1、- 1 -第 82讲 期中期末串讲二次函数(二)题一： 已知关于 x的一元二次方程 kx2+(3k+1)x+2k+1=0(1)求证：该方程必有两个实数根；(2)若该方程只有整数根，求 k的整数值；(3)在(2)的条件下，在平面直角坐标系中，若二次函数 y=(k+1)x2+3x+m与 x轴有两个不同的交点A和 B(A在 B左侧)，并且满足 OA=2OB，求 m的非负整数值题二： 已知：关于 x的一元二次方程 mx2(3 m2) x+2m2=0(1)若方程有两个不相等的实 数根，求 m的取值范围；(2)在(1)的条件下，求证：无论 m取何值，抛物线 y=mx2(3 m2) x+2m2 总过 x轴上
2、的一个固定点；(3)若 m为正整数，且关于 x的一元二次方程 mx2(3 m2) x+2m2=0 有两个不相等的整数根，把抛物线 y=mx2(3 m2) x+2m2 向右平移 4个单位长度，求平移后的抛物线的解析式题三： 我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的 封闭图形称为“蛋圆” ，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线如图所示，点 A、 B、 C、 D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点 D的坐标为(0，3)， AB为半圆的直径，半圆圆心 M的坐标为(1，0)，半圆半径为 2(1)请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围；(2)你能求出经过点 C
3、的“蛋圆”切线的解析式吗？试试看；(3)开动脑筋想一想，相信你能求出经过点 D的“蛋圆”切线的解析式题四： 如图，在平面直角坐标系 xOy中， A、 B为 x轴上两点， C、 D为 y轴上的两点，经过点A、 C、 B的抛物线的一部分 C1与经过点 A、 D、 B的抛物线的一部分 C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线 成为“蛋线” 已知点 C的坐标为(0， 3)，点 M是抛物线C2： y=mx22 mx3 m(m0)的顶点(1)求 A、 B两点的坐标；(2)“蛋线”在第四象限上是否存在一点 P，使得 PBC的面积最大？若存在，求出 PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；- 2 -(3)
4、当 BDM为直角三角形时，求 m的值3第80讲 期中期末串讲二次函数(二)题 一： 见详解详解：(1)= b24 ac=(3k+1)24 k(2k+1)=(k+1)20，该方程必有两个实数根；(2)x= (31)()k= (31)(，即 1x， 21k，方程只有整数根， 2k应为整数，即 k应 为整数， k为 整数， k=1；(3)根据题意， k+10，即 k1， k=1，此时，二次函数为 y=2x2+3x+m，二次函数与 x轴有两个不同的交点 A和 B(A在 B左侧)，= b24 ac=3242 m=98 m0， m 98， m为非负 整数， m=0，1，当 m=0时，二次函数为 y=2x2
5、+3x，此时 A( 32，0)， B(0，0)，不满足 OA=2OB；当 m=1时，二次函数为 y=2x2+3x+1，此时 A(1，0)， B( 12，0)，满足 OA=2OB， m=1题二： 见详解详解：(1)关于 x的一元二次方程 mx2( 3m2) x+2m2=0，有两个不相等的实数根，=(3 m2) 24 m(2m2)= m24 m+4=(m2) 20， m0 且 m2，答： m的取值范围是 m0 且 m2(2)令 y=0得， mx2(3 m2) x+2m2=0， x1=1， 2，抛物线与 x轴的交点坐标为(1，0)，( ，0)，无论 m取何值，抛物线 y=mx2(3 m2) x+2m
6、2 总过 x轴上的定点(1，0)，即无论 m取何值，抛物线 y=mx2(3 m2) x+2m2 总过 x轴上的一个固定点；(3) x=1是整数，只需 是整数， m是正整数，且 m0， m2， m=1，当 m=1时，抛物线的解析式为 y=x2 x，把它的图象 向右平移 4个单位长度，即 y=(x4) 2( x4)， y=x29 x+20，答：平移后的抛物线的解析式为 y=x29 x+20题三： 见详解详解：(1)根据题意，可得 A(1，0)， B(3，0)，则设抛物线的解析式为 y=a(x+1)(x3)( a0)，又点 D(0，3)在抛物线上， a(0+1)(03)=3，解得 a=1， y=x2
7、2 x3，自变量范围1 x3；4(2)设经过点 C“蛋圆”的切线 CE交 x轴于点 E，连接 CM，在 Rt MOC中， OM=1， CM=2， CMO=60， OC= 3，在 Rt MCE中， MC=2， CMO=60， ME= 4，点 C、 E的坐标分别为(0， 3)，(3，0)，切线 CE的解析式为 yx；(3)设过点 D(0，3)， “蛋圆”切线的解析式为 y=kx3( k0)，由题意，可知方程组 23kyx只有一组解，即 kx3= x22 x3 有两个相等实根， k=2，过点 D“蛋圆”切线的解析式 y=2 x3题四： 见详解详解：(1) y=mx22 mx3 m=m(x3)( x+
8、1)， m0，当 y=0时， x1=1， x2=3， A(1，0)， B(3，0)；(2)设 C1： y=ax2+bx+c，将 A、 B、 C三点的坐标代入得：0932abc，解得 132abc，故 C1的解析式为 y= 2x2 x 3如图，过点 P作 PQ y轴，交 BC于 Q，5由 B、 C的坐标可得直线 BC的解析式为 y= 12x 3，设 P(x， 12x2 x 3)，则 Q(x， x )， PQ= x ( x2 x )= 12x2+ 3x， PBC的面积为 1POB= ( x2+ x)3= 34(x 2)2+ 716，当 x= 32时， PBC的面积有最大值，最大值为 716，则 1
9、( )2 3= 158， P( 32， 58)；(3)y=mx22 mx3 m=m(x1) 24 m，顶点 M坐标(1，4 m)，当 x=0时， y=3 m， D(0，3 m)， B(3，0)， DM2=(01) 2+(3 m+4m)2=m2+1，MB2=(31) 2+(0+4m)2=16m2+4，BD2=(30) 2+(0+3m)2=9m2+9，当 BDM为直角三角形时，有 DM2+BD2=MB2或 DM2+MB2=BD2， DM2+BD2=MB2时有： m2+1+9m2+9=16m2+4，解得 m=1， m0， m=1(舍去)； DM2+MB2=BD2时，有 m2+1+16m2+4=9m2+9，解得 m= ， m= (舍去)综上， m=1 或 时， BDM为直角三角形
