1、127 三角函数 解三角形 1（正弦定理）【考点讲解】1、具本目标：1.掌握正弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题 ；2. 能够运用正弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.3.考纲解读：利用正弦定理解三角形或者求解平面几何图形中有关量的问题，需要综合应用两个定理及三角形有关知识；正弦定理的应用比较广泛，也比较灵活，在高考中常与面积或取值范围结合进行考查；会利用数学建模思想，结合三角形的知识，解决生产实践中的相关问题.二、知识概述：1.正弦定理：2.有关的概念：（1）仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角；在水平线下方的角叫做俯角.（2）方位角
2、：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角叫做方位角.（3）方向角：相对于某一正方向的水平角.（4）坡角：坡面与水平面所成的锐二面角叫做坡角.坡度：坡面的铅直高度与水平宽度之比叫做坡度.03.三角形的面积公式： 正弦定理内容变形形式解决的问题 （1）已知两角和任意一边，求另一角和其他两条边； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角.2.3. 解斜三角形在实际中的应用：解斜三角形在实际中的应用非常广泛，如测量、航海等方面都可能用到，解题的一般步骤：（1）分析题意，准确理解题意，分清已知与所求；（2）根据题意画出示意图；（3）将需要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理
3、，余弦定理等关知识求解；（4）检验所得到结果是否具有实际意义，对解进行取舍，并写出答案.4.常见题型与方法：（1）灵活应用正、余弦定理及三角公式进行边角转换（2）三角形形状的判定方法：化边为角；化角为边. （3） 三角形中三角函数求值，恒等式证明.（4）通过三角变换探索角的关系，符号规律.（5）熟 练掌握由三角形三个元素（至少有一边）求解三角形的其它元素方法；（6）常用的三角形的有关定 理：正、余弦定理；内角和定理； （7）常用的三角形面积公式；（8）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能解决解三角形的计算问题【真题分析】1.【2015 高考广东，理 11】设 ABC的内角 ，
4、 ， C的对边分别为 a， b， c，若 3a， 31sin2B， 6C，则 b . 【答案】 1【规避】解答此题要注意由 1sin2B得出 6或 5B时，结合 三角形内角和定理舍去 56B2在 ABC中， 是 A的（ ）（A ）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既非充分也非必要条件【解析】由正弦定理得 ，所以 .【答案】C3.【2014 福建,理 12】在 ABC中， ,则 ABC的面积等于_【解析】：本题考点 1.正弦定理.2.三角形的面积.由正弦定理可得 ，可得 .所以 ABC的面积 .【答案】 234.【2016 高考新课标 2 理数】 的内角 ,的对边分别为 ,a
5、bc，若 4os5A， cs13C，1a，则 b 【解析】本题考点三角函数和差公式，正 弦定理.由题意 ，且 ,为三角形内角，可得 ， ，又因为 ，所以 .4【答案】 213【提示】一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到 5.【2015 高考新课标 1，理 16】在平面四边形 ABCD 中， A= B= C=75， BC=2，则 AB 的取值范围是 . 如图所示，延长 BA， CD 交于 E，平移 AD，当 A 与 D 重合与 E 点时， AB 最长，在 BCE 中，
6、B= C=75， E=30， BC=2，由正弦定理可得 ，即 ，解得 = 6+2.平移 AD ，当 D 与 C 重合时， AB 最短，此时与 AB 交于 F，在 BCF 中， B= BFC=75， FCB=30，由正弦定理知， ，即 ，解得 BF= 62，所以 AB 的取值范围为（ 62， +）.【答案】 （ 62， +）6.【2018 天津卷 15】在 ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c.已知 .（I）求角 B 的大小；（II）设 a=2， c=3，求 b 和 sin(2)的值.解：在 ABC 中，由正弦定理 iiaAB，可得 ，又由 ，得 ，5即 ，可得 ta
7、n3B又因为 (0)B， ，可得 B= （）解：在 ABC 中，由余弦定理及 a=2， c=3， B= 3，有 ， 故 b= 7由 ，可得 3sinA因为 ac，故 2os7A因此 ， 所以， 7.【2016 高考新课标 1 卷】 ABC的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知（I）求 C；（II）若 的面积为 32,求 ABC的周长【解析】 （I）由已知及正弦定理得, ,即 故 可得 1cosC2,所以 3（II）由已知, 6又 C3,所以 6ab由已知及余弦定理得, 故 21ab,从而 所以 CA的周长为 57【模拟考场】 1在 B中， cba、 分别是 A、 B、 C所对的边.
8、若 105A， 4B， 2b，则c_.【解析】由三角形内角和公式得 ，正弦定理可求得 .所以可得 2.【答案】22. 在 ABC 中，角 A， B， C 所 对的边分别为 a， b， c若 a= 7， b=2， A=60，则 sin B=_， c=_【答案】. 3721；3根据下列条件，确定 ABC有两解的是（ ）A. B. C. D. 【解析】对选择项 A 而言 这与三角形内角和定理矛盾，此时 ABC无解；对选择项 B 而言， C的两边及其夹角均以确定，该三角形确定； 对选择 C 而言， ，只有一解；对选择项 D 而言， 。【答案】D4.已知 AB的内角 ，面积 S满足7所对的边，则下列不等
9、式一定成立的是( )A. B. C. D. 由三角形面积公式 及正弦定理得： 所以 24SR,又因为 12，所以 248R,所以 恒成立，所以故选 A.【答案】A5.【2018 北京卷 15】在 ABC 中， a=7， b=8，cos B=17. （）求 A； （）求 AC 边上的高解：（）在 ABC 中，cos B=17， B（2，），sin B= 由正弦定理得 siniabAsinA=843，sin A=3 B（2，）， A（0，2）， A=（）在 ABC 中，sin C=sin（ A+B）=sin AcosB+sinBcosA= =3148如图所示，在 ABC 中，sin C=hB， h
10、= sinC= ， AC 边上的高为326.设锐角三角形 AB的内角 ， ， 的 对边分别为 abc， ， ， 2sinA（）求 的大小；（）求 的取值范围由 ABC 为锐角三角形知，32， ，所以 由此有 ，所以， 的取值范围为 32， 7. ABC中， 60, 1b, 这个三角形的面积为 3，求 的值。【解析】 S 2bcsinA,= 1csin6 0 , c4,由余弦定理得 a2 b2 c22 bccosA13, a 13,又根据正弦定理 sin Bi Ccsin , Aasin 392.98.在 ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c. 已知 b+c=2a cos B.（I）证明： A=2B；（II）若ABC 的面积2=4aS，求角 A 的大小.【解析】 （I）由正弦定理得 ，故 ，于是 又 A， 0,B，故 ，所以或 AB，因此 （舍去）或 2，所以， 2（II）由24aS得 ，故有，因 sin0B，得 又 ， ,C，所以 2B当 2时 ， A；当 B时， 4综上， 或
