1、1第 1 课时 二倍角的三角函数学习目标 1.会用两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变形运用知识点 二倍角公式思考 1 根据前面学过的两角和与差的正弦、余弦、正切公式，你能推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式吗？答案 sin2 sin( )sin cos cos sin2sin cos ；cos2 cos( )cos cos sin sin cos 2 sin 2 ；tan2 tan( ) .2tan1 tan2思考 2 根据同角三角函数的基本关系式 sin2 cos 2 1，你能否只用 sin 或 cos
2、表示 cos2 ？答案 cos2 cos 2 sin 2 cos 2 (1cos 2 )2cos 2 1；或 cos2 cos 2 sin 2 (1sin 2 )sin 2 12sin 2 .梳理 (1)倍角公式sin2 2sin cos .(S2 )cos2 cos 2 sin 2 12sin 22cos 2 1.(C 2 )tan2 .(T2 )2tan1 tan2(2)二倍角公式的重要变形升幂公式1cos2 2cos 2 ，1cos2 2sin 2 ，1cos 2cos 2 ,1cos 2sin 2 . 2 21sin 2sin cos .( ) 2 22cos4 cos 22 sin
3、22 .( )3对任意角 ，tan2 .( )2tan1 tan22提示 公式中所含各角应使三角函数有意义如 及 ，上式均无意义 4 2类型一 给角求值例 1 求下列各式的值：(1)cos72cos36；(2) cos215；(3) ；(4) .13 23 1 tan275tan75 1sin10 3cos10解 (1)cos36cos722sin36cos36cos722sin36 .2sin72cos724sin36 sin1444sin36sin364sin3614(2) cos215 (2cos2151) cos30 .13 23 13 13 36(3) 2 2 2 .1 tan275
4、tan75 1 tan2752tan75 1tan150 3(4) 1sin10 3cos10cos10 3sin10sin10cos102(12cos10 32sin10)sin10cos10 4.4sin30cos10 cos30sin102sin10cos10 4sin20sin20反思与感悟 对于给角求值问题，一般有两类(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式
5、的形式跟踪训练 1 求下列各式的值：(1)cos cos cos ；(2) .27 47 67 1sin50 3cos50解 (1)原式2sin 27cos 27cos 47cos 672sin 273 sin 47cos 47cos 672sin 27sin 87cos 674sin 27 .sin 7cos 74sin 27sin 278sin 27 18(2)原式 4.cos 50 3sin 50sin 50cos 502(12cos 50 32sin 50)122sin 50cos 50 2sin 8012sin 1002sin 8012sin 80类型二 给值求值例 2 已知 tan
6、 2.(1)求 tan 的值；( 4)(2)求 的值sin2sin2 sin cos cos2 1解 (1)tan 3.( 4)tan tan 41 tan tan 4 2 11 21(2)sin2sin2 sin cos cos2 12sin cossin2 sin cos 2cos2 1.2tantan2 tan 2 224 2 2反思与感悟 (1)条件求值问题常有两种解题途径：对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论(2)一个重要结论：(sin cos )21sin 2 .跟踪训练 2
7、 若 tan ，则 cos2 2sin2 .34答案 6425解析 cos 2 2sin 2 .cos2 4sin cos cos2 sin2 1 4tan 1 tan24把 tan 代入，得34cos2 2sin 2 .1 4341 (34)242516 6425类型三 利用倍角公式化简例 3 化简 .2cos2 12tan( 4 )sin2( 4 )解 方法一 原式2cos2 12sin( 4 )cos( 4 )sin2( 4 ) 2cos2 12sin( 4 )cos( 4 )cos2( 4 ) 2cos2 1sin( 2 2 ) 1.cos2cos2方法二 原式cos221 tan1
8、tan (22sin 22cos )2cos2cos sincos sin sin cos 2 1.cos2cos sin cos sin cos2cos2 sin2反思与感悟 (1)对于三角函数式的化简有下面的要求：能求出值的应求出值使三角函数种数尽量少使三角函数式中的项数尽量少尽量使分母不含有三角函数尽量使被开方数不含三角函数(2)化简的方法：弦切互化，异名化同名，异角化同角降幂或升幂5一个重要结论：(sin cos )21sin2 .跟踪训练 3 化简： ，则 . 4 2 1 sin2答案 sin cos 解析 ，sin cos ，( 4， 2) 1 sin2 1 2sin cos si
9、n2 2sin cos cos2 sin cos .sin cos 21. sin cos 的值为12 12 12答案 18解析 原式 sin .14 6 182sin 4 cos 4 .12 12答案 32解析 原式 (sin212 cos212) (sin212 cos212) cos .(cos212 sin212) 6 323. .tan7.51 tan27.5答案 132解析 tan7.51 tan27.512 2tan7.51 tan27.5 tan15 tan(4530) 1 .12 12 121 331 33 324设 sin2 sin ， ，则 tan2 的值是( 2， )答
10、案 36解析 sin2 sin ，sin (2cos 1)0，又 ，( 2， )sin 0,2cos 10 即 cos ，sin ，tan ，12 32 3tan2 .2tan1 tan2 231 32 35化简： .11 tan 11 tan解 原式 tan2 .1 tan 1 tan 1 tan 1 tan 2tan1 tan21对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8 是 4 的二倍；6 是 3 的二倍；4 是 2 的二倍；3 是 的二倍； 是 的32 2 4二倍； 是 的二倍； (nN *) 3 6 2n 22n 12二倍角余弦公式的运用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应
11、用广泛二倍角的常用形式：1cos2 2cos 2 ；cos 2 ；1cos2 2sin 2 ；sin 2 1 cos22.1 cos22一、填空题12sin 222.51.答案 22解析 原式cos45 .222已知 是第三象限角，cos ，则 sin2 .513答案 120169解析 由 是第三象限角，且 cos ，5137得 sin ，1213所以 sin 2 2sin cos 2 .(1213) ( 513) 1201693sin6sin42sin66sin78.答案 116解析 原式sin6cos48cos24cos12sin6cos6cos12cos24cos48cos6 .sin9
12、616cos6 cos616cos61164若 tan ，则 cos2 .13答案 45解析 tan ，则 cos2 cos 2 sin 213 .cos2 sin2cos2 sin2 1 tan21 tan2 455如果|cos | ， 0，cos sin 0，|cos |sin |，cos 2 cos 2 sin 2 0，cos 2 1 sin22 .1 ( 23)2 1 49 539若 cos ，则 sin2 .( 4 ) 35答案 725解析 因为 sin2 cos 2cos 2 1，( 2 2 ) ( 4 )9又因为 cos ，所以 sin2 2 1 .( 4 ) 35 925 72
13、510设 是第二象限角， P(x,4)为其终边上的一点，且 cos ，则 tan2 .x5答案 247解析 cos ，xx2 42 x5 x29， x3.又 是第二象限角， x3，cos ，sin ，35 45tan ，tan 2 .432( 43)1 ( 43)2 831 169 83 79 24711已知 tanx2，则 tan2 .(x 4)答案 3412若 tan ， ，则 sin 2cos cos2 的值为1tan 103 ( 4， 2) (2 4) 4答案 0解析 由 tan ，得 tan 或 tan 3.1tan 103 13又 ，tan 3.( 4， 2)sin ，cos .3
14、10 110sin 2cos cos2(2 4) 4sin 2 cos cos 2 sin 2cos cos2 4 4 4 2sin cos (2cos2 1) cos222 22 2 sin cos 2 cos2 2 222 2 22310 110 2 (110) 2210 0.5210 22二、解答题13已知角 在第一象限且 cos ，求 的值351 2cos(2 4)sin( 2)解 cos 且 在第一象限，sin .35 45cos2 cos 2 sin 2 ，725sin2 2sin cos ，2425原式1 2(cos2 cos 4 sin2 sin 4)cos .1 cos2 s
15、in2cos 145三、探究与拓展14等腰三角形一个底角的余弦值为 ，那么这个三角形顶角的正弦值为23答案 459解析 设 A 是等腰 ABC 的顶角，则 cosB ，sin B .23 1 cos2B 1 (23)2 53所以 sinAsin(1802 B)sin2 B2sin BcosB2 .53 23 45915已知 sin22 sin2 cos cos2 1， ，(0， 2)求 sin 及 tan 的值解 由题意得 sin22 sin2 cos 1cos2 2cos 2 ，所以 2sin2 cos2 sin cos2 cos 2 0.因为 ，所以 cos 0，(0， 2)所以 2sin2 sin 10，即(2sin 1)(sin 1)0.因为 sin 10，所以 2sin 10，所以 sin .1211因为 0 ，所以 ，所以 tan . 2 6 33
