1、- 1 -2018-2019 学年度第二学期开学考试高二理科数学试题本试卷共 150分，考试时间 120分钟。一、选择题(共 12小题,每小题 5分,共 60分) 1.在 ABC中，若 p： A60， q：sin A ，则 p是 q的( )A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件2.已知 p： x22 x30； q： 1，若 p且 q为真，则 x的取值范围是( )A (1,2) B (1,3) C (3，) D (，2)3.设 xZ，集合 A是奇数集，集合 B是偶数集若命题 p： x A, 2x B，则( )A p： x A,2x BB p： x A,2x BC
2、 p： x0 A,2x0 BD p： x0 A,2x0 B4.已知两点 A( ，0)， B( ，0)，点 P为平面内一动点，过点 P作 y轴的垂线，垂足为Q，且 2 2，则动点 P的轨迹方程为( )A x2 y22 B y2 x22 C x22 y21 D 2 x2 y215.设 P是椭圆 1 上一动点， F1， F2是椭圆的两个焦点，则 cos F1PF2的最小值是( )A B C D 6.已知双曲线 1( a0， b0)的左、右焦点分别为 F1， F2，点 P在双曲线的右支上，且|PF1|4| PF2|，则此双曲线的离心率 e的最大值为( )- 2 -A B C 2 D7.已知 P为抛物线
3、 y24 x上一个动点， Q为圆 x2( y4) 21 上一个动点，那么点 P到点 Q的距离与点 P到抛物线的准线距离之和的最小值是( )A 2 1 B 2 2 C 1 D 28.已知 P为空间中任意一点， A、 B、 C、 D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且 x ，则实数 x的值为( )A B C D 9.如图所示，在三棱柱 ABC-A1B1C1中， AA1底面 ABC， AB BC AA1， ABC90，点 E， F分别是棱 AB， BB1的中点，则直线 EF和 BC1的夹角是( )A 45 B 60 C 90 D 12010.二面角的棱上有 A、 B两点，直线 AC、 BD分别在
4、这个二面角的两个半平面内，且都垂直于 AB.已知 AB4， AC6， BD8， CD2 ，则该二面角的大小为( )A 150 B 45 C 60 D 12011. 已知函数 f(x)在 x0处的导数为 1，则 等于( )A 2 B 2 C 1 D 112. 如图，函数的图象在 P点处的切线方程是 y x8，若点 P的横坐标是 5，则 f(5) f(5)等于( )- 3 -A B 1 C 2 D 0二、填空题(共 4小题,共 20分) 13.已知 p： a4 x a4； q：( x2)(3 x)0.若 p是 q的充分不必要条件，则实数 a的取值范围为_14.过原点作曲线 ye x的切线，则切点的
5、坐标为_15.已知函数 f(x)ln x ax1 在 ，e内有零点，则 a的取值范围为_16.如图， F是椭圆 1( ab0)的一个焦点， A， B是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率为.点 C在 x轴上， BC BF， B， C， F三点确定的圆 M恰好与直线 l1： x y30 相切，则椭圆的方程为_三、解答题(共 6小题 ,共 70分) 17.（10 分）已知命题 p： xR， x2( a1) x10 成立，命题q： x0 R， 2 ax030 不成立，若 p假且 q真，求实数 a的取值范围18. （12 分）求满足下列各条件的椭圆的标准方程(1)长轴长是短轴长的 2倍且经过点 A(2,0)；
6、(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为 .19. （12 分）已知双曲线 1( a0， b0)的离心率为 2，焦点到渐近线的距离等于 ，过右焦点 F2的直线 l交双曲线于 A， B两点， F1为左焦点- 4 -(1)求双曲线的方程；(2)若 F1AB的面积等于 6 ，求直线 l的方程20. （12 分）如图所示，正方形 AA1D1D与矩形 ABCD所在平面互相垂直， AB2 AD2，点 E为 AB的中点(1)求证： BD1平面 A1DE；(2)求证： D1E A1D；(3)在线段 AB上是否存在点 M，使二面角 D1 MC D的大小为 ？若存在，求出 AM的长；若
7、不存在，请说明理由21. （12 分）已知函数 f(x)( ax x2)ex.(1)当 a2 时，求 f(x)的单调递减区间；(2)若函数 f(x)在(1,1上单调递增，求 a的取值范围；(3)函数 f(x)是否可为 R上的单调函数？若是，求出 a的取值范围，若不是，说明理由22. （12 分）已知函数 f(x) x33 x及 y f(x)上一点 P(1，2)，过点 P作直线 l.(1)求使直线 l和 y f(x)相切且以 P为切点的直线方程；(2)求使直线 l和 y f(x)相切且切点异于点 P的直线方程 y g(x)- 5 -答案1.A2.A3.D4.B5.D6.B7.C8.A9.B10.
8、C11. A12. C13.1,614.(1，e)15.0,116. 117. 解 由于命题 p： xR ， x2( a1) x10 是假命题，所以命题 p： x0R， ( a1) x010 是真命题，得 ( a1) 240，即( a1)24， a12 或 a12， a1 或 a3.由于命题 q： x0R， 2 ax030 不成立，所以命题 q： xR， ax22 ax30 成立，当 a0 时，30 成立；当 a0 时， (2 a)212 a0，即 a23 a0，解得3 a0，3 a0.综上所述，实数 a的取值范围是 a|3 a118. 解 (1)若椭圆的焦点在 x轴上，- 6 -设椭圆的标准
9、方程为 1( ab0)，椭圆过点 A(2,0)， 1， a2，2 a22 b， b1，椭圆的标准方程为 y21.若椭圆的焦点在 y轴上，设椭圆的标准方程为 1( ab0)，椭圆过点 A(2,0)， 1， b2,2 a22 b， a4，椭圆的标准方程为 1.综上所述，椭圆的标准方程为 y21 或 1.(2)由已知得 从而 b29，所求椭圆的标准方程为 1 或 1.19. 解 (1)依题意， b ， 2 a1， c2，双曲线的方程为 x2 1.(2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由(1)知 F2(2,0)易验证当直线 l斜率不存在时不满足题意故可设直线 l： y k (x2)，由
10、消元得( k23) x24 k2x4 k230，当 k 时， x1 x2 ， x1x2 ， y1 y2 k(x1 x2)， F1AB的面积S c|y1 y2|2| k|x1 x2|2| k| 12| k| 6，得 k48 k290，则 k1.所以直线 l方程为 y x2 或 y x2.20.(1)证明 由题意可得 D1D平面 ABCD，以 D为坐标原点， DA， DC， DD1所在直线分别为 x轴， y轴， z轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz，- 7 -则 D(0,0,0)， C(0,2,0)，A1(1,0,1)， D1(0,0,1)， B(1,2,0)， E(1,1，0)(1,0,
11、1)， (1,1,0)，设平面 A1DE的一个法向量为 n1( x1， y1， z1)，则 得取 x11，则 n1(1，1，1)是平面 A1DE的一个法向量，又 (1，2,1)，且 n1(1，2,1)(1，1，1)0，故 n1，又 BD1不在平面 A1DE内，故BD1平面 A1DE.(2)证明 由题意得 (1,1，1)，(1,0，1)， (1,1，1)(1,0，1)0， ，故 D1E A1D.(3)解 线段 AB上存在点 M，使二面角 D1 MC D的大小为 .设 M(1， y0，0)(0 y02)，因为 (1,2 y0，0)， (0,2，1)，设平面 D1MC的一个法向量为 v1( x， y
12、， z)，则 得取 y1，则 v1(2 y0，1,2)是平面 D1MC的一个法向量，而平面 MCD的一个法向量为 v2(0,0,1)，要使二面角 D1 MC D的大小为 ，则 cos |cos v1， v2| ，- 8 -解得 y02 (0 y02)所以当 AM2 时，二面角 D1 MC D的大小为 .21. 解 (1)当 a2 时， f(x)(2 x x2)ex.f( x)(22 x)ex(2 x x2)ex，(2 x2)ex，令 f( x) ，所以函数 f(x)的单调递减区间为(， )和( ，)(2)函数 f(x)在(1,1上单调递增，所以 f( x)0，对于 x(1,1都成立，即 f(
13、x) a( a2) x x2ex0，对于 x(1,1都成立，故有 a x1 ，令 g(x) x1 ，则 g( x)1 0，故 g(x)在(1,1上单调递增， g(x)max g(1) ，所以 a的取值范围是 ，)(3)假设 f(x)为 R的上单调函数，则为 R的上单调递增函数或单调递减函数若函数 f(x)为 R上单调递增函数，则 f( x)0，对于 xR 都成立，即 a( a2) x x2ex0 恒成立由 ex0， x2( a2) x a0 对于 xR 都恒成立，由 h(x) x2( a2) x a是开口向上的抛物线，则 h(x)0 不可能恒成立，所以 f(x)不可能为 R上的单调增函数若函数
14、 f(x)为 R上单调递减函数，则 f( x)0，对于 xR 都成立，即 a( a2) x x2ex0 恒成立，由 ex0， x2( a2) x a0 对于 xR 都恒成立，故由 ( a2) 24 a0，整理得 a240，显然不成立，所以， f(x)不能为 R上的单调递减函数综上，可知函数 f(x)不可能为 R上的单调函数- 9 -22.解 (1) y 3 x23.则过点 P且以 P(1，2)为切点的直线的斜率k1 f(1)0，所求直线方程为 y2.(2)设切点坐标为( x0， 3 x0)，则直线 l的斜率 k2 f( x0)3 3，直线 l的方程为 y( 3 x0)(3 3)( x x0)，又直线 l过点 P(1，2)，2( 3 x0)(3 3)(1 x0)， 3 x02(3 3)( x01)，解得 x01(舍去)或 x0 ，故所求直线斜率 k3 3 ，于是 y(2) (x1)，即 y x .
