1、2.6 对数与对数函数,-2-,知识梳理,考点自诊,1.对数的概念 (1)根据下图的提示填写与对数有关的概念:(2)a的取值范围 .,指数,对数,幂,真数,底数,a0,且a1,-3-,知识梳理,考点自诊,logaM+logaN,logaM-logaN,-4-,知识梳理,考点自诊,4.对数函数的图像与性质,(0,+),(1,0),增函数,减函数,-5-,知识梳理,考点自诊,5.反函数 指数函数y=ax(a0,且a1)与对数函数 (a0,且a1)互为反函数,它们的图像关于直线 对称.,y=logax,y=x,-6-,知识梳理,考点自诊,1.对数的性质(a0,且a1,M0,b0) (1)loga1=
2、0; (2)logaa=1; (3)logaMn=nlogaM(nR);,2.换底公式的推论 (1)logablogba=1,即logab= (2)logablogbclogcd=logad. 3.对数函数的图像与底数大小的比较 如图,直线y=1与四个函数图像交点的横坐标即为相应的底数. 结合图像知0cd1ab.由此我们可以得到下面的规律:在第一象限内,从左到右底数逐渐增大.,-7-,知识梳理,考点自诊,-8-,知识梳理,考点自诊,2.(2018四川成都三模,5)已知实数a=2ln 2,b=2+ln 2,c=(ln 2)2,则a,b,c的大小关系是( ) A.abc B.bca C.cab D
3、.cba,C,解析:a=2ln 2(1,2),b=2+ln 22,c=(ln 2)21,cab.,3.(2018全国1,文13)已知函数f(x)=log2(x2+a),若f(3)=1,则a= .,-7,解析:因为f(3)=log2(9+a)=1,所以9+a=2,即a=-7.,4.(2018上海,4)设常数aR,函数f(x)=log2(x+a),若f(x)的反函数的图像经过点(3,1),则a= .,7,解析:由题意可知f(x)的图像经过点(1,3),则有log2(1+a)=3,所以a=7.,-9-,知识梳理,考点自诊,-2,g(x)+g(-x)=ln(1+x2-x2)=0,g(x)为奇函数. f
4、(x)=g(x)+1. f(a)+f(-a)=g(a)+1+g(-a)+1=2. f(-a)=-2.,-10-,考点1,考点2,考点3,对数式的化简与求值 例1化简下列各式:,思考对数运算的一般思路是什么?,-11-,考点1,考点2,考点3,解题心得对数运算的一般思路: (1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后正用对数运算性质化简合并. (2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.,-12-,考点1,考点2,考点3,D,4,-13-,考点1,考点2,考点3,对数函数的图像及其应用,B
5、,-14-,考点1,考点2,考点3,-15-,考点1,考点2,考点3,(2)函数f(x)的图像如图所示,令y=5-mx,则直线y=5-mx过点(0,5),-16-,考点1,考点2,考点3,思考应用对数型函数的图像主要解决哪些问题? 解题心得应用对数型函数的图像可求解的问题: (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题,利用数形结合法求解.,-17-,考点1,考点2,考点3,D,A,-18-,考点1,考点2,考点3,设曲线y=x2-2x在x=0处的切线l
6、的斜率为k,由y=2x-2,可知k=y|x=0=-2. 要使|f(x)|ax,则直线y=ax的倾斜角要大于等于直线l的倾斜角,小于等于,即a的取值范围是-2,0.,-19-,考点1,考点2,考点3,-20-,考点1,考点2,考点3,对数函数的性质及其应用(多考向) 考向1 比较含对数的函数值的大小例3(2018天津,文5)已知 ,则a,b,c的大小关系为( ) A.abc B.bac C.cba D.cab 思考如何比较两个含对数的函数值大小?,D,-21-,考点1,考点2,考点3,考向2 解含对数的函数不等式,B,思考如何解简单对数不等式?,-22-,考点1,考点2,考点3,考向3 对数型函
7、数的综合问题,A.(-1,3) B.-1,3 C.(-,-13,+) D.(-,-1)(3,+),B,-23-,考点1,考点2,考点3,-24-,考点1,考点2,考点3,思考如何理解若存在实数a,使得f(x)+g(b)=2成立?若知f(x)的范围能否得到关于b的不等式关系? 解题心得1.比较含对数的函数值的大小,首先应确定对应函数的单调性,然后比较含对数的自变量的大小,同底数的可借助函数的单调性;底数不同、真数相同的可以借助函数的图像;底数、真数均不同的可借助中间值(0或1). 2.解简单对数不等式,先统一底数,再利用函数的单调性,要注意对底数a的分类讨论. 3.在判断对数型复合函数的单调性时
8、,一定要明确底数a对增减性的影响,以及真数必须为正的限制条件.,-25-,考点1,考点2,考点3,A.abc B.bca C.cab D.bac,A.(-1,0)(0,1) B.(-,-1)(1,+) C.(-1,0)(1,+) D.(-,-1)(0,1) (3)已知函数f(x)=ax+logax(a0,a1)在1,2上的最大值与最小值之和为loga2+6,则a的值为 .,A,C,2,-26-,考点1,考点2,考点3,(3)显然函数y=ax与y=logax在1,2上的单调性相同,因此函数f(x) =ax+logax在1,2上的最大值与最小值之和为f(1)+f(2)=(a+loga1)+ (a2
9、+loga2)=a+a2+loga2=loga2+6,故a+a2=6,解得a=2或a=-3(舍去).,-27-,数学核心素养例释逻辑推理 1.逻辑推理的概念:是指从一些事实和命题出发,依据逻辑规则推出一个命题的思维过程.主要包括两类:一类是从特殊到一般的推理,推理形式主要有归纳、类比;一类是从一般到特殊的推理,推理形式主要有演绎. 2.逻辑推理的作用:逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式,是数学严谨性的基本保证,是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质.,-28-,典例1(2013全国2,理8)设a=log36,b=log510,c=log714,则( ) A.cba B.bca C
10、.acb D.abc 答案:D 解析:(法一)a=log36=1+log32,b=log510=1+log52, c=log714=1+log72, 由右图可知D正确.,-29-,评析:解法一中先对a,b,c进行变形,判断大小的前提是函数的图像;解法二中先对a,b,c进行变形,判断大小的前提是函数y=log2x在(0,+)上为增函数.,-30-,典例2(2016全国乙,理8)若ab1,0c1,则 ( ) A.acbc B.abcbac C.alogbcblogac D.logaclogbc 答案:C,评析:本例中判断不等式成立的前提是函数的单调性.,-31-,典例3(2017全国1,理11)设
11、x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则( ) A.2x3y5z B.5z2x3y C.3y5z2x D.3y2x5z 答案:D 解析:由2x=3y=5z,同时取自然对数,得xln 2=yln 3=zln 5.,可得2x5z;所以3y2x5z,故选D. 评析:本例中的每步运算都属于演绎推理,即由大前提、小前提,然后推出结论.,-32-,典例4(2018全国3,理12)设a=log0.20.3,b=log20.3,则( ) A.a+b0,b=log20.30,ab0.,而lg 2-10, a+b0.,aba+b.故选B. 评析:对已知条件进行变形,使这符合推理的条件,这是进行逻辑推理所必须的要求
12、.,-33-,1.多个对数函数图像比较底数大小的问题,可通过图像与直线y=1交点的横坐标进行判定. 2.研究对数型函数的图像时,一般从最基本的对数函数的图像入手,通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地,要注意底数a1和0a1的两种不同情况.有些复杂的问题,借助于函数图像来解决,就变得简单了,这是数形结合思想的重要体现. 3.利用对数函数单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题,其基本方法是“同底法”,即把不同底的对数式化为同底的对数式,然后根据单调性来解决.,-34-,1.在运算性质logaMn=nlogaM中,要特别注意M0的条件,当nN+,且n为偶数时,在无M0的条件下应为logaMn=nloga|M|. 2.解决与对数函数有关的问题时需注意两点: (1)定义域优先的原则. (2)要有分类讨论的意识.,
