1、12017-2018 学年山东省临沂市罗庄区高二期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1.下列选项叙述错误的是 A. 命题“若 ，则 ”的逆否命题是“若 ，则 ”B. 若 为真命题，则 p， q 均为真命题C. 若命题 p： ， ，则 ： ，D. “ ”是“ ”的充分不必要条件【答案】B【解析】对于 ，命题“若 ， 的逆否命题是“若 ，则 ”，故 正确；对于 ，若 为真命题，则 ， 至少有一个为真命题，故 错误；对于 ，若命题 ： ， ，则 ： ， ，故 正确；对于 ，或 可推出 ，反之，推不出，故 正确，故选 B.2.设 a， ，且 ，则 A. B. C.
2、D. 【答案】D【解析】【分析】利用排除法，可取 ， ，排除选项 ，从而可得结果a=-1 b=-2 A,B,C【详解】因为 ，ab所以可取 ， ，a=-1 b=-2此时， ， ， 均不成立，ba1b a2b2所以可排除选项 ，故选 D A,B,C【点睛】本题考查了不等式的性质以及排除法的应用，属于基础题. 用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效2率，又能提高准确性.3.以抛物线
3、y28x 上的任意一点为圆心作圆与直线 x20 相切，这些圆必过一定点，则这一定点的坐标是( )A. (0,2) B. (2,0) C. (4,0) D. (0,4)【答案】B【解析】x20 为抛物线的准线根据抛物线的定义，抛物线上的点到准线的距离等于其到焦点的距离，又圆心在抛物线上，故这些圆恒过定点(2，0)4.中国古代数学著作 算法统宗 中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难， 次日脚疼减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走了 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚疼每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地，请问第二天走了
4、？”根据此规律，求后 3 天一共走多少里 A. 156 里 B. 84 里 C. 66 里 D. 42 里【答案】D【解析】【分析】此人每天所走的路程，组成等比数列 ，其中 ， 利用等比数列的通项公式与an q=12 S6=378.求和公式即可得结果【详解】此人每天所走的路程组成等比数列 ，其中 ， an q=12 S6=378则 ，解得 a11-(12)61-12 =378 a1=192后 3 天一共走了 a4+a5+a6=a1(q3+q4+q5)（里） =192(12)31+12+(12)2=42故选 D【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式基本量运算，属于中档题等比数列基本量的运
5、算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量 ，一般可以a1,q,n,an,Sn,“知二求三” ，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运3算过程.5.设 的内角 A、 B、 C 所对边分别为 a， b， c，若 ，且不等式ABC A=3的解集为 ，则 x2-(3+ 3)x+334-k c= 5+k e=5+k3 =45 k=1925当椭圆的焦点在 轴上时，y， ， ， ， ，解得 a2=4-k b2=9 4-k9 c= -k-5 e=-k-54-k=45 k=-21或 ，故选 Dk=-2
6、11925【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及离心率公式的应用，考查了分类讨论思想、推理能力与计算能力，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题7.长方体 中 ， ， E 为 的中点，则异面直线 与ABCD-A1B1C1D1 AB=AA1=2 AD=1 CC1 BC1AE 所成角的余弦值为 A. B. C. D. 1010 3010 21510 31010【答案】B【解析】建立坐标系如图所示则 A(1,0,0)， E(0,2,1)， B(1,2,0)， C1(0,2,2)， (1,0,2)， (1，2,1)BC1 AEcos ， .BC1 AE3010所以异面直线 BC1与 AE 所成
7、角的余弦值为 .30108.设不等式组 表示的可行域 与区域 关于原点对称，若点 ，则 的x-30x+y3y2 P(x,y) 3x-y5最大值为 ()A. B. C. 1 D. 9-5 -1【答案】B【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用对称性求出区域 ，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】根据条件作出不等式组对应的平面区域如图：则三角形 是对应区域 ，ABC 设 则 ，z=3x-y y=3x-z平移直线 ,由图象知当直线 经过点 时，y=3x-z y=3x-z C(-1,-2)直线 的截距最小，此时
8、最大，y=3x-z最大值为 ，故选 Bz=-3-(-2)=-1【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义是解决本题的关键本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.9. 的三内角 A， B， C 所对边的长分别是 a， b， c，若 ，则角 B 的大小ABCsinB-sinAsinC =2a+ca+b为 6A. B.
9、 C. D. 4 34 3 23【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理化 为三边关系，再由余弦定理求出 的值，从而求出角 的sinB-sinAsinC =2a+ca+b cosB B大小【详解】 中， ，ABCsinB-sinAsinC =2a+ca+b由正弦定理得，；b-ac =2a+ca+b，b2-a2= 2ac+c2即 ；c2+a2-b2=- 2ac由余弦定理得，；cosB=c2+a2-b22ac =- 2ac2ac =- 22又 ，B(0,)角 的大小为 B34故选 B【点睛】本题考查了正弦、余弦定理的灵活应用问题，属于中档题解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪
10、一个定理更方便、简捷如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到10.正项等比数列 中， ，若 ，则 的最小值等于 an a2018=a2017+2a2016aman=16a21 4m+1nA. B. 1 C. D. 32 53 136【答案】A【解析】【分析】设正项等比数列 的公比为 ，由 ，解得 由 ，利用等an q0 a2018=a2017+2a2016 q； aman=16a217比数列的通项公式可得 再利用“乘 1 法”与基本不等式的性质即可得结果m+n=6.【详解
11、】设正项等比数列 的公比为 ，an q0， ，解得 a2018=a2017+2a2016q2=q+2 q=2， ， ，即 aman=16a21 a21qm+n-2=16a21 m+n-2=4 m+n=6则 ，4m+1n=16(m+n)(4m+1n)=16(5+4nm+mn)16(5+24nmmn)=32当 时，等号成立，m=2n所以 的最小值等于 ，故选 A4m+1n 32【点睛】本题考查了等比数列的通项公式、 “乘 1 法”与基本不等式的求最值，属于综合题利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值
12、（和定积最大，积定和最小） ；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用 或 时等号能否同时成立）. 11.在棱长为 2 的正四面体 ABCD 中， E， F 分别是 BC， AD 的中点，则 AE CF=(A. 0 B. C. 2 D. -2 -3【答案】B【解析】【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用向量加法的运算法，分别用 与 表示出向量AB、AC CA、CD与 ，利用数量积的运算法则求解即可求AE CF【详解】如图所示，棱长为 2 的正四面体 中，ABCD因为 分别是 的中点，E,F BC,AD8所以AE CF=12(AB+AC)12
13、(CA+CD)=14(AB CA+AB CD+AC CA+AC CD)=14(22cos120+22cos90+22cos180+22cos120)，故选 B=-2【点睛】本题考查了空间向量的线性运算与数量积的运算法则，是基础题向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式 ；二是向量的平方等于向量模的ab=|a|b|cos平方 .a2=|a|212.已知双曲线 C： 的右焦点为 ，圆 F： ，直线 lx2a2-y2b2=1(a0,b0) F(c,0) (x-c)2+y2=c2与双曲线 C 的一条渐近线垂直且在 x 轴上的截距为 若圆 F 被直线 l 所截得的弦长为 ，23a. 423c则
14、双曲线的离心率为 A. B. C. 2 D. 343 53【答案】C【解析】【分析】设直线方程为 ，利用圆 被直线所截得的弦长为 ，可得圆心到直线的距离y=-ab(x-23a) F 423c，结合 性质，即可求出双曲线的离心率d=|acb-2a23b|a2b2+1= c2-(223c)2 c2=a2+b2【详解】双曲线 C： 的一条渐近线 ,x2a2-y2b2=1 y=bax设与该渐近线垂直且在 轴上的截距为 的直线方程为 ，x23a y=-ab(x-23a)即 ，abx+y-2a23b=0圆 被直线所截得的弦长为 ， F423c圆心到直线的距离 ，d=|acb-2a23b|a2b2+1= c
15、2-(223c)2，e2-3e+2=0，e19，e=2故选 C【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查直线与圆的位置关系的运用，属于中档题离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：直接求出 ，从而求出;构造 的齐次式，求出;采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义a,c a,c来求解二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13.已知命题 p：若 ，则 ，那么命题 p 的否命题为_x0 2x1【答案】若 ，则x|BF|)准线上的投影分别为 ， 且 ，则 的面积与 的面积比值为A B AFA=60 AFA BFB_【答案】9【解析】【分析】画出图形，利用已知条件
16、，根据抛物线的定义可判断 是底角为 的等腰三角形，BFB 30腰长为 ， 为边长为 的正三角形，求解 的面积与 的面积，从而可2p3 AFA 2p AFA BFB得结果【详解】由抛物线定义可得 ，所以 ，BF=BB BFB=BBF又因为 ,BFO=BBF所以 ，同理可得 ,BFB=BFO AFA=AFO由正三角形的性质可得 ，AFA=AFO=60所以 ，BBF=BFO=BFB=1260=30则 ，FB=FOcos30= pcos30=23p3所以 ，BF=2p312的面积：BFB122p323p3 sin30=3p29，AF=AF=2FO=2p的面积： ，AFA34(2p)2= 3p2则 的面
17、积与 的面积比值为 9，AFA BFB故答案为 9【点睛】本题考查抛物线的定义与简单性质的应用，属于难题. 与抛物线焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意应用：抛物线上任一点到焦点的距离等于这一点到准线的距离.三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）17.已知 是等差数列，满足 ， ，数列 满足 ， ，且 是an a1=3 a4=12 bn b1=4 b4=20 bnan等比数列.（1）求数列 和 的通项公式；an bn（2）求数列 的前 项和.bn n【答案】 （1） ， ；（2）an=3n(n=1,2,) bn=3n+2n1(n=1,2,) 3
18、2n(n+1)+2n1【解析】试题分析：（1）利用等差数列，等比数列的通项公式先求得公差和公比，即得到结论;（2）利用分组求和法，由等差数列及等比数列的前 n 项和公式即可求得数列 前 n 项和。bn试题解析：（）设等差数列an的公差为 d，由题意得d= = = 3a n=a1+（n1）d=3n设等比数列bnan的公比为 q，则q3= = =8，q=2，b na n=（b 1a 1）q n1 =2n1， bn=3n+2 n1（）由（）知 bn=3n+2n1 ， 数列3n的前 n 项和为 n（n+1） ，13数列2n1的前 n 项和为 1 = 2n1，数列bn的前 n 项和为；考点：1.等差数列
19、性质的综合应用；2.等比数列性质的综合应用；3.数列求和。【此处有视频，请去附件查看】18.已知条件 p：实数 x 满足 ，其中 ；条件 q：实数 x 满足(x-a)(x-3a)0x2-5x+60 a0 a23a3 即 ，1a2实数 a 的取值范围是 1a2【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，以及一元二次不等式的解法，是中档题若 ，则 的解集是 ； 的解集是x10.(,x1)(x2,+)19.设三角形 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 ， A 为锐角b=233asinB若 ， ，求角 B；(1) a=3 b= 6若 ， ， ，求 b， c(2) SAB
20、C=32 b+c=3 bc【答案】(1) ;(2) ， .B=4 b=2 c=1【解析】【分析】将 ， ， 代入 ，计算得出 ，根据 可知 为锐角，从而得(1) a=3 b= 6 b=233asinB sinB=22 ab B出 的值； 由 利用正弦定理将边化角，得出 ，利用面积公式得出 ，结B (2) b=233asinB sinA bc合 ，解方程组得出 的值b+c=3 b、c【详解】 ， ， ，(1)b=233asinB 6=2333sinB sinB=22是锐角， ， A ab Bc b=2 c=1【点睛】本题考查了正弦定理的应用，三角形的面积公式，属于中档题正弦定理是解三角形的有力工
21、具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角） ；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；15（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.20.如图所示，在底面为平行四边形的四棱锥 中， ， 平面 ABCD，且 ，P-ABCD ABAC PA PA=AB=2，点 E 是 PD 的中点AC=1求证： 平面 AEC；(1) PB/求二面角 的大小(2) E-AC-B【答案】 （1）见解析（2） 135【解析】试题分析：（1）一般线面平行考虑连接中点，形成中位线，连 BD 交 AC 于 M,连接 EM 即可；（2）以 A 为原点建
22、系，显然只需求平面 EAC 的法向量，利用法向量求二面角试题解析： 平面 ， ， 平面 ，PA ABCD AB AC ABCD ， ，且 ，以 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系PAAC PAAB ACAB A（1） ， ， ，D(1,-2,0) P(0,0,2) E(12,-1,1) ， ，AE=(12,-1,1) AC=(1,0,0)设平面 的法向量为 ，则 ，取 ，得 AEC n1=(x,y,z)12x-y+z=0x=0 y=1 n1=(0,1,1)又 ，所以 ， ， ，B(0,2,0) PB=(0,2,-2) PBn1=2-2=0 PBn又 平面 ，因此， 平面 PB AEC PB
23、AEC16（2）平面 的一个法向量为 ，BAC AP=(0,0,2)由（1）知，平面 的法向量为 ，AEC n1=(0,1,1)设二面角 的平面角为（为钝角） ，则E-AC-B，得： cos=-|cos|=-|n1n2|n1|n2|=-12=- 22 =135所以二面角 的大小为 E-AC-B 13521.一个生产公司投资 A 生产线 500 万元，每万元可创造利润 万元，该公司通过引进先1.5进技术，在生产线 A 投资减少了 x 万元，且每万元的利润提高了 ；若将少用的 x 万0.5x%元全部投入 B 生产线，每万元创造的利润为 万元，其中 1.5(a-131000x) a0若技术改进后 A
24、 生产线的利润不低于原来 A 生产线的利润，求 x 的取值范围；(1)若生产线 B 的利润始终不高于技术改进后生产线 A 的利润，求 a 的最大值(2)【答案】 （1） （ 2）5.500 ax125+500x-32 x125+500x4 x=250立， ， 的最大值为 5.5.0b0) F1 F2 22的直线 l 与 C 交于 A， B 两点， 的周长为 F1 ABF2 42求椭圆 C 的方程；(1)17当 的面积最大时，求 l 的方程(2) ABF2【答案】(1) ；(2) .x22+y2=1 x=1【解析】试题分析： 根据椭圆定义及 的周长为 得出 ，利用(1) ABF2 42 a= 2 e=ca知 ，求出 ，进而得到椭圆 的方程；c=ea=1 b2=1 C将三角形分割，以 为底， 两点的纵坐标差的绝对值为高表示三角形面积，运用(2) F1F2 A、B基本不等式求得结果解析：（1）由椭圆的定义知 ，4a=42 a= 2由 知e=ca c=ea=1b2=a2-c2=1所以椭圆 的方程为（2）由（1）知 ，设 ，联立 与 得到 ，当 时， 最大为 ，点睛：在求过焦点的弦与另一个焦点构成的三角形面积时可以对其分割，转化为两点纵坐标差的绝对值，为简化计算，由于直线过横坐标上一定点，故设直线方程18
