1、核心母题三 动点、存在性、距离、面积问题,【核心母题】 如图1，已知抛物线yx2bxc与x轴交于A(1，0)， B(3，0)两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内 的一个动点，且点P的横坐标为t. (1)求抛物线的解析式；,(2)设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D.在直线l上是 否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出 点M的坐标；若不存在，请说明理由 (3)如图2，连接BC，PB，PC，设PBC的面积为S. 求S关于t的函数解析式； 求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标,【重要考点】 二次函数的图象与性质、四边形与三角形有关知识,【考查方向】
2、2019年中考的存在性问题仍然是考查热点，一般放置在解答 题最后压轴的位置，综合性强，涉及的知识点广，分值一般 为1012分,【命题形式】 通常以二次函数与几何图形的动点、存在性问题综合命题,【母题剖析】 (1)利用待定系数法求解； (2)连接PC，求对称轴，分情况讨论求解；,(3)过点P作PFy轴，求出直线BC的解析式和点F的坐标， 进而可得出PF的长度，再由三角形的面积公式即可求出S关 于t的函数解析式； 利用二次函数的性质找出S的最大值，利用勾股定理可求 出线段BC的长度，利用面积法可求出P点到直线BC的距离的 最大值，再找出此时点P的坐标即可得出结论,【母题详解】 突破关键词：二次函数
3、、动点、存在点、距离、面积、分类 讨论 (1)将A(1，0)，B(3，0)代入yx2bxc，解得 抛物线的解析式为yx22x3.,(2)在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E. 抛物线yx2bxc与x轴交于A(1，0)， B(3，0)两点， 抛物线的对称轴为直线x1. 当t2时，点C，P关于直线l对称，此时存在点M，使得四边 形CDPM是平行四边形,抛物线的解析式为yx22x3， 点C的坐标为(0，3)，点P的坐标为(2，3)， 点M的坐标为(1，6) 当t2时，不存在理由如下： 若四边形CDPM是平行四边形，则CEPE. 点C的横坐标为0，点E的横坐标为1，,点P的横坐标t1202. 又
4、t2，不存在 综上所述，存在点M的坐标为(1，6),(3)如图，过点P作PFy轴，交BC于点F. 设直线BC的解析式为ymxn(m0) 将B(3，0)，C(0，3)代入ymxn，解得 直线BC的解析式为yx3.,点P的坐标为(t，t22t3)， 点F的坐标为(t，t3)， PFt22t3(t3)t23t， S 0， 当t 时，S取最大值，最大值为 .,点B的坐标为(3，0)，点C的坐标为(0，3)， 线段BC P点到直线BC的距离的最大值为 此时点P的坐标为,【思想方法】 此类题目主要涉及分类讨论思想，背景主要是借助一次、二 次、反比例函数、全等、相似、动点、等腰、等边、直角三角 形或平行四边
5、形、矩形、菱形、正方形、圆等，探索存在性、 面积、距离等问题，解决此类问题的关键是找出变化过程中的 关键点，如分界点、交点、最值点等，然后分类讨论,【母题多变】 变化1：在坐标平面内，已知两个定点A，B，探索第三个点P 与A，B构成的三角形： 当构成的PAB为等腰三角形时，可分三种情况讨论，即 PAPB，APAB，BABP； 当构成的PAB为直角三角形时，可分三种情况讨论，即 A90，B90，P90.,变化2：平行四边形 以点A，点B，点C，点D为顶点的四边形是平行四边形，通常 有两种常见模式： 若已知其中三个点的位置，求第四个点的位置(坐标)，则 可过这三个点中的任意一点作对边的平行线， 这
6、三条不同的平行线交于三个点，则这三个点 均满足题意，如图,若已知其中两个点的位置，求其他两个点的位置(坐标)， 则连接已知两点的线段可以是平行四边形的边，也可以是对 角线，此时应该通过画图、平移线段等方法分析，以此确定 另外两点的位置此外，如果要确定另外两点的坐标，则还 需运用全等三角形、勾股定理、锐角三角函数等知识做进一 步的分析,若“以点A，点B，点C，点D为顶点的四边形是梯形(或菱形、 正方形等)”，还按上述方法进行分析,变化3：相似三角形的存在性问题 通常是从相似三角形的判定方法入手，先确定已知的对应条 件，然后再根据情况分类讨论，如在ABC和DEF中，确定 点A与点D对应，则分两种情
7、况讨论，即ABCDEF， ABCDFE.,变化4：坐标系下的距离问题 主要指的是两点间的距离，以及点到直线的距离 (1)若点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，根据勾股定理可得AB，使用此公式的前提是点A，点 B的坐标已求出(或已表示出) (2)点A(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|.,变化5：动点下的面积问题 求一个封闭图形的面积一般有以下几个思考的方向 (1)利用面积公式三角形、平行四边形、梯形、圆等图形 都有相应的面积公式，如果能够顺利地求得(或表达)相应的 线段长，则直接可以利用面积公式求(或表示)图形的面积,(2)利用割补法，将图形分割成若干个能用面积公式表示面
8、积的部分，在利用割补法求面积时注意下面关系的运用： 如图，SABCSACDSABDSBCD；如图，SABCSABDSBCD BDh1 BDh2BD(h1h2)，即SABC 水平宽铅垂高,(3)利用等积变形原理如图，过PBC的顶点P作所对的边 BC的平行线l，则l上的任一点P与BC组成的三角形的面积 等于PBC的面积由PBC变形成PBC保持面积不变， 因此，这种变形称为等积变形，此外，若PBC与PBC面 积相等，且点P与P在直线BC的同侧，则可得直线PPBC.,变化6：图形运动下的面积问题 图形运动下的面积问题，往往涉及二次函数与一次函数、待 定系数法、相似、动点问题、函数图象等知识点解决此类 问题，根据图形的运动变化进行适当分类是解题的关键,探究运动变化过程中的多种可能情况，特别要关注不同情况 之间的分界点(临界位置、极端位置)，进而分析关键量的取 值范围或最值如果题目明确要求求取某个量的变化范围， 应有“分别考虑上界和下界”的意识，不能只考虑一半对 于临界点，应有“考虑能否取等号”的意识，只要时间允许， 建议临界点情况单独作图分析.,
