1、1湖南省师大附中 2019 届高三数学月考试题（六）理（含解析）时量：120 分钟 满分：150 分一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合 A4，2，a1，B0，2，a 21，若 AB2，则实数 a 满足的集合为(D)A1 B1 C1，1 D2已知复数 z 满足 z 3i，则 z(D)|z|A1i B1i C. i D. i43 433下列说法正确的是(D)A命题“x 0 ，使 x 10”的否定为“x ，都有 x210”0， 1 20 0， 1B命题“若向量 a 与 b 的夹角为锐角，则 ab0”及它的逆命题均为
2、真命题C命题“在锐角ABC 中，sin A0”的逆命题为假命题，故 B 错误；锐角ABC 中，AB A B0，sin Asin cos B，所以 C 错误， 2 2 2 ( 2 B)故选 D.4我国古代数学名著九章算术里有一道关于玉石的问题：“今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两今有石方三寸，中有玉，并重十一斤(176 两)问玉、石重各几何？”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的 x，y 分别为(C)A90，86 B94，82 2C98，78 D102，74【解析】执行程序框图，x86，y90，s27；x90，y86，s27；x94，y82，s27；x98，
3、y78，s27，结束循环，输出的 x，y 分别为 98，78，故选 C.5已知定义在 R 上的函数 f(x)2 |xm| 1(m 为实数)为偶函数，记 af(log 0.53)，bf ， cf 则 a，b，c 的大小关系为(B)(log25) (2 m)Aa0，b0)的右焦点 F 且斜率为 1 的直线与双曲线有且只有一x2a2 y2b2个交点，则双曲线的离心率为_ _214设函数 f(x)的导数为 f(x)，且 f(x)x 3f x2x，f(x)，则 f(1)(23)_0_【解析】因为 f(x)x 3f x2x，所以 f(x)3x 22f x1，(23) (23)所以 f 3 2f 1，则 f
4、 1，f(x)x 3x 2x，(23) (23)2 (23) 23 (23)则 f(x)3x 22x1，故 f(1)0.15已知三棱锥 PABC 的四个顶点均在某球面上，PC 为该球的直径，ABC 是边长为4 的等边三角形，三棱锥 PABC 的体积为 ，则此三棱锥的外接球的表面积为_ _163 803【解析】依题意，记三棱锥 PABC 的外接球的球心为 O，半径为 R，点 P 到平面 ABC 的距离为 h，则由 VPABC SABC h h 得 h .又 PC 为球 O 的直径，因13 13 (34 42) 163 4335此球心 O 到平面 ABC 的距离等于 h .又正ABC 的外接圆半径
5、为 r ，12 233 AB2sin 60433因此 R2r 2 ，所以三棱锥 PABC 的外接球的表面积为 4R 2 .(233)2 203 80316已知在平面四边形 ABCD 中，AB ，BC2，ACCD，ACCD，则四边形 ABCD 的2面积的最大值为_3 _10【解析】如图所示，设ABC，(0，)，则在ABC 中，由余弦定理得，AC2AB 2BC 22ABBCcos 64 cos ，2四边形 ABCD 的面积为 SS ABC S ACD (ABBCsin ACCD)，12化简得：S (2 sin 64 cos )3 (sin 2cos )12 2 2 23 sin()，10其中 ta
6、n 2，当 sin()1 时，S 取得最大值为 3 .10三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答(一)必考题：共 60 分17(本题满分 12 分)设数列a n的前 n 项和为 Sn，满足 2Sna n1 2 n1 1，nN *，且 a11，设 bn2，nN *.an2n 1(1)求数列b n的通项公式；(2)证明：对一切正整数 n，有 2，即 3n2 n2n，(32)n 6.635，2 000（ 601 560 140240） 23001 7002001 800因此在犯错误的概
7、率不超过 0.01 的前提下认为学习先修课程与优等生有关系.6 分(2)p 0.9 0.8 0.6 0.5 0.40.6.8 分20300 55300 105300 70300 5030010设获得某高校自主招生通过的人数为 ，则 B ，(150，35)P(xk)C ，k0，1，2，150，10 分k150(35)k (25)150 k 所以 E150 90.12 分3521(本题满分 12 分)设函数 f(x) aln x ，aR.x22 12(1)若函数 f(x)在区间 (e2.718 28为自然对数的底数)上有唯一的零点，求实1， e数 a 的取值范围；(2)若在1，e(e2.718 2
8、8为自然对数的底数)上存在一点 x0，使得 f 0，f(x)单调递a a增，当 f(e) 时，函数 f(x)在区间1， 上有唯一的零点；e2 12 aa 的取值范围是 .6 分a|a 1或 ae2 12 (2)在1，e上存在一点 x0，使得 f ， e1，a ； (e) (e)1 ae e2 1e 1 e2 1e 1 e2 1e 1当 a11 时，即 a0 时，g 在 上单调递增，所以 g 的最小值为 g ，(x) 1， e (x) (1)由 g 11 a2，所以 g 0 不成(a 1)1a 1 (a 1) aa 1 (1 a)立综上所述：可得所求 a 的取值范围是(，2) .12 分(e2
9、1e 1， )(二)选考题：共 10 分请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22(本题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程已知曲线 C 的参数方程为 ( 为参数)以原点 O 为极点，x 轴的x 1 2cos ，y 1 2sin )非负半轴为极轴建立极坐标系(1)求曲线 C 的极坐标方程；(2)若直线 l：(0, ), R)与曲线 C 相交于 A，B 两点，设线段 AB 的中点为 M，求|OM|的最大值【解析】(1)曲线 C 的普通方程为(x1) 2(y1) 22 2，由 得 22cos 2sin 20.5 分x cos ，y sin ， )(2)联立
10、 和 22cos 2sin 20，得 22(cos sin )20，设 A( 1, )，B( 2, )，则 1 22(sin cos )2 sin ，2 ( 4)由|OM| |，得|OM| ， 1 22 2|sin( 4)| 2当 时，|OM|取最大值 .10 分34 223(本题满分 10 分)选修 45: 不等式选讲已知函数 f .(x) |x a| |x 2|(1)当 a1 时，求不等式 f 7 的解集；(x)(2)若 f 的解集包含 ，求 a 的取值范围(x) |x 4| |x 2a| 0， 2【解析】(1)当 a1 时， f (x) 2x 1， x 1，3， 1x2，2x 1， x
11、2， )当 x1 时，由 f 7 得2x17，解得 x3；(x)当1x2 时， f 7 无解；(x)当 x2 时，由 f 7 得 2x17，解得 x4，(x)所以 f 7 的解集为 .5 分(x) ( ， 3 4， )(2)f 的解集包含 等价于 在(x) |x 4| |x 2a| 0， 2 |x a| |x 2a| |x 4| |x 2|上恒成立，当 x 时， 2 等价于( )0， 2 0， 2 |x a| |x 2a| |x 4| |x 2| |x a| |x 2a|max2 恒成立，而 ， 2，|x a| |x 2a| |（ x a） （ x 2a） | |a| |a|故满足条件的 a 的取值范围是 .10 分 2， 2
