1、1小题专练作业(十三) 椭圆、双曲线、抛物线1方程 1 表示双曲线的一个充分不必要条件是( )x2m 2 y2m 3A30， b0)，直线 l： y2 x2。若直线 l 平行于双曲线x2a2 y2b2C 的一条渐近线且经过 C 的一个顶点，则双曲线 C 的焦点到渐近线的距离为( )A1 B2C D45解析 由题意可知，双曲线的一个顶点为(1,0)，所以 a1，又 2，所以 b2， cba，则焦点( ，0)到渐近线 y2 x 的距离 d 2。5 52522 12答案 B4(2018全国卷)设抛物线 C： y24 x 的焦点为 F，过点(2,0)且斜率为 的直线23与 C 交于 M， N 两点，则
2、 ( )FM FN A5 B6C7 D8解析 解法一：根据题意，过点(2,0)且斜率为 的直线方程为 y (x2)，与抛物23 232线方程联立Error!消元整理得： y26 y80，解得 M(1,2)， N(4,4)，又 F(1,0)，所以(0,2)， (3,4)，从而可以求得 03248。故选 D。FM FN FM FN 解法二：过点(2,0)且斜率为 的直线的方程为 y (x2)，由Error!得23 23x25 x40，设 M(x1， y1)， N(x2， y2)，则 y10， y20，根据根与系数的关系，得x1 x25， x1x24。易知 F(1,0)，所以 ( x11， y1)，
3、 ( x21， y2)，所FM FN 以 ( x11)( x21) y1y2 x1x2( x1 x2)14 45188。故选 D。FM FN x1x2答案 D5双曲线 1( a0， b0)的离心率为 ，左、右焦点分别为 F1， F2， P 为双曲x2a2 y2b2 3线右支上一点， F1PF2的平分线为 l，点 F1关于 l 的对称点为 Q，| F2Q|2，则双曲线的方程为( )A y21 B x2 1x22 y22C x2 1 D y21y23 x23解析 由 F1PF2的平分线为 l，点 F1关于 l 的对称点为 Q，可得直线 l 为 F1Q 的垂直平分线，且 Q 在 PF2的延长线上，可
4、得| PF1| PQ| PF2| F2Q|，即| PF1| PF2| F2Q|，由双曲线的定义可得| PF1| PF2|2 a，由| F2Q|2，可得 a1，由 e ，可得 c ，ca 3 3则 b ，则双曲线的方程为 x2 1。故选 B。c2 a2 2y22答案 B6(2018全国卷)设 F1， F2是双曲线 C： 1( a0， b0)的左，右焦点， Ox2a2 y2b2是坐标原点。过 F2作 C 的一条渐近线的垂线，垂足为 P。若| PF1| |OP|，则 C 的离心率6为( )3A B25C D3 2解析 不妨设一条渐近线的方程为 y x，则 F2到 y x 的距离 d b，在ba ba
5、 |bc|a2 b2Rt F2PO 中，| F2O| c，所以| PO| a，所以| PF1| a，又| F1O| c，所以在 F1PO 与6Rt F2PO 中，根据余弦定理得 cos POF1 cos POF2 ，即a2 c2 6a 22ac ac3a2 c2( a)20，得 3a2 c2，所以 e 。故选 C。6ca 3答案 C7(2018湖南湘东五校联考)已知椭圆 1( ab0)的左，右焦点分别为x2a2 y2b2F1、 F2， P 是椭圆上一点， PF1F2是以 F2P 为底边的等腰三角形，且 600， b0)的右x2a2 y2b2焦点 F(c,0)到一条渐近线的距离为 c，则其离心率
6、的值是_。32解析 不妨设双曲线的一条渐近线方程为 y x，所以 b c，所以ba |bc|a2 b2 32b2 c2 a2 c2，得 c2 a，所以双曲线的离心率 e 2。34 ca答案 210(2018广东五校联考)已知椭圆 C： y21 的两焦点为 F1， F2，点 P(x0， y0)x22满足 0b0)，双曲线 N： 1。若双x2a2 y2b2 x2m2 y2n2曲线 N 的两条渐近线与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 M 的离心率为_；双曲线 N 的离心率为_。解析 设椭圆的右焦点为 F(c,0)，双曲线 N 的渐近线与椭圆 M 在第一象限内的
7、交点为A，由题意可知 A ，由点 A 在椭圆 M 上得， 1，所以(c2， 3c2) c24a2 3c24b2b2c23 a2c24 a2b2，因为 b2 a2 c2，所以( a2 c2)c23 a2c24 a2(a2 c2)，所以4a48 a2c2 c40，所以 e 8 e 40，所以 e 42 ，所以 e 椭 1(舍去)4椭 2椭 2椭 3 3或 e 椭 1，所以椭圆 M 的离心率为 1，因为双曲线的渐近线过点 A ，所以3 3 (c2， 3c2)渐近线方程为 y x，所以 ，故双曲线的离心率 e 双 2。3nm 3 m2 n2m25答案 1 2312双曲线 1( a0， b0)的两条渐近
8、线将平面划分为“上、下、左、右”四个x2a2 y2b2区域(不含边界)，若点(2,1)在“右”区域内，则双曲线离心率 e 的取值范围是( )A B(1，52) (52， )C D(1，54) (54， )解析 依题意，双曲线 1 的渐近线方程为 y x，且“右”区域是由不等式x2a2 y2b2 ba组Error! 所确定的，又点(2,1)在“右”区域内，于是有 1 ，因此该双曲线的离2ba ba12心率 e 。故选 B。1 (ba)2 (52， )答案 B13(2018福建六校联考)已知抛物线 E： y22 px(p0)的焦点为 F，过 F 且斜率为 1的直线交 E 于 A， B 两点，线段
9、AB 的中点为 M，其垂直平分线交 x 轴于点 C， MN y 轴于点N。若四边形 CMNF 的面积等于 7，则抛物线 E 的方程为( )A y2 x B y22 xC y24 x D y28 x解析 由题意，得 F ，直线 AB 的方程为 y x ，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，(p2， 0) p2M(x0， y0)，联立 y x 和 y22 px 得， y22 py p20，则 y1 y22 p，所以p2y0 p。故 N(0， p)，又因为点 M 在直线 AB 上，所以 x0 ，即 M ，因为y1 y22 3p2 (3p2， p)6MC AB，所以 kABkMC1，故 kM
10、C1，从而直线 MC 的方程为 y x p，令 y0，52得 x p，故 C ，四边形 CMNF 是梯形，则 S 四边形 CMNF (|MN| CF|)|NO|52 (5p2， 0) 12 12p p27，所以 p24，又 p0，所以 p2，故抛物线 E 的方程为 y24 x。故(32p 2p) 74选 C。答案 C14已知椭圆 1 的右焦点为 F， P 是椭圆上一点，点 A(0,2 )，当 APF 的周x29 y25 3长最大时， APF 的面积等于_。解析 由椭圆 1 知 a3， b ， c 2，在 Rt AOF 中，x29 y25 5 a2 b2|OF|2，| OA|2 ，则| AF|4
11、。设椭圆的左焦点为 F1，则 APF 的周长为3|AF| AP| PF| AF| AP|2 a| PF1|46| PA| PF1|10| AF1|(当且仅当 P在线段 AF1的延长线上时取“”)。下面求当 APF 周长最大时 P 的纵坐标：易知 AF1的方程为 1，与椭圆的方程 5x29 y2450 联立并整理得 32y220 y750，x 2 y23 3解得 yP (正值舍去)。则 APF 的周长最大时， S APF |F1F|yA yP| 4538 12 12 。|23538| 2134答案 213415已知椭圆 1( ab0)的左、右焦点分别为 F1， F2，过 F1且与 x 轴垂直的直
12、x2a2 y2b2线交椭圆于 A， B 两点，直线 AF2与椭圆的另一个交点为点 C，若 S ABC3 S BCF2，则椭圆的离心率为_。解析 解法一：如图所示，因为 S ABC3 S BCF2，所以| AF2|2| F2C|。 A ，直线( c，b2a)7AF2的方程为 y0 (x c)，化为 y (x c)，代入椭圆方程 1( ab0)，b2a 0 c c b22ac x2a2 y2b2可得(4 c2 b2)x22 cb2x b2c24 a2c20，所以 xC( c) ，解得 xCb2c2 4a2c24c2 b2。因为 2 ，所以 c( c)2 。化为 a25 c2，解得 e4a2c b2c4c2 b2 AF2 F2C (4a2c b2c4c2 b2 c)。55解法二：依题意可得， 2 ，所以 F2为 AC 的三等分点。又 A ，所以 CAF2 F2C ( c， b2a)。将 C 代入椭圆方程得 1，得 ，所以 e 。(2c， b22a) (2c， b22a) 4c2a2 b44a2b2 c2a2 15 55答案 55
