1、1微专题 2 三角恒等变换、解三角形命 题 者 说考 题 统 计 考 情 点 击2018全国卷T 6解三角形2018全国卷T 15三角恒等变换2018全国卷T 4三角恒等变换2018全国卷T 9解三角形1.高考对此部分的考查一般以“二小”或“一大”的命题形式出现。2.若无解答题，一般在选择题或填空题各有一题，主要考查三角恒等变换、解三角形，难度一般，一般出现在第 49 题或第1315 题位置上。3.高考对本部分内容的考查主要从以下方面进行：(1)利用各种三角函数公式进行求值与化简，其中降幂公式、辅助角公式是考查的重点。(2)利用正、余弦定理进行边和角、面积的计算，三角形形状的判定以及有关范围的
2、计算，常与三角恒等变换综合考查。考向一 三角恒等变换微考向 1：三角函数的定义【例 1】 (2018北京高考)在平面直角坐标系中， ， ， ， 是圆 x2 y21 上的AB CD EF GH 四段弧(如图)，点 P 在其中一段上，角 以 Ox 为始边， OP 为终边。若tan 0，所yx以 P 所在的圆弧是 。故选 C。EF 答案 C当题设条件中出现直线与单位圆相交问题时，可根据三角函数的定义，求函数的解析式或者判断函数的图象，有时可以简化解题过程。 变|式|训|练1已知角 的终边经过点 P( x，6)，且 cos ，则513 _。1sin 1tan解析 因为角 的终边经过点 P( x，6)，
3、且 cos ，所以513cos ，即 x 。所以 P 。所以 sin 。所以 tan xx2 36 513 52 ( 52， 6) 1213 ，则 。sincos 125 1sin 1tan 1312 512 23答案 232(2018全国卷)已知角 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终3边上有两点 A(1， a)， B(2， b)，且 cos2 ，则| a b|( )23A B15 55C D1255解析 由题意知 cos 0。因为 cos2 2cos 2 1 ，所以23cos ，sin ，得|tan | 。由题意知|tan | ，所以56 16 55 |a b1 2|a b|
4、 。故选 B。55答案 B微考向 2：三角函数求角【例 2】 (1)已知 为锐角，若 cos ，则 cos _。( 6) 35 (2 6)(2)已知 sin ，sin( ) ， ， 均为锐角，则角 等于( )55 1010A B 512 3C D 4 6解析 (1)因为 为锐角，cos 0，所以 为锐角，sin ，( 6) 35 6 ( 6) 45而cos cos cos sin2 2sin cos(2 6) 2( 6) 2 2 2( 6) ( 6) ( 6)2 。所以 cos 。( 6) 45 35 2425 (2 6) 2425(2)因为 ， 均为锐角，所以 。又 sin( ) ，所以 2
5、 2 1010cos( ) ，又 sin ，所以 cos ，所以 sin sin ( )31010 55 255sin cos( )cos sin( ) 。所以 ，55 31010 255 ( 1010) 22 4故选 C。答案 (1) (2)C24254(1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现张冠李戴的情况。(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解。
6、 变|式|训|练1(2018全国卷)若 sina ，则 cos2a( )13A B89 79C D79 89解析 cos2 12sin 2 1 。故选 B。29 79答案 B2(2018全国卷)已知 sin cos 1，cos sin 0，则 sin( )_。解析 因为 sin cos 1，cos sin 0，所以sin2 cos 2 2sin cos 1 ，cos 2 sin 2 2cos sin 0 ，得 sin2 cos 2 sin 2 cos 2 2(sin cos cos sin )1，所以 sin( ) 。12答案 12考向二 解三角形微考向 1：利用正、余弦定理进行边角计算【例
7、3】 (1)(2018全国卷)在 ABC 中，cos ， BC1， AC5，则 AB( )C2 55A4 B2 30C D229 5(2)(2018陕西二模)在 ABC 中，内角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c，已知1 ，且 b5， 5，则 ABC 的面积为_。ba c sinCsinA sinB AC AB 5解析 (1)因为 cosC2cos 2 12 21 ，所以C (55) 35c2 a2 b22 abcosC125215 32，所以 c4 。故选 A。(35) 2(2)由 1 及正弦定理可得 1 化简可得 b2 c2 a2 bc，ba c sinCsinA sinB b
8、a c ca b由余弦定理可得 cosA ，故 A 。又 5，即 bccosA5，故 bc10，所以 ABC12 3 AC AB 的面积为 bcsinA 。12 532答案 (1)A (2)532利用正、余弦定理解三角形的思路(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则考虑两个定理都有可能用到。(2)关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角恒等变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一” ，即“统一角、统一函数、统一结构” 。 变|式|训|
9、练1已知 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 ，则 B( )c bc a sinAsinC sinBA B 6 4C D 3 34解析 由 a2 c2 b2 accosB 。c bc a sinAsinC sinB c bc a ac b a2 c2 b22ac 12因为 0B，所以 B 。故选 C。 3答案 C2在 ABC 中，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c。若 bsinA acosB0，且3ac4 ，则 ABC 的面积为 ( )3A B336C2 D43解析 由 bsinA acosB0，得 sinBsinA sinAcosB0，因为 si
10、nA0，所以3 3tanB ，所以 B120 ，所以 ABC 的面积为 acsinB 4 3。故选 B。312 12 3 32答案 B微考向 2：几何图形中的边角计算【例 4】如图，在四边形 ABCD 中， ABD45， ADB30，BC1， DC2，cos BCD ，则 BD_；三角形 ABD 的面积为_。14解析 在 BCD 中，由余弦定理可得BD2 BC2 CD22 BCCDcos BCD14212 4，则 BD2。在 ABD 中，14 BAD1803045105，sin105sin(4560) 22 12 22 32，由正弦定理可得 AD 2( 1)，则 S ABD 2( 1)2 64
11、 BDsin45sin1052222 64 3 12 32sin30 1，故 BD2， ABD 的面积为 1 。3 3答案 2 13几何图形中的边、角计算一般要把几何图形分解为若干三角形，在三角形中利用正、余弦定理解决。 变|式|训|练(2018成都诊断)如图，在直角梯形 ABDE 中，已知 ABD EDB90， C 是 BD 上一点， AB3 ， ACB15 ， ECD60， EAC45，则线段 DE 的长度为3_。7解析 易知 ACE105， AEC30，在直角三角形 ABC 中， AC ，在三ABsin15角形 AEC 中， CE ，在直角三角形 CED 中， DE CEsin60，AC
12、sin30 CEsin45 ACsin45sin30所以 DE CEsin60 6。sin45sin60sin30 ABsin1522 3212 3 36 24答案 6微考向 3：三角形中的最值与范围问题【例 5】 (1)在锐角三角形 ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若满足(a b)(sinAsin B)( c b)sinC，且 a ，则 b2 c2的取值范围是( )3A(5,6 B(3,5)C(3,6 D5,6(2)已知点 O 是 ABC 的内心， BAC60， BC1，则 BOC 面积的最大值为_。解析 (1)因为( a b)(sinAsin B)( c
13、b)sinC，所以由正弦定理可得( a b)(a b)( c b)c，可化为 b2 c2 a2 bc，所以由余弦定理可得 cosA 。因b2 c2 a22bc bc2bc 12为 A ，所以 A ，又因为 a ，所以由正弦定理可得(0， 2) 3 3 2，所以 b2 c2(2sin B)bsinB csin(23 B) 3322 232sin 2B sin2B42sin 。因为 B ，所以2sin(23 B) 3 (2B 6) ( 6， 2)2B ，所以 sin ，所以 b2 c2(5,6。故选 A。 6 ( 6， 56) (2B 6) (12， 18(2)因为 O 是 ABC 的内心， BA
14、C60，所以 BOC180 120，180 602由余弦定理可得 BC2 OC2 OB22 OCOBcos120，即 OC2 OB21 OCOB。又OC2 OB22 OCOB(当且仅当 OC OB 时，等号成立)，所以 OCOB ，所以 S13BOC OCOBsin120 ，则 BOC 面积的最大值为 。12 312 312答案 (1)A (2)312解三角形中的最值与范围问题主要有两种解决方法：一是利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围确定所求式的范围。 变|式|训|练在 ABC 中， M 是 BC 的中点， BM2， AM AB
15、 AC，则 ABC 的面积的最大值为( )A2 B22 3C3 D32 3解析 设 ABC 的内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c。在 ABM 中，由余弦定理得cosB ，在 ABC 中，由余弦定理得 cosB ，所以c2 4 c b 24c c2 16 b28c ，即 b2 c24 bc8，所以 cosA ，所以 sinA c2 4 c b 24c c2 16 b28c 2bc 12bc，所以 S ABC bcsinA ，所以当 bc8 时， S ABC取得1 (2 12bc)2 12 12 3 bc 8 2 48最大值 2 。故选 B。3答案 B1(考向一)如图，角 的始边
16、与 x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点A(x1， y1)，角 的终边与单位圆交于点 B(x2， y2)，记 f( ) y1 y2。若角 23为锐角，则 f( )的取值范围是_。9解析 由题意可知 y1sin ， y2sin sin ，所以 f( )( 23) y1 y2sin sin sin sin cos sin cos sin( 23) 12 32 32 32 3。又因为 为锐角，即 0 ，所以 ，所以( 6) 2 6 6 3 sin ，则 f( ) ，即 f( )的取值范围是 。12 ( 6) 32 32 32 ( 32， 32)答案 (32， 32)2(考向一)已知 tan( )
17、 ，tan ，则 的值为( )25 ( 4) 14 cos sincos sinA B1318 16C D1322 322解析 tan( ) ，tan ，则25 ( 4) 14 tan tan cos sincos sin 1 tan1 tan ( 4 ) ( 4) 。故选 D。tan tan( 4)1 tan tan( 4)25 141 2514 322答案 D3(考向二)如图所示，在 ABC 中， C ， BC4，点 D 在边 AC 上， 3AD DB， DE AB， E 为垂足，若 DE2 ，则 cosA( )210A B64 66C D23 24解析 因为 AD DB，所以 A ABD
18、，所以 BDC2 A。设 AD BD x。在 BCD 中，由 ，可得 。在 AED 中，由 ，可得BCsin BDC BDsinC 4sin2A xsin 3 EDsinA ADsin AED 。联立可得 ，解得 cosA 。故选 A。22sinA x1 42sinAcosA22sinA32 64答案 A4(考向二)在 ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c，若 a2 b22 c2，则角 C 的取值范围是_。解析 因为 a2 b22 c22 ab(当且仅当 a b 时等号成立)，所以 c2 ab，所以由余弦定理可得 cosC ，又因为 C(0，)，所以 C 。a2 b
19、2 c22ab c22ab ab2ab 12 (0， 3答案 (0， 35(考向二)在 ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c，若 sinC，且 c2 ，则 a b 的最大值为_。asinA bsinB csinCasinB 233 3解析 因为 sinC，所以 sinC2cos C，可asinA bsinB csinCasinB 233 a2 b2 c2ab 233得 tanC 。由 C(0，) ，得 C ，所以 4，所以3 3 asinA bsinB 23sin 3a4sin A， b4sin B，则 a b4sin A4sin 4 sin 。因为(23 A) 3 (A 6)11A ，所以 A ，所以 sin ，所以 a b4 ，当 A(0，23) 6 ( 6， 56) (A 6) (12， 1 3时取等号。 3答案 4 3
