1、1第 2 课时 二倍角的三角函数的应用学习目标 1.进一步熟练掌握二倍角公式的特征及正用、逆用.2.掌握二倍角公式的变形即降幂公式的特征.3.会用二倍角公式进行三角函数的一些简单的恒等变换知识点 降幂公式思考 如何用 cos 表示 sin2 ，cos 2 ？ 2 2答案 cos 2cos 2 112sin 2 ， 2 2sin 2 ，cos 2 . 2 1 cos2 2 1 cos2梳理 降幂公式(1)sin2 . 2 1 cos2(2)cos2 . 2 1 cos2(3)tan2 . 2 1 cos1 cos类型一 化简求值例 1 (1)化简 cos2( 15)cos 2( 15) cos2
2、 ；32(2)已知 ，化简：32 .1 sin1 cos 1 cos 1 sin1 cos 1 cos解 (1)cos 2( 15)cos 2( 15) cos232 cos21 cos2 152 1 cos2 152 321 cos(2 30)cos(2 30) cos212 3221 (cos2 cos30sin2 sin30cos2 cos30sin2 sin30) cos212 321 2cos2 cos30 cos212 321 cos2 cos2 1.32 32(2) ， ，32 2 2 34原式 (sin 2 cos 2)2 2cos 2 2sin 2(sin 2 cos 2)2
3、 2cos 2 2sin 2 22(sin 2 cos 2) 22(sin 2 cos 2) cos .2 2跟踪训练 1 (1)化简 sin2( 15)sin 2( 15) cos2 ；32(2)求证：tan 2x .1tan2x 23 cos4x1 cos4x(1)解 原式 cos21 cos2 302 1 cos2 302 321 cos(2 30)cos(2 30) cos212 321 (2cos2 cos30) cos212 321 cos2 cos2 1.32 32(2)证明 左边 sin2xcos2x cos2xsin2x sin4x cos4xsin2xcos2x sin2x
4、 cos2x2 2sin2xcos2xsin2xcos2x 1 2sin2xcos2xsin2xcos2x1 12sin22x14sin22x1 121 cos4x2181 cos4x3 右边，23 cos4x1 cos4x等式成立类型二 与三角函数性质有关的问题例 2 已知函数 f(x) sin 2sin 2 (x R)3 (2x 6) (x 12)(1)求函数 f(x)的最小正周期；(2)求使函数 f(x)取得最大值的 x 的集合解 (1) f(x) sin 2sin 23 (2x 6) (x 12) sin 1cos3 2(x12) 2(x 12)2 132sin 2(x 12) 12c
5、os 2(x 12)2sin 12(x12) 62sin 1， T .(2x 3) 22(2)当 f(x)取得最大值时，sin 1，(2x 3)有 2x 2 k (kZ)，即 x k (kZ)， 3 2 512所求 x 的集合为Error!.反思与感悟 (1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提(2)充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供了保障跟踪训练 2 已知函数 f(x)sin 2xsin 2 ， xR.(x 6)(1)求 f(x)的最小正周期；(2)求 f(x)在区间
6、 上的最大值和最小值 3， 4解 (1)由已知，得 f(x) 1 cos2x2 1 cos(2x 3)2 cos2x12(12cos2x 32sin2x) 124 sin2x cos2x34 14 12(32sin2x 12cos2x) sin .12 (2x 6)所以 f(x)的最小正周期 T .22(2)因为 f(x)在区间 上是单调减函数，在区间 上是单调增函数， f 3， 6 6， 4 ， f ， f .所以 f(x)在区间 上的最大值为 ，最小( 3) 14 ( 6) 12 ( 4) 34 3， 4 34值为 .12类型三 三角函数在实际问题中的应用例 3 点 P 在直径 AB1 的
7、半圆上移动，过 P 作圆的切线 PT 且 PT1， PAB ，问 为何值时，四边形 ABTP 面积最大？解 如图所示， AB 为直径， APB90， AB1，PAcos ， PBsin .又 PT 切圆于 P 点， TPB PAB ，作 BC PT 于点 C. S 四边形 ABTP S PAB S TPB PAPB PTBC12 12 PAPB PTPBsin12 12 sin cos sin212 12 sin2 (1cos2 )14 14 (sin2 cos2 )14 14 sin .24 (2 4) 14500，tan 3，求 tan 的值 2 2解 tan 3， 3，2tan 21 t
8、an2 2即 3tan2 2tan 30， 2 2tan 或 tan . 2 13 103 2 13 103cos 0， 为第三象限角， 为第四象限角， 2 2tan 0，tan . 2 2 13 10312已知函数 f(x)2 cosxsinx2cos 2x.3(1)求 f 的值；(43)(2)当 x 时，求函数 f(x)的值域0， 2解 (1)因为 f(x) sin2x2cos 2x3 sin2xcos2 x132sin 1，所以 f 2sin 1(2x 6) (43) (83 6)2sin 12sin 12sin 12.176 56 6(2)由(1)得 f(x)2sin 1，(2x 6)
9、因为 x ，所以 2x ，0， 2 6 6， 76所以 sin 1，12 (2x 6)所以 02sin 13，即 f(x)的值域是0,3(2x 6)13已知函数 f(x)cos cos ， g(x) sin2x .( 3 x) ( 3 x) 12 1411(1)求函数 f(x)的最小正周期；(2)求函数 h(x) f(x) g(x)的最大值，并求使 h(x)取得最大值时 x 的集合解 (1) f(x) (12cosx 32sinx) (12cosx 32sinx) cos2x sin2x14 34 cos2x ，1 cos2x8 31 cos2x8 12 14 f(x)的最小正周期为 T .22(2)h(x) f(x) g(x) cos2x sin2x cos ，12 12 22 (2x 4)当 2x 2 k( kZ)时， h(x)有最大值 . 4 22此时 x 的取值集合为Error!.
