1、1小题专练作业(八) 空间几何体的三视图、表面积与体积1.如图为一个几何体的侧视图和俯视图，则它的正视图为( )解析 根据题中侧视图和俯视图的形状，判断出该几何体是在一个正方体的上表面上放置一个四棱锥(其中四棱锥的底面是正方体的上表面、顶点在底面上的射影是底面一边的中点)，结合选项知，它的正视图为 B。答案 B2(2018浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )2A2 B4 C6 D8解析 由三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何体的体积 V (12)226。故选 C。12答案 C3(2018太原二模)某空间几何体的三
2、视图如图所示，则该几何体的体积为( )A B73 8 3C D83 7 33解析 由三视图知该几何体是由如图所示的四棱锥 P ABCD 挖去一个半圆锥后形成的，四棱锥的底面是边长为 2 的正方形，高是 2，圆锥的底面半径是 1，高是 2，所以该几何体的体积 V 222 1 22 。故选 B。13 12 13 8 3答案 B4(2018福建漳州二模)如图，在边长为 1 的正方形组成的网格中，画出的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是( )A9 B C18 D272724解析 根据三视图可知该几何体是一个三棱锥，将三棱锥 A BCD 还原到长方体中，长方体的长、宽、高分别为 6、3、3，所以该
3、几何体的体积 V 6339。故选 A。13 12答案 A5(2018全国卷)已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O1， O2，过直线 O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为( )A12 B122C8 D102解析 根据题意，可得截面是边长为 2 的正方形，所以圆柱的高为 2 ，底面圆的2 2半径为 ，所以其表面积为 S2( )22 2 12。故选 B。2 2 2 2答案 B6(2018成都诊断)在三棱锥 P ABC 中，已知 PA底面 ABC， BAC60，PA2， AB AC ，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( )3A B43 823C8
4、 D12解析 易知 ABC 是等边三角形。如图，作 OM平面 ABC，其中 M 为 ABC 的中心，且点 O 满足 OM PA1，则点 O 为三棱锥 P ABC 外接球的球心。于是，该外接球的半径125R OA 。故该球的表面积 S4 R28。故选AM2 OM2 (32 323)2 12 2C。答案 C7一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为_。解析 由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥。设正方体的棱长为 1，则三棱锥的体积为V1 111 ，剩余部分的体积 V21 3 。所以 。
5、13 12 16 16 56 V1V21656 15答案 158(2018江苏高考)如图所示，正方体的棱长为 2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为_。6解析 正方体的棱长为 2，以其所有面的中心为顶点的多面体是正八面体，其中正八面体的所有棱长都是 ，则该正八面体的体积为 ( )212 。213 2 43答案 439如图，在正三棱柱 ABC A1B1C1中， D 为棱 AA1的中点。若 AA14， AB2，则四棱锥 B ACC1D 的体积为_。解析 取 AC 的中点 O，连接 BO，则 BO AC，所以 BO平面 ACC1D，因为 AB2，所以BO ，因为 D 为棱 AA1的中点， AA1
6、4，所以 S 梯形 ACC1D (24)26，所以四棱312锥 B ACC1D 的体积为 2 。3答案 2 310设 A， B， C， D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点， ABC 为等边三角形且其面积为 9 ，则三棱锥 D ABC 体积的最大值为_。3解析 设等边三角形 ABC 的边长为 x，则 x2sin609 ，得 x6。设 ABC 的外接12 3圆半径为 r，则 2r ，解得 r2 ，所以球心到 ABC 所在平面的距离 d6sin60 32，则点 D 到平面 ABC 的最大距离 d1 d46，所以三棱锥 D ABC 体积42 23 27的最大值 Vmax S ABC6 9 618
7、 。13 13 3 3答案 18 311(2018河南新乡一模)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图中的两段圆弧均为半圆，该几何体的体积为( )A8 B823C82 D82解析 由三视图可知该几何体是由正方体挖去两个半圆柱后形成的，如图。该几何体的体积为 2222 1 2282。故选 C。12答案 C12(2018全国卷)已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面 所成的角都相等，则 截此正方体所得截面面积的最大值为( )8A B334 233C D324 32解析 记该正方体为 ABCD A B C D，正方体的每条棱所在直线与平面 所成的角都相等，
8、即共点的三条棱 A A， A B， A D与平面 所成的角都相等。如图，连接 AB， AD， B D，因为三棱锥 A AB D是正三棱锥，所以A A， A B， A D与平面 AB D所成的角都相等。分别取C D， B C， BB， AB， AD， DD的中点 E， F， G， H， I， J，连接EF， FG， GH， HI， IJ， JE，易得 E， F， G， H， I， J 六点共面，平面 EFGHIJ 与平面AB D平行，且截正方体所得截面的面积最大。又 EF FG GH HI IJ JE ，所以22该正六边形的面积为 6 2 ，所以 截此正方体所得截面面积的最大值为 ，34 (22
9、) 334 334故选 A。答案 A13(2018东北三校二模)已知某几何体的三视图如图所示，过该几何体最短两条棱的中点作平面 ，使得 平分该几何体的体积，则可以作此种平面 ( )9A恰好 1 个 B恰好 2 个C至多 3 个 D至少 4 个解析 几何体的直观图如图所示。该几何体最短两条棱为 PA 和 BC，设 PA 和 BC 的中点分别为 E， F，则过 E， F 且平分几何体体积的平面 ，可能为：平面 PAF；平面BCE；平面 EGFH(其中 G， H 为 AC 和 PB 的中点)；平面 EMFN(其中 M， N 为 PC 和 AB 的中点)，所以此种平面至少 4 个。故选 D。答案 D1
10、4(2018江西九江二模)如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，底面 ABC 是等腰直角三角形， AB BC1。点 D 为侧棱 BB1上的动点。若 ADC1周长的最小值为 ，则三棱锥3 5C1 ABC 外接球的表面积为_。10解析 将侧面展开如图，易知当 D 为侧棱 BB1的中点时， ADC1周长最小，此时设BD x，则 2 ，可得 x ，所以 CC11，又易知三棱锥 C1 ABC1 x2 2 4x2 3 512外接球的球心为 AC1的中点，所以半径 R ，则三棱锥 C1 ABC 外接球的表面积为32S4 R23。答案 315(2018长春质量监测)已知圆锥的侧面展开图是半径为 3 的扇形，则该圆锥体积的最大值为_。解析 由题意得圆锥的母线长为 3，设圆锥的底面半径为 r，高为 h，则 h ，9 r2所以圆锥的体积 V r2h r2 。设 f(r)9 r4 r6(r0)，则13 13 9 r2 13 9r4 r6f( r)36 r36 r5，令 f( r)36 r36 r56 r3(6 r2)0，得 r ，所以当 00， f(r)单调递增，当 r 时， f( r)0， f(r)单调递减，所以 f(r)max f( )6 6108，所以 Vmax 2 。13 108 3答案 2 3
