1、第五讲 三角函数的图象与性质,总纲目录,1.若sin =- ,且 ,则tan(-)= ( ) A. B. C.- D.-,答案 A 由sin =cos =- ,且 ,得sin = = , 所以tan(-)=-tan =- =- = .,2.(2018课标全国,11,5分)已知角的顶点为坐标原点,始边与x 轴的非负半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos 2= ,则 |a-b|= ( ) A. B. C. D.1,答案 B 由题可知tan = =b-a,又cos 2=cos2-sin2= = = , 5(b-a)2=1,得(b-a)2= , 即|b-a|= ,故选B.,方法归纳
2、 应用三角函数的定义和诱导公式需注意两点 (1)当角的终边所在的位置不确定时,要根据角的终边可能在的位 置分类讨论. (2)应用诱导公式与同角关系做开方运算时,一定要注意三角函数 的符号;利用同角三角函数的关系化简要遵循一定的原则,如切化 弦、化异为同、化高为低、化繁为简等.,1.在平面直角坐标系xOy中,角与角均以Ox为始边,它们的终边 关于y轴对称.若sin = ,则sin = .,答案,解析 由角与角的终边关于y轴对称,可得=(2k+1)-,kZ, sin = ,sin =sin(2k+1)-=sin = .,2.已知是第四象限角,且sin = ,则tan = .,答案 -,解析 解法一
3、:sin = (sin +cos )= , sin +cos = , 2sin cos =- . 是第四象限角,sin 0, sin -cos =- =- , 由得sin =- ,cos = ,tan =- ,考点二 三角函数的图象 函数y=Asin(x+)(A0,0)的图象 (1)“五点法”作图: 设z=x+,令z=0, , ,2,求出x的值与相应的y的值,描点、连 线可得. (2)图象变换: y=sin x y=sin(x+)y=sin(x+),y=Asin(x+).,命题角度一:三角函数的图象变换,1.(2018湖南益阳、湘潭调研)要得到函数f(x)=sin 2x,xR的图象, 只需将函
4、数g(x)=sin ,xR的图象 ( ) A.向左平移 个单位 B.向右平移 个单位 C.向左平移 个单位 D.向右平移 个单位,答案 D 由于把函数y=sin 2x,xR的图象向左平移 个单位,可 得y=sin 2 =sin 的图象,故为了得到函数f(x)=sin 2x,x R的图象,只需把g(x)=sin ,xR的图象向右平移 个单 位即可,故选D.,2.(2018河北石家庄质量检测)若0,函数y=cos 的图象向 右平移 个单位长度后与函数y=sin x的图象重合,则的最小值 为 ( ) A. B. C. D.,答案 B 将函数y=cos 的图象向右平移 个单位长度, 得y=cos 的图
5、象.因为所得函数图象与y=sin x的图 象重合,所以- + = +2k(kZ),解得=- -6k(kZ),因为 0,所以当k=-1时,取得最小值为 ,故选B.,方法归纳 函数图象的平移法则是“左加右减、上加下减”,但是左右平移 变换只是针对x作的变换. 提醒 在图象变换过程中务必分清是先相位变换,还是先周期 变换.变换只是相对于其中的自变量x而言的,如果x的系数不是1, 就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向. 命题角度二:由三角函数的图象确定解析式,1.(2018河南开封模拟)如果存在正整数和实数,使得函数f(x)= sin2(x+)的图象如图所示(图象经过点(1,0),那么的值为
6、 ( )A.1 B.2 C.3 D.4,答案 B 因为f(x)=sin2(x+)= - cos2(x+),所以函数f(x)的 最小正周期T= = ,由题图知 1,即 T2,又为正 整数,所以的值为2,故选B.,2.(2018重庆六校联考)函数f(x)=Asin(x+) A,是常数,A0, 0,0 的部分图象如图所示,则f = .,答案 -,解析 由函数的图象可得A= , = - ,可得=2,则2 + =k(kZ),又0 ,所以= ,故f(x)= sin ,所以f =- .,方法归纳 确定y=Asin(x+)+b(A0,0)的步骤和方法 (1)求A,b,确定函数的最大值M和最小值m,则A= ,b
7、= . (2)求,确定函数的最小正周期T,则可得= . (3)求,常用的方法有: 代入法:把图象上的一个已知点的坐标代入(此时A,b已知)或 代入图象与直线y=b的交点坐标求解(此时要注意交点在上升图 象上还是在下降图象上). 特殊点法:确定的值时,往往以寻找“最值点”为突破口.具体,如下: “最大值点”(即图象的“峰点”)时x+= +2k(kZ); “最小值点”(即图象的“谷点”)时x+= +2k(kZ).,1.(2018广东广州调研)将函数y=2sin cos 的图象向左 平移(0)个单位长度,所得图象对应的函数恰为奇函数,则的 最小值为 ( ) A. B. C. D.,答案 B 根据题意
8、可得y=sin ,将其图象向左平移个 单位长度,可得y=sin 的图象,因为该图象所对应的函 数恰为奇函数,所以 +2=k(kZ),= - (kZ),又0,所以 当k=1时,取得最小值,且min= ,故选B.,2.函数f(x)=Asin(x+) 的部分图象如图所示, 若x1,x2 ,x1x2,且f(x1)=f(x2),则f(x1+x2)= ( )A.1 B. C. D.,答案 D 根据图象,可得A=1, = - = ,T=,= =2, f(x)=sin(2x+).又由图象得f =0,可得sin =0,则 += 2k+(kZ),解得=2k+ (kZ),又| ,= ,f(x)=sin.由f(x1)
9、=f(x2)及x1x2得2x1+ +2x2+ =,x1+x2= ,故f(x1+ x2)=sin =sin = ,选D.,考点三 三角函数的性质 函数y=Asin(x+)(A0,0)的性质 (1)奇偶性:=k(kZ)时,函数y=Asin(x+)为奇函数;=k+ (k Z)时,函数y=Asin(x+)为偶函数. (2)周期性:y=Asin(x+)的最小正周期为T= . (3)单调性:根据y=sin t和t=x+(0)的单调性来研究,由- +2k x+ +2k(kZ)得单调增区间;由 +2kx+ +2k (kZ)得单调减区间. (4)对称性:利用y=sin x的图象的对称中心为(k,0)(kZ)求解
10、,令,x+=k(kZ)得其对称中心. 利用y=sin x的图象的对称轴为x=k+ (kZ)求解,令x+=k+ (kZ)得其对称轴.,1.(2018课标全国,10,5分)若f(x)=cos x-sin x在0,a是减函数,则a 的最大值是 ( ) A. B. C. D.,答案 C f(x)=cos x-sin x= cos . 因为f(x)在0,a上是减函数,所以 解得0a .故a的最大值是 .故选C.,2.(2018江苏,7,5分)已知函数y=sin(2x+) 的图象关于 直线x= 对称,则的值是 .,答案 -,解析 函数y=sin(2x+)的图象关于直线x= 对称, x= 时,函数取得最大值
11、或最小值,sin =1. +=k+ (kZ),=k- (kZ), 又- ,=- .,3.(2018北京,11,5分)设函数f(x)=cos (0).若f(x)f 对 任意的实数x都成立,则的最小值为 .,答案,解析 f(x)f 对任意的实数x都成立,f =1, - =2 k,kZ,整理得=8k+ ,kZ. 又0,当k=0时,取得最小值 .,方法归纳 三角函数的单调区间、周期及最值(或值域)的求法 (1)三角函数单调区间的求法: 求形如y=Asin(x+)(或y=Acos(x+)(A,为常数,A0,0) 的单调区间的一般思路是令x+=z,则y=Asin z(或y=Acos z),然后 由复合函数
12、的单调性求得. (2)三角函数周期的求法: 函数y=Asin(x+)(或y=Acos(x+)的最小正周期T= .应特别 注意y=|Asin(x+)|的最小正周期T= .,y=Asin(x+)的最小正周期T= . (3)三角函数最值(或值域)的求法: 在求最值(或值域)时,一般要先确定函数的定义域,然后结合三角 函数性质可得函数f(x)的最值.,3.(2018云南昆明调研)已知函数f(x)=sin x的图象关于点 对称,且f(x)在 上为增函数,则= ( ) A. B.3 C. D.6,答案 A 将 代入f(x)=sin x,得sin =0,所以 =n,n Z,得= n,nZ.设函数f(x)的最小正周期为T,因为f(x)在 上为增函数,所以0, ,所以T,即 ,所以2.所以n =1,= .故选A.,2.(2018北京,16,13分)已知函数f(x)=sin2x+ sin xcos x. (1)求f(x)的最小正周期; (2)若f(x)在区间 上的最大值为 ,求m的最小值.,解析 (1)f(x)= - cos 2x+ sin 2x =sin + . 所以f(x)的最小正周期T= =. (2)由(1)知f(x)=sin + . 由题意知- xm. 所以- 2x- 2m- . 要使得f(x)在 上的最大值为 ,即sin 在 上的最大值为1. 所以2m- ,即m . 所以m的最小值为 .,
