1、1微专题 1 三角函数的图象与性质命 题 者 说考 题 统 计 考 情 点 击2018全国卷 T16三角函数的最值2018全国卷 T10三角函数的单调性2018天津高考 T6三角函数图象平移、单调性2018北京高考 T11三角函数的图象与性质2018江苏高考 T7三角函数的对称性高考对本部分内容的考查主要从以下方面进行：1.三角函数的图象，主要涉及图象变换问题以及由图象确定函数解析式问题，主要以选择、填空题的形式考查，有时也会出现大题。2.三角函数的性质，通常是给出函数解析式，先进行三角变换，将其转化为y Asin(x )的形式再研究其性质(如单调性、值域、对称性)，或知道某三角函数的图象或性
2、质求其解析式，再研究其他性质，既有直接考查的客观题，也有综合考查的主观题。考向一 三角函数的图象 【例 1】 (1)(2018天津高考)将函数 ysin 的图象向右平移 个单位长度，(2x 5) 10所得图象对应的函数( )A在区间 上单调递增34， 54B在区间 上单调递减34， C在区间 上单调递增54， 32D在区间 上单调递减32， 2 (2)已知函数 f(x) Asin ( 0)的部分图象如图所示，则下列选项判断( x 6)错误的是( )2A| MN|B f 2(73)C f(x) f 1( x 3)D f f( 3 x) ( 3 x)解析 (1)把函数 ysin 的图象向右平移 个
3、单位长度得函数 g(x)sin(2x 5) 10sin2 x 的图象，由 2 k2 x 2 k( kZ)得2(x10) 5 2 2 k x k( kZ)，令 k1，得 x ，即函数 g(x)sin2 x 的一个单 4 4 34 54调递增区间为 。故选 A。34， 54(2)由图象，可知 A 1。因为 f(x)max1 2，所以fmax fmin2 2 02 1， T 2， f(x)sin 1，| MN| ，A 正确； f sin2 (x 6) T2 (73)1 112，B 正确； f sin 1 2，故 x 是函数图象的对称(73 6) ( 3) ( 3 6) 3轴，D 正确； f(x) f
4、 sin 1sin 1sin sin( x 3) (x 6) ( x 3 6) (x 6)2 2，C 错误。故选 C。( x 6)答案 (1)A (2)C(1)函数图象的平移法则是“左加右减、上加下减” ，但是左右平移变换只是针对 x 作的变换。(2)已知函数 y Asin(x ) B(A0， 0)的图象求解析式。3 A ， B ；ymax ymin2 ymax ymin2由函数的周期 T 求 ，即 T ；2利用“五点法”中相对应的特殊点求 。 变|式|训|练1函数 f(x)sin( x ) 的部分图象如图所示，且 f(0) ，则图(| |0)，y Acos(x )( 0)， y Atan(x
5、 )( 0)的三角函数问题的关键。具体问题中，首先将“ x ”看作一个整体，然后活用相关三角函数的图象与性质求解。 变|式|训|练1函数 f(x)sin 2x2sin xcosx3cos 2x 在 上的单调递增区间是( )(0， 2)A B(0， 4) ( 4， 2)C D(0， 8) ( 8， 4)5解析 f(x)sin 2x2sin xcosx3cos 2xsin2 x12cos 2xsin2 xcos2 x2 sin 22 (2x 4)。解法一：令 2k 2 x 2 k ， kZ，则 k x k ， kZ， 2 4 2 38 8所以函数 f(x)的单调递增区间为 ， kZ，所以结合选项知
6、函数 f(x)k 38， k 8在 上的单调递增区间为 。故选 C。(0， 2) (0， 8)解法二：因为 x ，所以 2x ，当 0)的图象关于点 M 对(54， 0)称，且在区间 上是单调函数，则 的值为_。0， 2解析 因为函数 f(x)sin2 x ( 0)的图象关于点 M 对称，所以(54， 0)sin 0，所以 k， kZ，即 k， kZ。又 f(x)在区间 上是单52 52 25 0， 2调函数，所以 ，即 。又 0，所以 的值为 。T4 4 2 12 25答案 25微考向 2：三角函数的最值【例 3】 已知函数 f(x)2cos 2xsin 2x2，则( )A f(x)的最小正
7、周期为 ，最大值为 3B f(x)的最小正周期为 ，最大值为 4C f(x)的最小正周期为 2，最大值为 3D f(x)的最小正周期为 2，最大值为 4解析 易知 f(x)2cos 2xsin 2x23cos 2x1 (2cos2x1)32 1 cos2x ，则 f(x)的最小正周期为 ，当 x k( kZ)时， f(x)取得最大值，32 32 52最大值为 4。故选 B。答案 B6求三角函数最值的两条基本思路：(1)将问题化为 y Asin(x ) B 的形式，结合三角函数的性质或图象求解；(2)将问题化为关于 sinx 或 cosx 的二次函数的形式，借助二次函数的性质或图象求解。 变|式
8、|训|练函数 f(x)sin 2x cosx 的最大值是_ 。334(x 0， 2)解析 f(x)sin 2x cosx 1cos 2x cosx 21，cos x0,1，当 cosx334 3 34 (cosx 32)时， f(x)取得最大值 1。32答案 1微考向 3：三角函数的奇偶性、周期性、对称性【例 4】 (1)已知 f(x)2sin 2x2sin xcosx，则 f(x)的最小正周期和一个单调递减区间分别为( )A2， B，38， 78 38， 78C2， D， 8， 38 8， 38(2)设函数 f(x)cos ，则下列结论错误的是( )(x 3)A f(x)的一个周期为2B y
9、 f(x)的图象关于直线 x 对称83C f(x)的一个零点为 x 6D f(x)在 单调递减( 2， )解析 (1) f(x)2sin 2x2sin xcosx1cos2 xsin2 x sin 1，则 T2 (2x 4)。由 2 k2 x 2 k( kZ)，得 k x k( kZ)，令22 2 4 32 38 78k0 得 f(x)在 上单调递减。故选 B。38， 787(2)函数 f(x)cos 的最小正周期为 2，所以2 是函数 f(x)的一个周期，(x 3)A 正确；当 x 时， x 3，所以 f cos 1，即 f(x)取得最小值，83 3 (83) (x 3)所以 y f(x)的
10、图象关于直线 x 对称，B 正确； f(x)cos cos83 (x 3)，当 x 时， f cos cos 0 ，C 正确；当 x 时， x(x43) 6 ( 6) ( 6 43) 32 ( 2， ) ， f(x)在 上不具有单调性。故选 D。 3 (56， 43) ( 2， )答案 (1)B (2)D(1)判断对称中心与对称轴的方法利用函数 y Asin(x )的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数图象与 x 轴的交点这一性质，通过检验 f(x0)的值进行判断。(2)求三角函数周期的常用结论 y Asin(x )和 y Acos(x )的最小正周期为 ， ytan( x
11、)的2| |最小正周期为 。| |正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是 个周期，相邻的12对称中心与对称轴之间的距离是 个周期；正切曲线相邻两对称中心之间的距离是 个周期。14 12变|式|训|练1(2018洛阳联考)已知函数 f(x)sin(sin x)cos(sin x)， xR，则下列说法正确的是( )A函数 f(x)是周期函数且最小正周期为 B函数 f(x)是奇函数C函数 f(x)在区间 上的值域为1， 0， 2 2D函数 f(x)在 上是增函数 4， 2解析 f(x)sin(sin x)cos(sin x) sin ，因为 f( x) sin2 (sinx 4)
12、 28 sin f(x)，所以 不是函数 f(x)的最小正周期，故sin x 4 2 ( sinx 4)A 错误； f( x) sin sin f(x)，故 B 错误；当2 sin x 4 2 ( sinx 4)x 时，sin x0,1，sin x ，所以 sin ，则0， 2 4 4， 4 1 (sinx 4) 22， 1sin 1， ，故 C 正确；当 x 时， sinx ，sin x 2 (sinx 4) 2 4， 2 22， 1 4，而 ，所以函数 f(x)在 上不是单调函数，故22 4， 1 4 2 22 4， 1 4 4， 2D 错误。故选 C。答案 C2(2018江苏高考)已知函
13、数 ysin(2 x ) 的图象关于直线 x( 20)平移后得到点 P。若点 P在函数 ysin 的图象上，则( )(2x 3)A t ， m 的最小值为12 6B t ， m 的最小值为12 3C t ， m 的最小值为32 6D t ， m 的最小值为32 3解析 由题可得 P ，又 P在 ysin 的图象上，所以 tsin( 6 m， t) (2x 3)，即 tsin2 m(m0)，因为 P 在函数 ysin2 x 的图象上，所以2( 6 m) 3 ( 6， t)9t ，此时 m 的最小值为 。故选 C。32 6答案 C2(考向一)函数 f(x) Asin(x )(A0， 0，| |0)
14、个单位长度，所得图象对应的函数恰为奇函数，则 的最小值为( )A B 6 12C D 4 3解析 由 y2sin sin 可得 y2sin cos sin ，(x 3) ( 6 x) (x 3) (x 3) (2x 23)该函数的图象向左平移 个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为 g(x)sinsin ，因为 g(x)sin 为奇函数，所以2 x 23 (2x 2 23) (2x 2 23)102 k( kZ)， (kZ)，又 0，故 的最小值为 。故选 A。23 k2 3 6答案 A4(考向二)(2018吕梁一模)将函数 f(x)2sin 的图象向左平移 个单位，(2x 6) 12再向下
15、平移 1 个单位，得到 g(x)的图象，若 g(x1)g(x2)9，且 x1， x22，2，则 2x1 x2的最大值为( )A B5512 5312C D256 174解析 f(x)向左平移 个单位，得到 2sin 2sin ，再向下平移一12 (2x 6 6) (2x 3)个单位，得到 g(x)2sin 1，其最小值为3，由于 g(x1)g(x2)9，故 g(x1)(2x 3) g(x2)3，也就是说 x1， x2是 g(x)的最小值点。要使 2x1 x2取得最大值，即 x1取最大值， x2取最小值。令 2x 2 k ，2 x2 k ， x k ，令 k2，得 3 2 56 512x1 ，令 k1，得 x2 ，所以 2x1 x2的最大值为1912 17122 。故选 A。1912 ( 1712) 5512答案 A5(考向二)(2018濮阳一模)先将函数 f(x)sin x 的图象上的各点向左平移 个单 6位，再将各点的横坐标变为原来的 倍(其中 N *)，得到函数 g(x)的图象，若 g(x)在1区间 上单调递增，则 的最大值为_。 6， 4解析 g(x)sin 在区间 上单调递增，所以有Error!即( x 6) 6， 412k4 8 k ， kZ，由 12k48 k 可得 k ，当 k1 时， ，所以43 43 43 8， 283正整数 的最大值是 9。答案 9
