1、1考点规范练 21 解三角形应用举例基础巩固组1.在相距 2 km的 A,B两点处测量目标点 C,若 CAB=75, CBA=60,则 A,C两点之间的距离为( )A km B km C km D.2 km. 6 . 2 . 3答案 A解析 如图,在 ABC中,由已知可得 ACB=45, ,AC= 2 (km).ACsin60= 2sin45 232= 62.在地平面上有一旗杆 OP(O在地面),为了测得它的高度 h,在地平面上取一基线 AB,测得其长为 20 m,在A处测得点 P的仰角为 30,在 B处测得点 P的仰角为 45,又测得 AOB=30,则旗杆的高 h等于( )A.10 m B.
2、20 m C.10 m D.20 m3 3答案 B解析 由题意得 PAO=30, PBO=45,AO= h,BO=h,3所以 AB2=202=( h)2+h2-2 hhcos30,3 3因此 h2=400,h=20.故选 B.3.一艘游轮航行到 A处时看灯塔 B在 A的北偏东 75,距离为 12 海里,灯塔 C在 A的北偏西630,距离为 12 海里,该游轮由 A沿正北方向继续航行到 D处时再看灯塔 B在其南偏东 60方向,则3此时灯塔 C位于游轮的( )A.正西方向 B.南偏西 75方向C.南偏西 60方向 D.南偏西 45方向答案 C2解析 如图,在 ABD中, B=45,由正弦定理有 =
3、24 ,AD=24.ADsin45= ABsin60=12632 2在 ACD中,由余弦定理有 CD2=AC2+AD2-2ACADcos30,因为 AC=12 ,AD=24,所以 CD=12,3由正弦定理有 ,sin CDA= ,CDsin30= ACsin CDA 32故 CDA=60或 120.因 ADCD,故 CDA为锐角,所以 CDA=60,故选 C.4.某大学的大门蔚为壮观,有个学生想搞清楚门洞拱顶 D到其正上方点 A的距离,他站在地面 C处,利用皮尺量得 BC=9 m,利用测角仪测得仰角 ACB=45,测得仰角 BCD后通过计算得到 sin ACD=,则 AD的距离为( )2626
4、A.2 m B.2.5 m C.3 m D.4 m答案 C解析 设 AD=xm,则 BD=(9-x)m,CD= m.92+(9-x)2在 ACD中应用正弦定理得 ,CDsin DAC= ADsin ACD即 ,92+(9-x)222 = x2626则 292+(9-x)2=26x2,整理,得 2x2+3x-27=0,即(2 x+9)(x-3)=0,解得 x=3(m).5.如图,要测量底部不能到达的电视塔的高度,选择甲、乙两观测点 .在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为 45,30,在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为 120,甲、乙两地相距 500 m,则电视塔的高度是( )A
5、.100 m B.400 m2C.200 m D.500 m3答案 D3解析 设塔高为 xm,则由已知可得 BC=xm,BD= xm,由余弦定理可得 BD2=BC2+CD2-2BCCDcos BCD,3即 3x2=x2+5002+500x,解得 x=500(m).6.在 200 m高的山顶上,测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是 30,60,则塔高为 m. 答案4003解析 如图,由已知可得 BAC=30, CAD=30, BCA=60, ACD=30, ADC=120.又 AB=200m,AC= m.4003 3在 ACD中,由余弦定理得,AC2=2CD2-2CD2cos120=3CD2,CD=
6、 AC= m.13 40037.如图所示,长为 3.5 m的木棒 AB斜靠在石堤旁,木棒的一端 A在离堤足 C处 1.4 m的地面上,另一端 B在离堤足 C处 2.8 m的石堤上,石堤的倾斜角为 ,则坡度值 tan = . 答案2315解析 在 ABC中, AB=3.5m,AC=1.4m,BC=2.8m,且 + ACB= .由余弦定理,可得 AB2=AC2+BC2-2ACBCcos ACB,即 3.52=1.42+2.82-21.42.8cos( - ),解得 cos= ,则 sin= ,所以 tan=516 23116 sincos = 2315.8.海岛 B上有一座高为 10米的塔,塔顶的
7、一个观测站 A,上午 11时测得一游船位于岛北偏东 15方向上,且俯角为 30的 C处,一分钟后测得该游船位于岛北偏西 75方向上,且俯角 45的 D处 .4(假设游船匀速行驶)则 CD的长 ;又经过一段时间后,游船到达海岛 B的正西方向 E处,此时游船距离海岛 B 米 . 答案 20 5 6解析 (1)在 Rt ABC中, BAC=60,AB=10米,则 BC=10 米 .3在 Rt ABD中, BAD=45,AB=10米,则 BD=10米 .在 Rt BCD中, DBC=75+15=90,则 CD= =20(米) .BD2+BC2(2)在 Rt BCD中, BCD=30,又因为 DBE=1
8、5,所以 CBE=105,所以 CEB=45.在 BCE中,由正弦定理可知 ,EBsin30= BCsin45所以 EB= =5 (米) .BCsin30sin45 6能力提升组9.在某个位置测得某山峰仰角为 ,对着山峰在水平地面上前进 900 m后测得仰角为 2 ,继续在水平地面上前进 300 m后,测得山峰的仰角为 4 ,则该山峰的高度为( )3A.300 m B.450 mC.300 m D.600 m3答案 B解析 如图所示,易知,在 ADE中, DAE=2 , ADE=180-4 ,AD=300 m,由正弦定理,得3,解得 cos2= ,则 sin2= ,sin4= ,因此在 Rt
9、ABC中山峰的高度900sin4 =3003sin2 32 12 32h=300 sin4= 300 =450(m).3 33210.如图,一条河的两岸平行,河的宽度 d=0.6 km,一艘客船从码头 A出发匀速驶往河对岸的码头 B.已知 AB=1 km,水的流速为 2 km/h,若客船从码头 A驶到码头 B所用的最短时间为 6 min,则客船在静水中的速度为( )A.8 km/h B.6 km/h2C.2 km/h D.10 km/h345答案 B解析 设 AB与河岸线所成的角为 ,客船在静水中的速度为 vkm/h,由题意知,sin = ,从而0.61=35cos= ,所以由余弦定理得 +1
10、2-2 21 ,解得 v=645 (110v)2=(1102)2 110 45 2.11.某人在汽车站 M的北偏西 20的方向上的 A处(如图所示),观察到 C处有一辆汽车沿公路向 M站行驶,公路的走向是 M站的北偏东 40.开始时,汽车到 A处的距离为 31 km,汽车前进 20 km后,到 A处的距离缩短了 10 km.问汽车还需行驶( )km,才能到达汽车站 M?A.5 km B.10 km C.15 km D.20 km答案 C解析 设汽车前进 20km后到达 B处,在 ABC中, AC=31,BC=20,AB=21,由余弦定理,得 cosC=,则 sinC= 所以 sin MAC=s
11、in(120-C)=sin120cosC-cos120sinC=AC2+BC2-AB22ACBC =2331 12331.在 MAC中,由正弦定理,得 MC= =35,从而有 MB=MC-BC=15(km).35362. ACsin MACsin AMC=31353623212.为了竖一块广告牌,要制造三角形支架,如图,要求 ACB=60,BC的长度大于 1米,且 AC比 AB长 0.5米,为了稳固广告牌,要求 AC越短越好,则 AC最短为 ( )A 米 B 米.(1+32) .(2+ 32)C 米 D 米.(1+ 3) .(2+ 3)答案 D解析 由题意设 BC=x(x1)米, AC=t(t
12、0)米,依题设 AB=AC-0.5=t-0.5米,在 ABC中,由余弦定理得:AB2=AC2+BC2-2ACBCcos60,即( t-0.5)2=t2+x2-tx,化简并整理得: t= (x1),即 t=x-x2-0.25x-11+ +2,因 x1,故 t=x-1+ +22 + ,此时取最小值 2+ ,应0.75x-1 0.75x-1 3(当且仅当 x=1+ 32时取等号 ) 3选答案 D.613.如图,从气球 A上测得正前方的河流的两岸 B,C的俯角分别为 75,30,此时气球的高是 60 m,则河流的宽度 BC等于( )A.240( +1) m B.180( -1) m3 2C.120(
13、-1) m D.30( +1) m3 3答案 C解析 如图, ACD=30, ABD=75,AD=60m,在 Rt ACD中,CD= =60 (m),在 Rt ABD中, BD= =60(2- )(m),ADtan ACD= 60tan30 3 ADtan ABD= 60tan75= 602+ 3 3BC=CD-BD= 60 -60(2- )=120( -1)(m).3 3 314.如图,为测量山高 MN,选择 A和另一座山的山顶 C为测量观测点 .从 A点测得 M点的仰角 MAN=60,C点的仰角 CAB=45以及 MAC=75;从 C点测得 MCA=60.已知山高 BC=100 m,则山高
14、 MN= m. 答案 150解析 根据图示, AC=100 m.2在 MAC中, CMA=180-75-60=45.由正弦定理得 AM=100 m.ACsin45= AMsin60 3在 AMN中, =sin60,MN= 100 =150m.MNAM 33215.7如图,在某灾区的搜救现场,一条搜救犬从点 A出发沿正北方向行进 x m到达 B处发现生命迹象,然后向右转 105,行进 10 m 到达 C处发现另一生命迹象,这时它向右转 135回到出发点,那么 x= .答案1063解析 由题图知, AB=x, ABC=180-105=75, BCA=180-135=45.BC= 10, BAC=1
15、80-75-45=60,x=xsin45= 10sin60 10sin45sin60=1063.16.如图一块长方形区域 ABCD,AD=2,AB=1,在边 AD的中点 O处有一个可转动的探照灯,其照射角 EOF始终为 ,设 AOE= ,探照灯 O照射在长方形 ABCD内部区域的面积为 S.4 (0 34 )(1)当 0 时,求 S关于 的函数关系式; 2(2)当 0 时,求 S的最大值; 4(3)若探照灯每 9分钟旋转“一个来回”( OE自 OA转到 OC,再回到 OA,称“一个来回”,忽略 OE在OA及 OC反向旋转时所用的时间),且转动的角速度大小一定,设 AB边上有一点 G,且 AOG
16、= ,求点6G在“一个来回”中被照到的时间 .解 (1)当 0 时, E在 AB上, F在 BC上, S=1- tan- tan ,当 时, E,F 4 12 12 (4- ) 4 2都在 BC上, S= .121tan + 1tan(34- )(2)当 0 时, S=2- , 4 12(1+tan + 21+tan )由于 tan 0,1,所以当 tan= -1时, Smax=2-2 2.8(3)在“一个来回”中, OE共转动了 2 ,34=32其中点 G被照到时, OE共转动了 2 ,6=3点 G被照到的时间为 t=9 =2(分钟) .(332)17.如图,已知扇形 OPQ的半径为 1,圆
17、心角为 ,C是扇形弧上的动点, ABCD是扇形的内接矩形,记3 COP=.(1)当 AB= BC时,求 tan 2 的值;3(2)记矩形 ABCD的面积为 f( ),求 f( )最大值,并求此时 的值 .解 (1) tan ,3=ADOA=BCOA= 3OA= BC,33又 tan= ,BCOB= BC33BC+ 3BC= 34所以 tan2=2tan1-tan2 =8313.(2) 在 Rt OBC中, OB=cos ,BC=sin ,在 Rt OAD中, =tan60DAOA= ,OA= DA= BC= sin ,333 33 33AB=OB-OA= cos- sin.33设矩形 ABCD的面积为 S,则 S=ABBC=sin =sin cos- sin2= sin2- (1-cos2 ) (cos -sin3) 13 12 123= sin2+ cos2- sin 由于 0 ,当 2+ ,当 2+12 36 36= 13 (2 +6)- 36. 3 6 (6,56),即 = 时, S 最大 =6=2 6 13- 36= 36.因此 f( )max=36.
