1、123 三角函数 三角恒等变换【考点讲解】1.两角和与差的三角函 数公式（1）会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；（2）能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；（3）能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正 切公式，了解它们的内在联系；2.简单的三角恒等变换：能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）一、具本目标：1. 已知两角的正余弦，会求和差角的正弦、余弦、正切值.2. 会求类似于 15，75，105等特殊角的正、余弦、正切值.3. 用和差角的正弦、余弦、正切公式化简求值. 4.
2、 逆用和差角的正弦、余弦、正切公式化简求值.5. 会配凑、变形、拆角等方法进行化简与求值.二、知识概述：知识点一 两角和与差的正弦、余弦、正切公式两角和与差的正弦公式： ， .两角和与差的余弦公式： ，. 两角和与差的正切公式 ： ，.【特别提醒】公式的条件： 1. 两角和与差的正弦、余弦公式中的两个角 、 为任意角.2. 两角和与差的正切公式中两个角有如下的条件：2知识点二 公式的变用1. 两角和与差的正弦公式的逆用与辅助角公式：（其中 角所在的象限由 a,b 的符号确 定， 的值由tanb确定） ， 在求最值、化简时起着重要的作用.2. 变形为 ，变形为 .变形为 ，变形为 来使用 .条件
3、为： 知识点三 二倍角公式：1. 2. 常见变形：（1） ， （2） ， ； （3） ， .33. 半角公式： ， ， .【真题分析】1.【2016 高考浙江理数】设函数 ，则 ()fx的最小正周期（ ）A与 b 有关 ，且与 c 有关 B与 b 有关，但与 c 无 关C与 b 无关，且与 c 无关 D与 b 无关，但与 c 有关【答案】B2 【17 新课标 III 文】已知 ，则 2sin（ ）A 97 B 2 C 9 D 7【解析】本题的考点是二倍角的正弦正逆用，将 两边平方 ，化简后可得 即 2sin97.【答案】A3 （17 新课标 III 文）函数 的最大值为（ ）A 56 B1 C
4、 53 D 14由，因为 ，所以函数的最大值为 56.【答案】A4.【2015 高考重庆，理 9】若 ，则 （ ）A.1 B.2 C.3 D.4【解析】本题考点是两角和与差的正弦（余弦）公式，同角间 的三角函数关系，三角函数的恒等变换.三角恒等变换的主要是求值，在 求值时只要根据求解目标的需要，结合已知条件选用合适的公式计算本例应用两角和与差的正弦（余弦）公式化简所求式子，利用同角关系式求出使已知条件可代入的值，然后再化简，求解过程中注意公式的顺用和逆用 = =5.【答案】C5 【2016 年渭南期中】已知向量 a=（ sin， 2） ， b=（1， cos） ，且 a b，则 sin 2 +
5、cos2 的值为（ ）A1 B2 C 1D3【答案】A6.【2017 吉林二模】已知 cos = 725， （，0） ，则 sin 2+cos =（ ）A 125 B 15 C 1 D 15【解析】cos = 72， （，0） ，cos 2sin 2 =（cos +sin 2） （cos sin 2）0， （ 2，0） ，sin +cos 0，cos sin 0，（sin +cos ） 2=1+sin =1 491625= ，sin2+cos = 15故选 D【答案】D7.【2015 高考四川，理 12】 .【解析】本题考查的是三角恒等变换及特殊角的三角函数值的求解.法一、 .法二、 .法三、
6、 .6【答案】 62. 8.【2016 高考江苏卷】在锐角三角形 ABC中，若 ，则 的最小值是 .【答案】8.9.【2018 江苏卷 16】已知 ,为锐角， 4tan3， （1）求 cos2的值；（2）求 tan()的值10.【2016 高考山东理数】在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知（）证明： a+b=2c;（）求 cosC 的最小值.7【解析】试题分析：（）根据两角和的正弦公式、正切公式、正弦定理即可证明；（）根据余弦定理公式表示出 cosC，由基本不等式求 cosC 的最小值.试题解析： 由题意知 ，化简得 ，即 .因为 ,所以 .从而 .由正弦定理
7、得 2abc. ()由 知 ,所以 ，当且仅当 ab时，等号成立.故 cosC的最小值为 12.【模拟考场】1sin15sin105的值是（ ）A 4 B 14C 34 D 34【答案】A2.已知 sin2 =13，则 cos2（ 4）=（ ）A 4 B C 5 D 56【解析】本题考点二倍角的余弦，三角函数的化简求值.sin2 =13，cos 2（ 4）= 故选 B【答案】B83.已知 sin = 45， （， 32） ，则 tan等于（ ）A2 B 12C 1或 2 D2 或 1【解析】sin = ， （， ） ，cos = 35，tan = 43. （， 32） ， 2（ ， 34） ，
8、tan 20. tan = 2tan1= ，即 2tan2+3tan 2=0，解得 tan =2，或 tan = （舍去） ，故选 A 【答案】D6.设 为锐角，若 ，则 （ ）A 210 B 210 C 45 D 45【解析】因为 为锐角，所以 ，因为 ，所以 ，故.故选 A.【答案】A7.若 ，则 （ ）A.1 B. 21 C.31D. 41【答案】B98.下列各式中，值为 3的是（）A BC 1tan5D 【解析】 ， ， 1tan5， cos15，故选 C【答案】C9.【2015 高考湖北，理 12】函数 的零点个数为 【解析】本题的考点二倍角的正弦、余弦公式，诱导公式，函数的零点.因为所以函数 )(xf的零点个数为函数 xy2sin与 图象的交点的个数，函数 y2sin与 图象如图，由图知，两函数图象有 2 个交点， 所以函数 )(xf有 2 个零点.【答案】210.已知函数 ， Rx(I)求 ()fx最小正周期；(II)求 在区间 ,34p-上的最大值和最小值.10(I) 由已知，有.所以 ()fx的最小正周期 2T.(II)因为 在区间 ,36p-上是减函数，在区间 ,64p-上是增函数，所以 ()fx在 区间 ,3-上的最大值为 34，最小值为12.【答案】(I) ; (II) , .
