1、1北京师大附中 20182019 学年（上）高三期中考试数学（理）试卷一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.若集合 ， ，则 （）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意，先求出集合 ， ，再根据集合的交集的运算，即可求解.【详解】由题意，集合 ， ，则 ，故选 C.【点睛】本题主要考查了集合的交集的运算问题，其中解答中正确求解集合 ，再根据集合的交集的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.已知为虚数单位，则复数 = （）A. B. C. D. 1+i 1i 1+i 1i【答案】A【
2、解析】【分析】根据复数的除法运算，即可求解，得到答案.【详解】由复数的运算，可得复数 ，故选 A.2i1+i= 2i(1i)(1+i)(1+i)=1+i【点睛】本题主要考查了复数的基本运算，其中解答中熟记的除法运算方法，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3.在极坐标系中，曲线 是（ ）=2cosA. 过极点的直线 B. 半径为 2 的圆C. 关于极点对称的图形 D. 关于极轴对称的图形【答案】D2【解析】试题分析： ,表示圆心为 半径为 1=2cos2=2cosx2+y2=2x(x1)2+y2=1 (1,0),的圆，关于极轴对称的图形，所以选 D.考点：极坐标4.“
3、”是“ ”的（ ）=6+2k(kZ) cos2=12A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：若 ，则 ，所以“ ”cos2=12 =6+2k(kZ)是“ ”的充分而不必要条件。cos2=12考点：本题考查充分必要充要条件；三角函数求值。点评：熟练掌握充分必要充要条件的判断。此题为基础题型。视频5.若偶函数 满足 且 时, 则方程 的根的f(x) (xR) f(x+2)=f(x) x0,1 f(x)=x, f(x)=log3|x|个数是( )A. 2 个 B. 4 个 C. 3 个 D. 多于 4 个【答案】B【解析
4、】【分析】在同一坐标系中画出函数 和函数 的图象，这两个函数的图象的焦点个数，y=f(x) y=log3|x|即为所求.【详解】因为偶函数 满足 ，所以函数的周期为 2，f(x) f(x+2)=f(x)又当 时， ，故当 时， ，x0,1 f(x)=x x1,0) f(x)=x则方程 的根的个数，等价于函数 和函数 的图象的交点个数，f(x)=log3|x| y=f(x) y=log3|x|在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图所示，可得两函数的图象有 4 个交点，3即方程 有 4 个根，故选 B.f(x)=log3|x|【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用问题，即根的存在性及根的个数的
5、判定，其中解答中把方程 的根的f(x)=log3|x|个数，转化为函数 和函数 的图象的交点个数，在同一坐标系中作出两个函y=f(x) y=log3|x|数的图象，结合图象求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力6.在平面直角坐标系中，角 的顶点在原点，始边在 轴的正半轴上，角 的终边经过点 （ x M， ） ，且 ，则 （）cos8 sin8 00 x12， 2使得 ，则实数 的取值范围是（）x22， 2 f(x1)=g(x2) m4A. B. C. D. 3e2, 13 e2, +) 13, e2 13, +)【答案】B【解析】【分析】由题意，可得 在 的值域包含于函数 的值域
6、，运用导数和函数的单调性和值域，f(x) 2,2 g(x)即可求解.【详解】由题意，函数 的导数为 ，f(x)=ex(x1) f(x)=xex当 时， ，则函数 为单调递增；x0 f(x)0 f(x)当 时， ，则函数 为单调递减，x0) 2,2 g(x) 3m,m由对于任意的 ，总存在 ，使得 ，x12,2 x22,2 f(x1)=g(x2)可得 ，即为 ，解得 ，故选 B.1,e23m,m 3m1me2 me2【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，以及导数在函数中的应用，其中解答中转化为 在 的值域包含于函数 的值域，运用导数和函数的单调性和值域是解答f(x) 2,2 g(x)的关键
7、，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.8.已知在直角三角形 中， 为直角， ， ，若 是 边上的高，点 在ABC A AB=1 BC=2 AMBC P内部或边界上运动，则 的取值范围是（）ABC AMBPA. B. C. D. 1,0 12,0 34,12 34,0【答案】D【解析】5如图，由 可得 AB=1，BC=2， AC= 3，以 所在直线为 轴，以 所在直线为 轴，建立平面直角坐标系，AB x AC y则 直线 方程为 ，则直线 AM 方程为 B（1，0），C（0，3）， BC x+y3=1 y=33x，联立，解得： 由图可知，当 在线段 上时， 有最
8、大值为 0，当 在线M（34，34）， P BC AMBP P段 上时， 有最小值，设AC AMBPP（0，y）（0y3），AMBP=（34，34）（1，y）=34+34y34 的范围是 ，0AMBP -34故选 D【点睛】本题考查平面向量的数量积运算，数量积的坐标运算，以及数形结合的思想方法，其中建立平面直角坐标系并利用数形结合的思想是解答该题的关键二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。9.等比数列 的前 n 项和为 ，且 4 ，2 ， 成等差数列 . 若 =1，则 _.an Sn a1 a2 a3 a1 S3=【答案】7 ；【解析】【分析】由题意，设等比数列 的公比为 ，由
9、 4 ，2 ， 成等差数列，求得 ，进而求解数an q a1 a2 a3 q=2列的和.【详解】由题意，设等比数列 的公比为 ，因为 4 ， 2 ， 成等差数列，an q a1 a2 a3即 ，则 ，4a2=4a1+a3 4a1q=4a1+a1q2又由 =1，所以 ，解得 ，a1 q24q+4=0 q=2所以 .S3=a1+a1q+a1q2=1+2+4=76【点睛】本题主要考查了等差数列的中项公式和等比数列的前 n 项和公式的应用，其中根据等差数列和等比数列的基本量的运算，列出方程求解等比数列的公比是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力.10.设函数 则 _；函数 的极小值是_.f(x)=
10、x+1x,x0,x24x,x0 f(x)=x+1x，f(x)=11x2，得 ， （负值舍去） ，因此当 时， ；当 时， ；从f(x)=0 x=1 x(0,1) f(x)0而函数 在 取极小值为 2；当 时， ，因此当 时， 单调f(x) x=1 x0)的部分图象如图所示，则 _ （请写出符合题意的一个值）=【答案】3【解析】【分析】由题意，根据三角函数的图象变换，得到函数 ，结合给定的函数的图象得g(x)=sin(2x2)，列出方程即可求解.f(8)=g(1724)【详解】由题意，函数 的图象向右平移 个单位，得到 ，f(x)=sin2x g(x)=sin(2x2)结合给定的函数的图象可知，
11、 ，即 ，f(8)=g(1724) sin(217142)=228可得 ，即 ，17122=34+2k,kZ =3k,kZ当 时， .k=0 =3【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中根据三角函数图象变换得到函数 的解析式，再结合图象，得到相应的关系式是解答g(x)的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.14.已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，其中 f(x) R x0 f(x)=x22ax+a aR _；f(12)=若 的值域是 ，则的取值范围是_f(x) R【答案】 (1). (2). 14 (,01,+)【解析】【分析】
12、利用奇函数的定义，计算即可得到所求的值；由 的图象关于原点对称，以及二次函数的图象与 轴的交点，由判别式不小于 0，解f(x) x不等式即可得到答案.【详解】由题意，函数 是定义在 R 上的奇函数，当 时， ，f(x) x0 f(x)=x22ax+a则 ；f(12)=f(12)=(12)22a12+a=14若函数 的值域为 R，f(x)由函数的图象关于原点对称，可得当 时，函数 的图象与 轴有交点，则x0 f(x)=x22ax+a x，解得 或 ，=(2a)24a0 a0 a1即实数的取值范围是 .(,01,+)【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，及函数的值域的应用，其中解答中根据函数的
13、奇偶性和合理利用二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。15.已知函数 .f(x)= 3sin(2x+6)2sinxcosx+1（）求函数 的单调递增区间；f(x)9（）当 时，求函数 的最大值和最小值.x4, 4 f(x)【答案】 （） ；（）见解析.k512 , k+12 ,kZ【解析】【分析】（）由题意 ，根据三角函数的图象与性质，即可求解；f(x)=sin(2x+3)+1（）由题意 ，得 ，利用三角函数的性质，即可求解 .x4, 4 2x+3
14、6, 56【详解】 （） f(x)= 3(32sin2x+12cos2x)-sin2x+1=12sin2x+32cos2x+1 =sin(2x+3)+1由 ，得 ，2k-22x+32k+2 k-512xk+12所以，函数 的单调递增区间是 ；f(x) k-512 , k+12 ,kZ（） ，f(x)=sin(2x+3)+1由 ，得 ，x-4, 4 2x+3-6, 56当 ，即 时， 有最大值 ；2x+3=2 x=12 f(x) f(12)=1+1=2当 ，即 时， 有最大值 ；2x+3=-6 x=-4 f(x) f(-4)=-12+1=12【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，此类题目是
15、三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于忽视函数的定义域导致错解，试题难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.16.设等差数列 的前 项和为 ，已知 ， .an n Sn a8=4 a13=14（）求数列 的通项公式；an（）求 的最小值及相应的 n 的值；Sn（）在公比为 的等比数列 中， ， ，q (q1) bn b2=a8 b1+b2+b3=a13求 .q+q4+q7+q3n+4【答案】 （） ;（）见解析. （） .an=2n12 27(23n+61)10【解析】【分析】（）设等差
16、数列 的首项为 ，公差为 ，根据题意，求得 的值，即可求解.an a1 d a1,d（）由（） ，令 ，即 ，解得 ，得到当 时， ； ；an0 2n120 n6 n5 an0（）依题意，列出方程，求得 ，得到数列是以 2 为首项，8 为公比的等比数列，即q=2可求解.【详解】 （）设等差数列 的首项为 ，公差为 ，an a1 d由已知可得 ， ， a1+7d=4 a1+12d=14解得 ， . d=2 a1=-10所以 . an=-10+2(n-1)=2n-12 （）令 ，即 ，解得 ， an0 2n-120 n6所以，当 时， ； ； 时 .n=1,2,3,4,5 an0所以，当 或 时，
17、 最小，n=5 n=6 Sn. S5=S6=52(a1+a5)=52(-10-2)=-30 （）依题意， ， ，b1q=4 b1+b1q+b1q2=14即 ， ，消去 ，得 ，b1q=4 b1+4q=10 b1 2q2-5q+2=0解得 或 （舍） ， q=2 q=12当 时，所求数列是以 2 为首项，8 为公比的等比数列，q=2所以， ；q+q4+q7+q3n+4=27(23n+6-1)【点睛】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的“错位相减法” ，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后
18、求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.17.在锐角 中， ， ，分别为内角 ， ， 所对的边，且满足 ABC b A B C 3a2bsinA=011（）求角 的大小；B（）若 ， ，求 的面积a+c=5 b= 7 ABC【答案】(1) ；（2）B=3 SABC=12acsinB=332【解析】本试题主要是考核擦了解三角形的运用。（）利用正弦定理化简已知的等式，根据 sinA 不为 0，可得出 sinB 的值，由 B 为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出 B 的度数；（）由 b 及 cosB 的值，利用余弦定理列出关于 a 与 c 的关系式
19、，利用完全平方公式变形后，将 a+c 的值代入，求出 ac 的值，将 a+c=5 与 ac=6 联立，并根据 a 大于 c，求出 a 与c 的值，再由 a，b 及 c 的值，利用余弦定理求出 cosA 的值，将 b，c 及 cosA 的值代入即可求出值解：(1) 3a=2bsinA由正弦定理得 所以3sinA=2sinBsinA sinB=32因为三角形 ABC 为锐角三角形，所以 B=3（2）由余弦定理 得b2=a2+c22accosB a2+c2ac=7所以a+c=5 ac=6所以 SABC=12acsinB=33218.已知函数 .f(x)=12ax2+lnx（）当 时，求函数 在 处的
20、切线方程；a=1 f(x) x=1（）求函数 的单调区间；f(x)（）求证：当 时，函数 的图像与函数 的图像在区间 上没有交点.a=1 f(x) g(x)=23x3 1, +)【答案】 （） ；（）见解析；（）见解析.y=2x32【解析】【分析】（）当 时，求得函数的导数，得到切线的斜率，利用直线的点斜式方程，即可求解；a=1（）由题意，求得 ，利用导数即可求解函数的单调区间.f(x)12（）令 ，利用导数得到函数的单调性和最值，即可作出证明.h(x)=g(x)f(x)=23x312x2lnx【详解】 （）当 时，函数 在 处的切线方程是 ；a=1 f(x) x=1 y=2x-32（） ，f
21、(x)=ax+1x当 时，函数 的单调增区间是 ；a0 f(x) (0,+)当 时，函数 的单调增区间是 ，单调减区间是 ；a0 h(x)0【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.19.已知函数 在 处的切线与直线 平行.f(x)=lnxx+a x=1 y=12x（）求实数的值；
22、（）如果函数 在区间 上有两个零点，求实数 的取值范围；g(x)=(x+1)f(x)mx 1e , e2 m（）求证：函数 有极大值，而且 的极大值小于 1.f(x) f(x)【答案】 （） ；（） ；（）见解析.a=1 m2e2, 1e)【解析】【分析】（）求得 ，又由函数 在 处的切线与直线 平行，得 ，即可求解.f(x) f(x) x=1 y=12x f(1)=12（）利用导数，求得函数的单调性与极值，使得函数 在区间 上有两个零点，即g(x) 1e , e2可求解.（）令 ，求得 ，得函数 在 上单调递减，g(x)=1+1xlnx g(x) g(x) (0, +)， ，得到存在唯一的
23、，进而求得函数的单调性和最值，即可求解.g(1)0 g(e2)0，所以存在唯一的 ，当 时， ，当 时，g(e2)=1e2-10 x(x0 , +)，所以函数 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ，其中f(x)0 f(x) (0, x0) (x0 , +)，所以函数 有极大值.x0(1 , e2) f(x)函数 的极大值是 ，由 ，得 ，f(x) f(x0)=lnx0x0+1 f(x0)=0 1+1x0-lnx0=0所以 ，因为 ，所以 ，即 ，f(x0)=lnx0x0+1=1+1x0x0+1=1x0 x0(1 , e2) 1x01 f(x0)1所以， 的极大值小于 1.f(x)【点睛】本题主
24、要考查了导数的综合应用，以及导数的利用导数研究函数的恒成立与有解问题，利用导数研究不等式恒成立或解不等式问题，通常首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题20.已知数集 具有性质 :对任意的 ,A=a1,a2,.,an(1=a1a2.an,n2) P k(2kn),使得 成立.i,j(1ijn) ak=ai+aj（）分别判断数集 与 是否具有性质 ,并说明理由;1,3,4 1,2,3,6 P（）求证 ;an2a1+a2+.+an1(n2)（）若 ,求数集 中所有元素的和的最小值.
25、an=72 A【答案】 （1）具有（2）见解析（3）最小值为 14714【解析】试题分析：（1）利用性质 的含义及特例可判断数集 不具有性质 ，数集 具有性P 1,3,4 P 1,2,3,6质 （2）数集 具有性质 可得 ， ， ， ，P A P an-12an-2 an-22an-3 a32a2 a22a1将上述不等式相加得 ，化简得a2+an-1+an2(a1+a2+an-1)，即为所求 （3）由 及性质 可得 ，从而易知数集an2a1+a2+an-1 a1=1 P a2=2a1=2的元素都是整数，构造 或者 ，此时元素和A A=1,2,3,6,7,18,36,72 A=1,2,4,5,9
26、,18,36,72为 ，然后再证明 是最小的和147 147试题解析：（ ） ，1 31+1数集 不具有性质 1,3,4 P ， ， ，2=1+1 3=1+2 6=3+3数集 具有性质 1,2,3,6 P（ ）集合 具有性质 即对任意的 ， ， 使得2 A=a1,a2,an P: k(2kn) i j(1ijn)成立，ak=aj+ai又 ， ，1=a1a2an n2 ， ，aiak ajak ， ，aiak-1 ajak-1 ，ak=ai+aj2ak-1即 ， ， ， ，an-12an-2 an-22an-3 a32a2 a22a1将上述不等式相加得 ，a2+an-1+an2(a1+a2+an
27、-1)化简得 an2a1+a2+an-1（ ）最小值为 3 147首先注意到 ，根据性质 ，得到 ，a1=1 P a2=2a1=2所以易知数集 的元素都是整数，A构造 或者 ，这两个集合具有性质 ，此时元素A=1,2,3,6,7,18,36,72 A=1,2,4,5,9,18,36,72 P15和为 147下面，证明 是最小的和147假设数集 ，满足 最小（存在性显然，A=a1,a2,an(a1a2an,n2) S=ni=1ai147因为满足 的数集 只有有限个） ni=1ai147 A第一步：首先说明集合 中至少有 个元素：A=a1,a2,an(a1a2an,n2) 8由（ ）可知， ， ，
28、 ，2 a22a1 a32a2 又 ，a1=1 ， ， ， ， ， ，a22 a34 an8 a516a632a76472 n8第二步：证明 ， ， ，an-1=36an-2=18an-3=9若 ，设 ，36A at=36 ，为了使 最小，an=72=36+36 S=ni=1ai在集合 中一定不含有元素 ，使得 ，A ak 36ak72从而 ；an-1=36若 ，根据性质 ，对 ，有 ， ，使得 ，36A P an=72 ai aj an=72=ai+aj显然 ，aiaj ，此时集合 中至少有 个不同于 ， ， 的元素，从而 ，矛盾， ，进而， ，且 同理可证：若 ，则 假设 ， ，根据性质 ，有 ， ，使得 ，16显然 ， ，此时集合 中至少还有 个不同于 ， ， ， 的元素，从而 ，矛盾， ，且 ，同理可证：若 ，则 假设 ， ，根据性质 ，有 ， ，使得 ，显然 ， ，此时集合 中至少还有 个不同于 ， ， ， ， 的元素，从而 ，矛盾， ，且 至此，我们得到 ， ， ， ， ，根据性质 ，有 ， ，使得 ，我们需要考虑如下几种情形： ， ，此时集合中至少还需要一个大于等于 的元素 ，才能得到元素 ，则； ， ，此时集合中至少还需要一个大于 的元素 ，才能得到元素 ，则 ； ， ，此时集合 ， ； ， ，此时集合 ， 综上所述，若 ，则数集 中所有元素的和的最小值是
