1、1小题专练作业(九) 空间点、直线、平面之间的位置关系1已知直线 a， b 分别在两个不同的平面 ， 内，则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 和平面 相交”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析 当两个平面内的直线相交时，这两个平面有公共点，即两个平面相交；但当两个平面相交时，两个平面内的直线不一定有交点。故选 A。答案 A2(2018浙江高考)已知平面 ，直线 m， n 满足 m ， n ，则“ m n”是“m ”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析 若 m ， n ， m n，由线面平行的判定定
2、理知 m 。若m ， m ， n ，不一定推出 m n，直线 m 与 n 可能异面，故“ m n”是“ m ”的充分不必要条件。故选 A。答案 A3(2018惠州调研)设 l， m， n 为三条不同的直线， 为一个平面，则下列命题中正确的个数是( )若 l ，则 l 与 相交；若 m ， n ， l m， l n，则 l ；若l m， m n， l ，则 n ；若 l m， m ， n ，则 l n。A1 B2 C3 D4解析 对于，若 l ，则 l 与 不可能平行， l 也不可能在 内，所以 l 与 相交，正确；对于，若 m ， n ， l m， l n，则有可能是 l ，故错误；对于，若
3、l m， m n，则 l n，又 l ，所以 n ，故正确；对于，因为m ， n ，所以 m n，又 l m，所以 l n，故正确。故选 C。答案 C4已知 m， n 是空间中两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，且m ， n 。有下列命题：若 ，则 m n；若 ，则 m ；若 l，且 m l， n l，则 ；2若 l，且 m l， m n，则 。其中真命题的个数是( )A0 B1 C2 D3解析 若 ，则 m n 或 m， n 异面，不正确；若 ，根据平面与平面平行的性质，可得 m ，正确；若 l，且 m l， n l，则 与 不一定垂直，不正确；若 l，且 m l， m n，则 与 不一
4、定垂直，不正确。故选 B。答案 B5 九章算术中，将底面是长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马。在阳马 P ABCD 中，侧棱 PD底面 ABCD，且 PD CD2 AD，则异面直线 PC 与 BD 所成角的正弦值为( )A B1510 155C D1010 105解析 如图，将阳马 P ABCD 置于长方体中，连接 PE， CE，有 BD PE，则异面直线 PC 与 BD所成的角即为 CPE。设 PD CD2 AD2，则 PE CE ， PC2 ，在等腰三角形 PCE 中，5 2cos CPE ，则 sin CPE 。故选 B。PC2PE 105 155答案 B6已知某四棱锥，底面是
5、边长为 2 的正方形，且俯视图如图所示，则关于该四棱锥的下列结论中不正确的是( )3A四棱锥中至少有两组侧面互相垂直B四棱锥的侧面中可能存在三个直角三角形C四棱锥中不可能存在四组互相垂直的侧面D四棱锥的四个侧面不可能都是等腰三角形解析 四棱锥的直观图如图所示，其中顶点 P 在底面上的射影为底面正方形的边 BC 的中点E，连接 PE。 AB BC， AB PE， PE BC E，则 AB平面 PBC，可得侧面 PAB侧面 PBC，同理，侧面 PCD侧面 PBC，故 A 正确；根据选项 A，侧面 PAB， PCD 为直角三角形，只要调整四棱锥的高(为 1)，使侧面 PBC 为等腰直角三角形，则侧面
6、中就可能有三个直角三角形，B 正确；其中侧面 PAD 与侧面 PBC 不可能垂直，证明如下：假设侧面 PAD 与侧面 PBC垂直，因为 BC AD，所以 BC平面 PAD，设平面 PAD平面 PBC l，根据直线与平面平行的性质定理可得 BC l， PE BC，得 PE l，根据两个平面垂直的性质定理， PE平面PAD，由于 PE平面 ABCD，所以平面 PAD平面 ABCD，与平面 PAD平面 ABCD AD 矛盾，所以假设不成立，故侧面 PAD 与侧面 PBC 不可能垂直，C 中的结论是正确的；若PB PC AB2， PA PD2 ，则四棱锥的四个侧面均是等腰三角形，故 D 中的结论不正2
7、确。故选 D。答案 D7如图所示，正方形 ABCD，正方形 BDEF 所在的平面互相垂直，给出下列结论： BF与 BE 所成角的正切值为 ； 平面 ADE 内存在无数条直线与直线 FC 平行；平面 BDEF 内22的任意一条直线均垂直于直线 AC；直线 AF 与平面 BDEF 所成角的正弦值为 。其中正确66结论的个数为( )4A1 B2C3 D4解析 记 AC BD O，连接 OF。 BF 与 BE 所成的角即 FBE，其正切值为 1，错误；EFBF因为 BF DE， BC AD，且 BF BC B， DE AD D，所以平面 BFC平面 ADE，所以 FC平面 ADE，所以平面 ADE 内
8、存在无数条直线与直线 FC 平行，正确； DE AC， BD AC， DE BD D，所以 AC平面 BDEF，所以平面 BDEF 内的任意一条直线均垂直于直线 AC，正确；直线 AF 与平面 BDEF 所成的角即 AFO，其正弦值为 ， 正确。故选 C。AOAF 66答案 C8如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， AB2， A1C1 B1D1 E，直线 AC 与直线 DE所成的角为 ，直线 DE 与平面 BCC1B1所成的角为 ，则 cos( )_。5解析 连接 BD，则Error! AC平面 BB1D1DAC DE，所以 。取 A1D1的中点 F，连接 2EF， FD，易知
9、EF平面 AA1D1D，平面 AA1D1D平面 BCC1B1，则 EDF ，所以cos( )cos sin EDF 。( 2 EDF) 66答案 669已知 a， b 表示两条不同直线， ， ， 表示三个不同平面，给出下列命题：若 a， b ， a b，则 ；若 a ， a 垂直于 内的任意一条直线，则 ；若 ， a， b，则 a b；若 a 不垂直于平面 ，则 a 不可能垂直于平面 内的无数条直线；若 a ， a ，则 。上述五个命题中，正确命题的序号是_。解析 对于，根据线面垂直的判定定理，需要一条直线垂直于同一平面内两条相交的直线，故 a b， 不一定垂直平面 ，故不正确；对于， a ，
10、 a 垂直于 内的任意一条直线，满足线面垂直的定理，即可得到 a ，又 a ，则 ，故正确；对于， ， a， b，则 a b 或 a b，或相交，故不正确；对于，若a 不垂直于平面 ，则 a 可能垂直于平面 内的无数条直线，故不正确；对于，根据线6面垂直的性质，若 a ， a ，则 ，故正确。答案 10如图所示，在棱长均相等的正四棱锥 P ABCD 中， O 为底面正方形的中心， M， N分别为侧棱 PA， PB 的中点，有下列结论： PC平面 OMN；平面 OMN平面PAB； OM PA；平面 PCD平面 OMN。其中正确结论的序号是_。解析 如图，其中 E， F 分别为 AD， BC 的中
11、点， G 为 OE 的中点，平面 OMN 即平面MNFE。 PC OM，所以 PC平面 OMN，结论正确，同理 PD ON，所以平面 PCD平面OMN，结论正确；由于四棱锥的棱长均相等，所以 PA2 PC2 AB2 BC2 AC2，所以PC PA， PC OM，所以 OM PA，结论正确；因为 OM PC PD ME，所以 MG OE，又12 12MN OE，所以 MG MN，设四棱锥的棱长为 4， MA2， AG ， MG ，三边长度不满足勾5 3股定理，所以 MG 不垂直 PA，所以平面 OMN 不垂直平面 PAB，结论不正确。答案 11(2018南宁联考)如图，在正方形 ABCD 中，
12、AC 为对角线， E， F 分别是 BC， CD 的中点， G 是 EF 的中点。现在沿 AE， AF 及 EF 把这个正方形折成一个空间图形，使 B， C， D三点重合，重合后的点记为 H。下列说法错误的是_(将符合题意的序号填到横线上)。7 AG EFH 所在平面； AH EFH 所在平面； HF AEF 所在平面； HG AEF 所在平面。解析 根据折叠前 AB BE， AD DF 可得折叠后 AH HE， AH HF，可得 AH平面EFH，即正确；因为过点 A 只有一条直线与平面 EFH 垂直，所以不正确；因为AG EF， AH EF，所以 EF平面 HAG，所以平面 HAG平面 AE
13、F。过 H 作直线垂直于平面AEF，该直线一定在平面 HAG 内，所以不正确；因为 HG 不垂直 AG，所以 HG平面 AEF 不正确，不正确，综上，说法错误的序号是。答案 12(2018南昌调研)如图，四棱锥 P ABCD 中， PAB 与 PBC 是正三角形，平面PAB平面 PBC， AC BD，则下列结论不一定成立的是( )A PB ACB PD平面 ABCDC AC PDD平面 PBD平面 ABCD解析 8如图，对于 A，取 PB 的中点 O，连接 AO， CO。因为在四棱锥 P ABCD 中， PAB 与PBC 是正三角形，平面 PAB平面 PBC，所以 AO PB， CO PB，因
14、为 AO CO O，所以 PB平面 AOC，因为 AC平面 AOC，所以 PB AC，故选项 A 正确；对于 B，设 AC 与 BD 交于点M，易知 M 为 AC 的中点，若 PD平面 ABCD，则 PD BD，由已知条件知点 D 满足 AC BD 且位于 BM 的延长线上，所以点 D 的位置不确定，所以 PD 与 BD 不一定垂直，所以 PD平面ABCD 不一定成立，故选项 B 不正确；对于 C，因为 AC PB， AC BD， PB BD B，所以AC平面 PBD，因为 PD平面 PBD，所以 AC PD，故选项 C 正确；对于 D，因为 AC平面PBD， AC平面 ABCD，所以平面 P
15、BD平面 ABCD，故选项 D 正确。故选 B。答案 B13(2018昆明调研)在长方体 ABCD A1B1C1D1中， AB AD4， AA12。过点 A1作平面 与 AB， AD 分别交于 M， N 两点，若 AA1与平面 所成的角为 45，则截面 A1MN 面积的最小值是( )A2 B43 2C4 D86 2解析 如图，过点 A 作 AE MN，连接 A1E，因为 A1A平面 ABCD，所以 A1A MN，所以MN平面 A1AE，所以 A1E MN，平面 A1AE平面 A1MN，所以 AA1E 为 AA1与平面 A1MN 所成的角，所以 AA1E45，在 Rt A1AE 中，因为 AA1
16、2，所以 AE2， A1E2 ，在 Rt2MAN 中，由射影定理得 MEEN AE24，由基本不等式得 MN ME EN2 4，当MEEN且仅当 ME EN，即 E 为 MN 的中点时等号成立，所以截面 A1MN 面积的最小值为42 4 。故选 B。12 2 2答案 B914(2018洛阳统考)正方形 ABCD 和等腰直角三角形 DCE 组成如图所示的梯形，M， N 分别是 AC， DE 的中点，将 DCE 沿 CD 折起(点 E 始终不在平面 ABCD 内)，则下列说法一定正确的是_。(写出所有正确说法的序号) MN平面 BCE；在折起过程中，一定存在某个位置，使 MN AC； MN AE；
17、在折起过程中，一定存在某个位置，使 DE AD。解析 折起后的图形如图所示，取 CD 的中点 O，连接 MO， NO，则在 ACD 中， M， O 分别是AC， CD 的中点，所以 MO AD BC，同理 NO CE，又 BC CE C，所以平面 MON平面BCE，所以 MN平面 BCE，故正确；易知 MO CD， NO CD，又 MO NO O，所以 CD平面 MNO，所以 MN CD，若 MN AC，又 AC CD C，所以 MN平面 ABCD，所以 MN MO，又 MO AD EC NO，所以 MN 不可能垂直于 MO，故 MN AC 不成立，故错误；取 CE12 12的中点 Q，连接
18、MQ，则在 ACE 中， M， Q 分别是 AC， CE 的中点，所以 MQ AE，由图知 MQ与 MN 不可能始终垂直，故错误；当平面 CDE平面 ABCD 时，又平面 CDE平面ABCD CD， AD CD， AD平面 ABCD，所以 AD平面 CDE，所以 AD DE，故正确。综上所述，正确的说法是。答案 15(2018咸阳二模)具有公共 y 轴的两个直角坐标平面 和 所成的二面角 y 轴 的大小为 45，已知在 内的曲线 C的方程是 y24 x，曲线 C在平2面 内的射影的方程是 y22 px，则 p 的值是_。10解析 由题图可知，曲线 C的方程是 y24 x，则 OF 。过点 F作2 2F F平面 于点 F。因为平面 和 所成的二面角 y 轴 的大小为 45，所以 OF cos451，即曲线 C在平面 内的射影所形成的抛物线的焦距为 1，所2以 p212。答案 2
