1、114 函数 函数与方程【考点讲解】1、具 本目标： 了解函数的零点与方程根的个数问题，函数的图象与 x轴交点的横坐标之间的关系；掌握二分法求方程的近似解；在高中本节主要是研究函数零点个数以及判断函数零点的范围.考纲要求及重点：1. 判断函数零点所在的区间 ；2.二分法求相应方程的近似解 ；3. 备考重点：函数的零点与方程根的分布问题、函数的性质等相结合求解参数问题，更出现了和导数融合的综合性问题.4.函数的零点、方程根的问题也是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题客观题主要考查相应函数的图象与性质，主观题考查较为综合，在考查函数的零点 方程根的基础上，又注重考查函 数方程、转化与化
2、归、分类讨论、数形结合的思想方法二、知识概述：1.函数的零点：(1)函数零点的概念对于函数 y f(x)，把使 f(x)0 的实数 x叫做函数 y f(x)的零点.(2)函数零点与方程根的关系方程 f (x)0 有实数根函数 y f(x)的图象与 x轴有交点 函数 y f(x)有零点.2.零点存在性定理：如果函数 在区间 a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ()0fab，那么，函数 ()yf在区间（ a， b）内有零点，即存在 (,)c，使得 ()0fc，这个 c也就是方程()0fx的根.3.“二分法”的基本内涵是：把函数 f(x)的零点所在的区间 a， b（满足 f(a)f(b)0）
3、 “一分为二”： a， m、 m， b，根据“ f(a)f(m)0”是否成立，取出新的零点所在的区间仍记为 a， b；将所得的区间a， b重复上述的步骤，直到含零点的区间 a， b “足够小” ，使这个区间内的数作为方程的近似解满足给定的精确度 d(即 )4.利用函数处理方程解的问题，方法如下： (1)方程 f(x) a在区间 I上有解 a y|y f(x)， x Iy f(x)与 y a的图象在区间 I上有交点(2)方程 f(x) a在区间 I上有几个解 y f(x)与 y a的图象在区间 I上有几个交点一般地，在探究方程解的个数或已知解的个数求参数的范围时，常采用转化与化归的思想将问题转化
4、为两函数图象的交点个数问题，从而可利用数形结合的方法给予直观解答5.已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；2(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解【真题分析】1.【2018 年理新课标 I卷】已知函数 若 xg存在 2个零点，则 a的取值范围是（ ）A. 1，0） B. 0，+） C. 1，+） D. 1，+）xy，之后上下移动，可以发现当直线过点 A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无
5、限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程 有两个解，也就是函数 xg有两个零点，此时 满足 1a，即 ，故选 C.【答案】C2.【2018 年浙江卷】已知 R，函数 ，当 2时，不等式 0xf的解集是_若函数 xf恰有 2个零点，则 的取值范围是_【解析】本题考点是不等式组的求解以及分段函数的零点问题.由题意可得： 042x或 解得 ，所以不等式 0xf的解集为 1， .当 时， ，此时 ，即在 ，上有两个零点；A3当 4时， ，由 在 ，上只能有一个零点得31.综上， 的取值范围为 .【答案】 ， ， 3 【2018 年理数天津卷】已知 0a，函数 ，若关于 x的方程恰有 2个互
6、异 的实数解，则 的取值范围是_.当 0x时，方程 axf，也就是 ，整理可得 ，很明显可知 2x不是方程的实数解，有 2xa，设 ，其中， ，原问题等价于函数 xg与函数ay有两个不同的的交点，求 a的取值范围.结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数 的图象，同时绘制函数 y的图象如图所示，考查临界条件，结合 0a观察可得，实数 a的取值范围是8,4.4【答案】 8,4法二：当 0x时，方程 axf，也就是 ，整理可得 ，很明显可知 1不是方程的实数解，有 .设 ，则 ，由xg可得 ，函数递增， 0xg可得 2，函数递减，所以当2时， 取得极小值为 .当 0时，方程 axf，也就是 ，整理
7、可得 ，很明显可知 2x不是方程的实数解，有 2，设 ，则 ，由0h可得 4，函数递增， 0xh可得 ，函数递减，所以当时， x取得极小值为 8.要使 恰有 2个互异的实数解，结合图象则 a的取值范围是8,4.【答案】 ,54 【2018 年江苏卷】若函数 在 ，0内有且只有一个零点，则xf在 1，上的最大值与最小值的和为_【答案】35.【2018 年全国卷理】函数 在 ，0的零点个数为_【解析】本题主要考查三角函数的性质和函数的零点，由题意可知 ，则有 ，可得 此时都有 0xf，所以函数 在 ，0的零点个数有 3个.【答案】36.【2016 天津理】已知函数 f（ x）= （ a0,且 a1
8、）在 R上单调递减，且关于 x的方程 f(x)=2 x恰有两个不相等的实数解，则 a的取值范围是（ ）A.（0， 23 B. 23， 4 C.13， 2 4 D.13， 2） 4【解析】本题考点是函数性质综合应用，由 ()fx在 R上单调递减可知 ，由方程6恰好有两个不相等的实数解，可知 32,a， 13，又 4a时，抛物线与直线 2yx相切，也符合题意，实数 的取值范围是 123,4，故选 C.【答案】C7.【2016 届宁夏银川一中】已知函数 f(x)的图象是连续不断的，有如下的 x， f(x)的对应表x 1 2 3 4 5 6f(x) 136.13 15.552 3.92 10.88 5
9、2.488 232.064则函数 f(x)存在零点的区间有( )A区间1,2和2,3 B区间2,3和3,4C区间2,3、3,4和4,5 D区间3,4、 4,5和5,6 8.【2014 山东高考】已知函数 若方程 有两个不相等的实根，则实数 k的取值范围是（ ）A. 1(0,)2 B. 1(,)2 C.(1,2) D.(2,)【解析】由已知，函数的图象有两个公共点，画图可知当直线介于 之间时，符合题意，故选 B.【答案】B【模拟考场】1.函数 f(x)2 x x32 在区间(0,1)内的零点个数是( )A0 B1 C2 D3【解析】因为 f( x)2 xln23 x20，所以函数 f(x)2 x x32 在(0,1)上递增，且 f(0)10210，所以有 1个零点
