1、第四章 三角函数、解三角形,4.1 任意角、弧度制及任意角 的三角函数,-3-,-4-,知识梳理,双击自测,1.角的概念的推广 (1)定义:角可以看成平面内的一条射线绕着 从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. (2)分类,(3)终边相同的角:所有与角终边相同的角,连同角在内,可构成一个集合 . (4)象限角:使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,角的终边在第几象限,就说这个角是 .如果角的终边在坐标轴上,那么这个角不属于任何一个象限.,端点,正角 负角 零角,象限角,S=|=+k360,kZ,第几象限角,-5-,知识梳理,双击自测,2.弧度制的定义和公式 (1)定义:把长
2、度等于 的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.弧度记作rad. (2)公式:,半径长,|r,-6-,知识梳理,双击自测,3.任意角的三角函数 (1)三角函数定义:设P(x,y)是角终边上任一点,且|PO|=r(r0),则有 ,它们都是以角为 ,以比值为 的函数. (2)三角函数符号:三角函数在各象限内的正值口诀是:一全正、二正弦、三正切、四余弦.,自变量,函数值,-7-,知识梳理,双击自测,(3)三角函数的几何意义(三角函数线):如图所示,各象限内的正弦线为 、余弦线为 、正切线为 .,MP,OM,AT,-8-,知识梳理,双击自测,1.已知角=45+k180,kZ,则角的终边落在( ) A.第一或第
3、三象限 B.第一或第二象限 C.第二或第四象限 D.第三或第四象限,答案,解析,-9-,知识梳理,双击自测,2.已知扇形的周长是6 cm,面积是2 cm2,则扇形的圆心角的弧度数是( ) A.1 B.4 C.1或4 D.2或4,答案,解析,-10-,知识梳理,双击自测,3.如果sin 0,且cos 0,那么是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角,答案,解析,-11-,知识梳理,双击自测,4.(教材改编)一条弦的长等于半径,这条弦所对的圆心角大小为弧度.,答案,解析,-12-,知识梳理,双击自测,答案,解析,-13-,知识梳理,双击自测,自测点评 1.将角的概念
4、推广到任意角后,角既有大小之分又有正负之别,按逆时针旋转的为正角,按顺时针旋转的为负角.角度制与弧度制不能在同一式子中出现. 2.当判定角的终边所在的象限时,要注意对k进行分类讨论.,-14-,考点一,考点二,考点三,象限角、三角函数值的符号判断(考点难度),【例1】 (1)若是第三象限的角,则- 是( ) A.第一或第二象限的角 B.第一或第三象限的角 C.第二或第三象限的角 D.第二或第四象限的角,答案,解析,-15-,考点一,考点二,考点三,(2)终边落在射线y= x(x0)上的角构成的集合有以下四种表示形式:,其中正确的是( ) A. B. C. D.,答案,解析,-16-,考点一,考
5、点二,考点三,(3)给出下列命题: 第二象限角大于第一象限角; 三角形的内角是第一象限角或第二象限角; 不论是用角度制还是用弧度制度量一个角,它们与扇形的半径的大小无关; 若sin =sin ,则与的终边相同; 若cos 0,则是第二象限或第三象限的角. 其中正确命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4,答案,解析,-17-,考点一,考点二,考点三,方法总结1.利用终边相同的角的集合S=|=2k+,kZ判断一个角所在的象限时,只需把这个角写成0,2)范围内的一个角与2的整数倍的和,然后判断角的象限. 2.熟记各个三角函数在每个象限内的符号是判断的关键,对于已知三角函数式符号判断角所在
6、象限时,可分两步进行:第一步,根据三角函数式的符号确定各三角函数值的符号;第二步,判断角所在象限.,-18-,考点一,考点二,考点三,对点训练(1)已知角和角的终边关于直线y=x对称,且=- ,则角= .,答案,解析,-19-,考点一,考点二,考点三,(2)如果点P(sin cos ,2cos )位于第三象限,试判断角所在的象限; 若角是第二象限角,试判断sin(cos )的符号.,解:因为点P(sin cos ,2cos )位于第三象限,所以sin(cos )0.所以sin(cos )的符号是负号.,-20-,考点一,考点二,考点三,扇形弧长、面积公式的应用(考点难度) 【例2】 已知一扇形
7、的圆心角为,半径为R,弧长为l. (1)若=60,R=10 cm,求扇形的弧长l; (2)已知扇形的周长为10 cm,面积是4 cm2,求扇形的圆心角; (3)若扇形周长为20 cm,当扇形的圆心角为多少弧度时,这个扇形的面积最大?,-21-,考点一,考点二,考点三,(3)由已知得,l+2R=20.,所以当R=5时,S取得最大值25,此时l=10,=2.,方法总结1.在弧度制下,计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷. 2.求扇形面积的最值应从扇形面积公式出发,在弧度制下使问题转化为关于的函数,利用基本不等式或二次函数求最值的方法求最值.,-22-,考点一,考点二,考点三,对点训练已知一
8、扇形的周长为10 cm,面积为4 cm2,则该扇形圆心角的弧度数= .,答案,解析,-23-,考点一,考点二,考点三,三角函数定义的应用(考点难度) 考情分析从近五年高考来看,单独考查三角函数定义的问题比较少且难度较低;常结合三角函数的基础知识及三角恒等变形进行考查,题目有一定难度.题目的常见类型有:(1)直接应用三角函数定义求三角函数值;(2)利用三角函数的几何意义,即三角函数线求三角不等式中角的范围.,-24-,考点一,考点二,考点三,答案,解析,-25-,考点一,考点二,考点三,(2)已知角的终边经过点P(- ,m)(m0),且sin = m,试判断角所在的象限,并求cos 和tan 的
9、值.,-26-,考点一,考点二,考点三,类型二 利用三角函数线解三角不等式,答案,解析,-27-,考点一,考点二,考点三,答案,解析,-28-,考点一,考点二,考点三,方法总结1.利用三角函数定义求角的三角函数值,需确定三个量:角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x、纵坐标y、该点到原点的距离r.若题目中已知角的终边在一条直线上,此时要注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同). 2.利用三角函数线解三角不等式的步骤:(1)确定区域的边界;(2)确定区域;(3)写出解集.,-29-,考点一,考点二,考点三,对点训练(1)(2017浙江绍兴市期中改编)设是第二象限角,P(x,4)为其终边
10、上的一点,且cos = x,则tan = .,答案,解析,-30-,考点一,考点二,考点三,(2)(2018绍兴模拟)已知角A是ABC的一个内角,且tan A- 0,则sin A的取值范围是( ),答案,解析,-31-,审题指导挖掘隐含条件寻找等量关系 审题是答题过程中的第一步,是做好题的基础.审题过程中不但要弄清楚题目所给已知条件,还要挖掘其隐含条件.,-32-,【典例】 如图,在平面直角坐标系xOy中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点P的位置在(0,0),圆在x轴上沿正向滚动,当圆滚动到圆心位于(2,1)时, 的坐标为 .,审题要点:(1)已知条件:滚动后的圆心坐标(2,
11、1)和圆半径长为1;(2)隐含条件:点P转动的弧长是2;(3)等量关系:点P转动的弧长等于弧长所对的圆心角;(4)解题思路:如图,求点P坐标可借助已知的点C的坐标(2,1),寻求C点纵、横坐标增(减)多少单位长度来求P点纵、横坐标,通过在直角三角形中利用三角函数定义求增(减)的量.,-33-,答案:(2-sin 2,1-cos 2) 解析:如图,作CQx轴,PQCQ,Q为垂足.根据题意得劣弧 =2,则DCP=2.,-34-,答题指导1.解决本例应抓住在旋转过程中角的变化,结合弧长公式、解三角形等知识来解决. 2.审题的关键是在明确已知条件的基础上,寻找出隐含条件;解题的关键是依据已知量寻求未知
12、量,通过未知量的转化探索解题突破口.,-35-,对点训练 如图,A,B是单位圆上的两个质点,点B坐标为(1,0),BOA=60.质点A以1 rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动,质点B以1 rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动.(1)求经过1 s后,BOA的弧度. (2)求质点A,B在单位圆上第一次相遇所用的时间.,-36-,高分策略1.锐角一定是小于90的角,但小于90的角不一定是锐角. 2.相等的角终边一定相同,但终边相同的角却不一定相等. 3.在同一个式子中,不能同时出现角度制与弧度制. 4.已知三角函数值的符号求角的终边位置时,不要遗忘终边在坐标轴上的情况. 5.三角函数线的长度表示三角函数值的绝对值,方向表示三角函数值的正负.,
