1、第1课时 三角函数的概念、图象与性质,热点考向一 三角函数的值域、最值 考向剖析:本考向考查形式为选择题、填空题,主要考查三角函数的值域、单调性、换元法、引入辅助角求三角函数的最值等知识.考查数学运算能力和数据处理能力,多为基础题、中档题,分数为5分左右.,2019年的高考仍将以选择题、填空题形式考查,考查知识点仍将会以三角恒等变换公式为工具考查三角最值.,【典例1】(1)函数 的值域是 ( ) A.(-2,2) B.-2,2 C.(-1,3) D.-1,3,(2)(2017全国卷)函数f(x)=2cos x+sin x的最大 值为_ . (3)(2017全国卷)函数 的最大值是_.,【解析】
2、(1)选 且xk,所 以值域为(-1,3). (2)根据辅助角公式,可以得到f(x)=2cos x+sin x=由于sin(x+)的最大值为1,故f(x)的最大 值为 答案:,(3)因为 所以cos x0,1, 所以当 时,函数f(x)取得最大值1. 答案:1,【名师点睛】三角函数值域(最值)的三种求法 (1)直接法:利用sin x,cos x的有界性直接求. (2)单调性法:化为y=Asin(x+)+B的形式,采用整体思想,求出x+的范围,根据y=sin x的单调性求出函数的值域(最值).,(3)换元法:对于y=asin2x+bsin x+c和y=a(sin x+ cos x)+bsin x
3、cos x+c型常用到换元法,转化为二次函数在限定区间内的最值问题.,【考向精练】 1.已知函数f(x)=sin x+cos x(0)在 上 仅有1个最值,且为最大值,则实数的值不可能为( )世纪金榜导学号,【解析】选C.依题意,函数f(x)=sin x+cos x= 又函数f(x)在 上仅有1个最值,且 为最大值,根据三角函数的图象与性质知,即为,当k=0时,经检验 时不在上面的公共区域.,【易错警示】解答本题易出现以下两种错误:一是忽略仅有一个最大值;二是没有结合三角函数的性质,舍掉多余的解.,2.已知函数 在 上有最大值, 但没有最小值,则 的取值范围是_.,【解析】函数 在 上有最大
4、值,但没有最小值,所以答案:,【加练备选】 已知函数 则 f(x)在区间上的最大值与最小值的和为_.,【解析】由已知,有因为f(x)在区间 上是减函数,在区间 上是增函数, 所以f(x)在区间 上的最大值为 最小值为 所以最大值与最小值的和为 答案:,热点考向二 三角函数的性质及应用 考向剖析:本考向考查形式为选择题或填空题,主要考查函数的周期性、奇偶性、单调性、对称性,以及利用上述性质求参数或参数的范围,考查学生灵活运用性质进行逻辑推理、数学运算的能力.,2019年的高考仍将以选择题或填空题的形式考查,知识点也将会以上面的总结为主要内容来考查.,【典例2】(1)(2017全国卷)设函数 则下
5、列结论错误的是 ( ) A.f(x)的一个周期为-2 B.y=f(x)的图象关于直线 对称 C.f(x+)的一个零点为 D.f(x)在 上单调递减,(2)(2018唐山二模)若x0,则函数f(x)=cos x -sin x的增区间为 ( ),【解析】(1)选D.当 时, 函数在 该区间内不单调.,(2)选D.由题得f(x)=cos x-sin x=-(sin x-cos x)令 所以,令k=0得 因为x0,所以函数的增区间是 故选D.,【名师点睛】求解三角函数的性质问题的常用方法及技巧 (1)求单调区间的两种方法: 代换法:求形如y=Asin(x+)(或y=Acos(x+) (A,为常数,A0
6、,0)的单调区间时,令x+ =z,则y=Asin z(或y=Acos z),然后由复合函数的单调性求得.,图象法:画出三角函数的图象,结合图象求其单调区间.,(2)判断对称中心与对称轴:利用函数y=Asin(x+)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心一定是函数值等于零的点这一性质,通过检验f(x0)的值进行判断.,(3)三角函数的周期的求法:定义法.公式法: y=Asin(x+)和y=Acos(x+)的最小正周期为y=tan(x+)的最小正周期为 利用图象.,【考向精练】 1.(2018全国卷)若f(x)=cos x-sin x在-a,a上是减函数,则a的最大值是 ( ),【解析】选
7、A. 在 上 单调递减,所以 故 解得,2.(2018永州二模)函数 具有 性质 ( ) A.最大值为 图象关于 对称 B.最大值为1,图象关于 对称 C.最大值为 图象关于直线 对称 D.最大值为1,图象关于直线 对称,【解析】选D.所以函数最大值为1, 由 得当k=-1时, 函数最大值为1且 关于 对称.,3.(2018太原一模)已知函数f(x)=2sin(x+) (0),若 f(x)在 上具有单调性, 那么的取值共有 世纪金榜导学号( ) A.6个 B.7个 C.8个 D.9个,【解析】选D.因为 所以 因此 因为f(x)在 上具有单调性,所以 所以 所以 所以012. 因此m-2k=1
8、,2,3,4,5,6,7,8,9,即的取值共有9个.,【加练备选】 1.已知函数 f()= -1,f()=1,若|-|的最小值为 且f(x)的图象 关于点 对称,则函数f(x)的单调递增区间是( ),【解析】选B.由题设条件可知f(x)的周期T= 4|-|min=3,所以 又f(x)的图象关于点对称,从而 即 因为 所以 故 再由 得,2.若函数f(x)=asin x+bcos x(05,ab0)图 象的一条对称轴方程是 函数f(x)图象的一个 对称中心是 则f(x)的最小正周期是 ( ),【解析】选C.由 的对称 轴方程是 可知, 即 又f(x)=acos x-bsin x的对称中心是 则
9、即,热点考向三 三角函数的图象及应用,类型一 三角函数的图象变换及应用 【典例3】(1)为了得到函数 的图象,只需 把函数y=sin 2x图象上所有点 ( ),A.向左平移 个单位长度 B.向右平移 个单位长度 C.向左平移 个单位长度 D.向右平移 个单位长度,(2)(2017全国卷)已知曲线C1:y=cos x,C2:y=则下面结论正确的是 ( ) A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变, 再把得到的曲线向右平移 个单位长度,得到曲线C2,B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变, 再把得到的曲线向左平移 个单位长度,得到曲线C2 C.把C1上各点的横坐标缩短到原
10、来的 倍,纵坐标不 变,再把得到的曲线向右平移 个单位长度,得到曲线 C2,D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不 变,再把得到的曲线向左平移 个单位长度,得到曲线 C2,【解析】(1)选D.由题意,为了得到函数只需把函数y=sin 2x图象上所有点向右 平移 个单位长度.,(2)选D.C1:y=cos x, 首先把曲线C1,C2统一为同一三角函数名,可将C1:y= cos x用诱导公式处理.横坐标变换需将=1 变成=2,即,注意的系数,在左右平移时需将=2提到括号外面, 这时 平移至 根据“左加右减”原则, 到 需加上 即再向左平移,类型二 三角函数图象及解析式的综合应用 【典例
11、4】(1)(2018广州一模)如图,将绘有函数部分图象的纸片沿x轴折成 直二面角,若A,B之间的空间距离为 则f(-1)=( ),(2)函数y=Asin(x+)(A0,0,0)的部分图 象如图所示,已知 x1x2,且f(x1)=f(x2), 则f(x1+x2)等于 ( ),A.-1 B.-2 C.1 D.2,(3)(2018兰州二模)已知向量 b=(cos x,-cos x),函数 世纪金榜导学号 求函数y=f(x)图象对称轴的方程; 求函数f(x)在 上的最大值和最小值.,【解析】(1)选D.由题设并结合图形可知即,(2)选C.由题意可得A=2,函数的周期满足: 所以=2, 当 时, 据此可
12、得: 令k=0可得,则 由 x1x2,且f(x1)=f(x2), 可得: 则,(3)由已知 对称轴方程为kZ,即,因为 所以 所以,当 即 时, 的最大值为1;当 即x=0时, 的最小值为 所以函数f(x) 在 上的最大值为1;最小值为,【名师点睛】 1.函数表达式y=Asin(x+)+B的确定方法,2.三角函数图象平移问题处理策略 (1)看平移要求:首先要看题目要求由哪个函数平移得到哪个函数,这是判断移动方向的关键点.,(2)看移动方向:移动的方向一般记为“正向左,负向 右”,看y=Asin(x+)中的正负和它的平移要求. (3)看移动单位:在函数y=Asin(x+)中,周期变换和 相位变换
13、都是沿x轴方向的,所以和之间有一定的 关系,是初相,再经过的压缩,最后移动的单位是,【考向精练】 1.(2018安庆二模)已知函数 图象相邻两条对称轴之间的距离为 将函数y=f(x)的 图象向左平移 个单位长度后,得到的图象关于y轴对 称,那么函数y=f(x)的图象 世纪金榜导学号( ),A.关于点 对称 B.关于点 对称 C.关于直线 对称 D.关于直线 对称,【解析】选A.由函数y=f(x)图象相邻两条对称轴之间 的距离为 可知其周期为,所以 所以 f(x)=sin(2x+).将函数y=f(x)的图象向左平移 个 单位后,得到函数 图象.因为得到的图 象关于y轴对称,所以 即,所以 所f(
14、x)=其图象关于点 对称.,2.已知函数f(x)=2sin(x+)(0)的图象与直 线y=2的某两个交点的横坐标分别为x1,x2,若|x1-x2|的 最小值为,且将函数f(x)的图象向右平移 个单位 长度得到的函数为奇函数,则函数f(x)的一个递增区间 为 ( ),【解析】选A.由题意得T=,所以 所以 因为0,所以 因此 即 为函数f(x)的一个递增区间.,【加练备选】 1.(2017佛山二模)若将函数 的图象 向左平移(0)个单位,所得图象关于原点对称,则 最小时,tan = ( ),【解析】选B.函数向左平移后得到 其图象关于原点对称,为奇函数,故 即,2.函数 的部分图象如图,且则图中m的值为 ( ),【解析】选B. 所以 所以 由图象可知,
