1、第四讲 转化与化归思想,微题型一 特殊与一般的转化 【典例1】(1)设四边形ABCD为平行四边形 , 若点M,N满足 ( ) A.20 B.15 C.9 D.6,(2)已知数列xn满足xn+3=xn,xn+2=|xn+1-xn|(nN*),若x1=1,x2=a(a1,a0),则数列xn的前2 019项和 S2 019=_.,【思路点拨】,【解析】(1)选C.方法一:(特例法)若四边形ABCD为矩形,建系如图.,知M(6,3),N(4,4),所以 =(6,3), =(2,-1),=62+3(-1)=9.,方法二:(常规法)如图所示,由题设知:,(2)根据题意, 可得x3=|x2-x1|=|a-1
2、1-a(a1,a0), 则x1+x2+x3=2. 又因为xn+3=xn,所以x4=x1,x5=x2,x6=x3, 即x4+x5+x6=x1+x2+x3=2.,同理,x7+x8+x9=2,x10+x11+x12=2,而2 019=6733,则S2 019=2673=1 346. 答案:1 346,【方法点睛】化一般为特殊的应用 (1)常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等. (2)对于选择题,当题设在普通条件下都成立时,用特殊值进行探求,可快捷得到答案.,(3)对于填空题,当填空题的结论唯一或题设条件提供的信息暗示答案是一个定值时,可以把题中变化的量用特殊值代
3、替,即可得到答案.,【跟踪训练】 1.(2018沈阳二模)在ABC中,点M,N满足 则x=_,y=_.,【解析】不妨设ACAB,且AB=4,AC=3,以点A为坐标原点,AB,AC所在直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,如图,则A(0,0),B(4,0),C(0,3),M(0,2), 所以 可得 =x(4,0)+y(0,3),=(4x,3y),则有答案:,微题型二 函数、方程、不等式之间的转化 【典例2】(1)在等差数列an中,a2,a2 018是函数 f(x)=x3-6x2+4x-1的两个不同的极值点,则 的值为 ( ),(2)已知函数f(x)=3e|x|.若存在实数t-1,+),使得对任
4、意的x1,m,mZ且m1,都有f(x+t)3ex,则m的最大值为_. 世纪金榜导学号,【思路点拨】,【解析】(1)选B.f (x)=3x2-12x+4, 因为a2,a2 018是函数f(x)=x3-6x2+4x-1的两个不同的极值点,所以a2,a2 018是方程3x2-12x+4=0的两个不等实数根,所以a2+a2 018=4.又因为数列an为等差数列,所以a2+ a2 018=2a1 010,即a1 010=2, 从而 =,(2)因为当t-1,+)且x1,m时,x+t0, 所以f(x+t)3exex+text1+ln x-x. 所以原命题等价转化为:存在实数t-1,+),使得不等式t1+ln
5、 x-x对任意x1,m恒成立. 令h(x)=1+ln x-x(x1). 因为h(x)= -10,所以函数h(x)在1,+)上为减函数, 又因为x1,m,所以h(x)min=h(m)=1+ln m-m. 所以要使得对任意x1,m,t值恒存在, 只需1+ln m-m-1. 因为,且函数h(x)在1,+)上为减函数,所以满足条件的最大整数m的值为3. 答案:3,【方法点睛】函数、方程与不等式相互转化的应用 (1)函数与方程、不等式联系密切,解决方程、不等式的问题需要函数帮助.,(2)解决函数的问题需要方程、不等式的帮助,因此借助函数与方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简,一般可将不等关系转化
6、为最值(值域)问题,从而求出参变量的范围.,【跟踪训练】 2.(2018保定一模)已知e为自然对数的底数,若对任 意 总存在唯一的y-1,1,使得ln x-x+1+a =y2ey成立,则实数a的取值范围是 ( ),【解析】选B.设f(x)=ln x-x+1+a,当 时, f(x)= ,f(x)是增函数,所以 时,设g(y)=y2ey,则g(y)=eyy(y+2),则g(y)在-1,0)上单 调递减,在0,1上单调递增,且g(-1)= g(1)=e.,因为对任意的 存在唯一的y-1,1,使得 f(x)=g(y)成立,所以,微题型三 正难则反的转化 【典例3】(1)(2018太原一模)由命题“存在
7、x0R,使 ”是假命题,得m的取值范围是(-,a),则实数a的取值是 ( ) A.(-,1) B.(-,2) C.1 D.2,(2)若对于任意t1,2,函数 在 区间(t,3)上总不为单调函数,则实数m的取值范围是 _.,【思路点拨】,【解析】(1)选C.命题“存在x0R,使 ”是 假命题,可知它的否定形式“任意xR,使e|x-1|-m0” 是真命题,可得m的取值范围是(-,1),而(-,a)与 (-,1)为同一区间,故a=1.,(2)g(x)=3x2+(m+4)x-2, 若g(x)在区间(t,3)上总为单调函数, 则g(x)0在(t,3)上恒成立, 或g(x)0在(t,3)上恒成立 (正反转
8、化).,由得3x2+(m+4)x-20,即m+4 -3x, 当x(t,3)时恒成立,所以m+4 -3t恒成立, 则m+4-1,即m-5;,由得3x2+(m+4)x-20,即m+4 -3x, 当x(t,3)时恒成立,则m+4 -9,即m- . 所以函数g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数的m的取 值范围为 答案:,【方法点睛】正与反的转化要点 正与反的转化,体现“正难则反”的原则,先从反面求解,再取反面答案的补集即可.一般地,题目若出现多种成立的情形,则不成立的情形相对很少,从反面考虑较简单.因此,间接法多用于含有“至多”“至少”及否定性命题情形的问题中.,【跟踪训练】 3.若二次函数f(x
9、)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在区间-1,1内至少存在一个值c,使得f(c)0,则实数p的取值范围为_. 世纪金榜导学号,【解析】如果在区间-1,1内没有值满足f(c)0,则取补集为-3p ,即为满足条件的p的取值范围. 故实数p的取值范围为 答案:,微题型四 主与次的相互转化 【典例4】(1)若不等式x2-ax+10对一切x-2,2恒成立,则a的取值范围为 ( ) A.(-,-2 B.-2,2 C.(0,2 D.2,+),(2)设y=(log2x)2+(t-2)log2x-t+1,若t-2,2时恒取正值,则x的取值范围是_.,【思路点拨】,【解析】(1)选B.因为x-2,2, 当
10、x=0时,原式为02-a0+10恒成立,此时aR; 当x(0,2时,原不等式可化为 当且仅当x=1时等号成立,所以a的取值范围是(-,2;,当x-2,0)时,可得由函数的单调性可知,f(x)max=f(-1)=-2, 所以a-2,+). 综上可知,a的取值范围是-2,2.,(2)设y=f(t)=(log2 x-1)t+(log2x)2-2log2 x+1, 则f(t)是一次函数,当t-2,2时,f(t)0恒成立,解得log2 x3. 即08,故x的取值范围是 (8,+).,答案: (8,+),【方法点睛】主与次的转化要点 在处理多变元的数学问题时,我们可以选取其中的常数(或参数),将其看作是“主元”,而把其他变元看作是常量,从而达到减少变元简化运算的目的.通常给出哪个“元”的取值范围就将哪个“元”视为“主元”.,【跟踪训练】 4.已知函数f(x)=x3+3ax-1,g(x)=f(x)-ax-5,其中f(x)是f(x)的导函数.对满足-1a1的一切a的值,都有g(x)0,则实数x的取值范围为_.,【解析】由题意,知g(x)=3x2-ax+3a-5, 令(a)=(3-x)a+3x2-5(-1a1).(主次转化) 对-1a1,恒有g(x)0,即(a)0,故当 时,对满足-1a1的一切a的值,都有g(x)0. 答案:,
