ，=2 ， =1则椭圆的方程为22+2=1(2) 当两直线一条斜率不存在一条斜率为 0 时， =12| |=12222=2当两直线斜率存在且都不为 0 时，设直线 方程为 =(1) ， (1 ， 1) ， (2 ， 2)将其带入椭圆方程整理得： (1+22)242+222=01+2= 421+22 ， 12=2221+22|= 1+2|12|=22(2+1)1+22同理， |=22(2+1)2+2=12|=1222(2+1)1+22 22(2+1)2+2 = 4(2+1)224+2+52= 4(+1)22(+1)2+1，当 时，=2 22(+1)2+11
16、69,2)=1 =169综上所述四边形面积范围是169 ， 2【点睛】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，弦长公式的求法以及基本不等式的应用，是综合性比较强的题目21（1） ； （2）见解析.(,【解析】【分析】(1)先将存在性问题转化为求 最小值，再求导数，根据导函数零点以及导函数符号确定函()数单调性，进而确定最小值，最后解不等式得 的取值范围；（2）先根据恒成立问题将不等式转化为对应函数最值问题，即证 .构造差函数 ，利用导数可得 单(1)()0 ()02+0 的范围为 . (,（2）因为对 ， ，所以 在 内单调递减，1,()=(1)(1) 0 ()1,所以 .|(1)(2)|(1)()=12212要证明 ，只需证明 ，即证明 .|(1)(2)|0所以 在 是单调递增函数，()=1232(1,所以 ，故命题成立.()()=2132=(3)(+1)2 ()() 4 解得 1+3+33 2 3须 +32+33 2 解得 13综上， 的范围是 (1 ， 3)
