1、1课时跟踪检测（九） 空间几何体的三视图、表面积与体积及空间线面位置关系的判定（小题练）A 级124 提速练一、选择题1.(2018广州模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图，且该几何体的体积为 ，则该几何体的俯视图可以是( )83解析：选 D 由题意可得该几何体可能为四棱锥，如图所示，其高为2，底面为正方形，面积为 224，因为该几何体的体积为 42 ，满13 83足条件，所以俯视图可以为 D.2(2018陕西模拟)把边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起，使得平面 ABD平面 CBD，形成的三棱锥 CABD 的正视图与
2、俯视图如图所示，则侧视图的面积为( )A. B 12 22C. D24 14解析：选 D 由三棱锥 CABD 的正视图、俯视图得三棱锥 CABD 的侧视图为直角边长是 的等腰直角三角形，其形状如图所示，所以三棱锥 CABD 的侧视图的面22积为 ，故选 D.143(2018郑州一模)已知两条不重合的直线 m， n 和两个不重合的平面 ， ， m ， n .给出下列四个命题：2若 ，则 m n；若 m n，则 ；若 m n，则 ；若 ，则 m n.其中正确命题的个数是( )A0 B1C2 D3解析：选 C 依题意，对于，由“若一条直线与两个平行平面中的一个垂直，则该直线也垂直于另一个平面”得知，
3、 m ，又 n ，因此 m n，正确；对于，当 时，设 n，在平面 内作直线 m n，则有 m ，因此不正确；对于，由 m n， m 得 n ，又 n ，因此有 ，正确；对于，当m ， n， 时，直线 m， n 不平行，因此不正确综上所述，正确命题的个数为 2，故选 C.4.(2018唐山模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A3 B.113C7 D.233解析：选 B 由题中的三视图可得，该几何体是由一个长方体切去一个三棱锥所得的几何体，长方体的长，宽，高分别为 2,1,2，体积为 4，切去的三棱锥的体积为 ，故该几13何体的体积 V
4、4 .13 1135(2018长郡中学模拟)某几何体的三视图如图所示，其俯视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的体积是( )A19296 B25696C192100 D256100解析：选 C 题中的几何体是由一个直三棱柱和一个半圆柱构成的几何体，其中直三棱柱的底面是两直角边分别为 8 和 6 的直角三角形，高为 8，该半圆柱的底面圆的半径为5，高为 8，因此该几何体的体积为3868 5 28192100，选 C.12 126.(2018贵阳模拟)某几何体的三视图如图所示(粗线部分)，正方形网格的边长为1，该几何体的顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为( )A15 B16C17 D18
5、解析：选 C 由题中的三视图可知，该几何体为如图所示的三棱锥D1BCD，将其放在长方体 ABCDA1B1C1D1中，则该几何体的外接球即长方体的外接球，长方体的长、宽、高分别为 2,2,3，长方体的体对角线长为 ，球 O 的直径为 ，所以球 O 的表面积 S17，故选 C.9 4 4 17 177(2018石家庄模拟)如图是某四棱锥的三视图，其中正视图是边长为 2 的正方形，侧视图是底边分别为 2 和 1 的直角梯形，则该几何体的体积为( )A. B83 43C. D823 423解析：选 A 记由三视图还原后的几何体为四棱锥 ABCDE，将其放入棱长为 2 的正方体中，如图，其中点 D， E
6、 分别为所在棱的中点，分析知平面 ABE平面 BCDE，点 A 到直线 BE 的距离即四棱锥的高，设为 h，在 ABE 中，易知 AE BE ，cos ABE ，则 sin ABE555，所以 h ，故四棱锥的体积 V 2 ，故选 A.255 455 13 5 455 838(2018全国卷)在长方体 ABCDA1B1C1D1中， AB BC1， AA1 ，则异面直线3AD1与 DB1所成角的余弦值为( )A. B. 15 564C. D.55 22解析：选 C 如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1的一侧补上一个相同的长方体 EFBAE1F1B1A1.连接 B1F，由长方体性质可知， B1
7、F AD1，所以 DB1F 为异面直线 AD1与 DB1所成的角或其补角连接 DF，由题意，得 DF ， FB112 1 1 2 5 2， DB1 .12 3 2 12 12 3 2 5在 DFB1中，由余弦定理，得 DF2 FB DB 2 FB1DB1cos DB1F，即21 2154522 cos DB1F，cos DB1F .5559已知矩形 ABCD 的顶点都在球心为 O，半径为 R 的球面上， AB6， BC2 ，且四3棱锥 OABCD 的体积为 8 ，则 R 等于( )3A4 B2 3C. D479 13解析：选 A 如图，设矩形 ABCD 的中心为 E，连接 OE， EC，由球的
8、性质可得 OE平面 ABCD，所以 VOABCD OES 矩形13ABCD OE62 8 ，所以 OE2，在矩形 ABCD 中可得13 3 3EC2 ，则 R 4，故选 A.3 OE2 EC2 4 1210(2018福州模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )A24 2 B22 42 3 2 3C26 D843 2解析：选 A 由三视图知该几何体为三棱锥，记为三棱锥PABC，将其放在棱长为 2 的正方体中，如图所示，其中5AC BC， PA AC， PB BC， PAB 是边长为 2 的等边三角形，故所求表面积为 S ABC S2PAC
9、 S PBC S PAB 22 22 22 (2 )224 2 .故选 A.12 12 2 12 2 34 2 2 311.(2018唐山模拟)把一个皮球放入如图所示的由 8 根长均为 20 cm 的铁丝接成的四棱锥形骨架中，使皮球的表面与 8 根铁丝都有接触点(皮球不变形)，则皮球的半径为( )A10 cm B10 cm3C10 cm D30 cm2解析：选 B 依题意，在四棱锥 SABCD 中，所有棱长均为 20 cm，连接 AC， BD 交于点 O，连接 SO，则 SO AO BO CO DO10 2cm，易知点 O 到 AB， BC， CD， AD 的距离均为 10 cm，在等腰三角形
10、OAS 中， OA OS10 cm， AS20 cm，所以 O 到 SA 的距离 d10 2cm，同理可证 O 到 SB， SC， SD 的距离也为 10 cm，所以球心为四棱锥底面 ABCD 的中心，所以皮球的半径 r10 cm，选 B.12(2018广州模拟)正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，点 M 为 CC1的中点，点 N 为线段 DD1上靠近 D1的三等分点，平面 BMN 交 AA1于点 Q，则线段 AQ 的长为( )A. B23 12C. D16 13解析：选 D 如图所示，在线段 DD1上靠近点 D 处取一点 T，使得DT ，因为 N 是线段 DD1上靠近 D1的三等分
11、点，故 D1N ，故13 23NT2 1，因为 M 为 CC1的中点，故 CM1，连接 TC，由13 23NT CM，且 CM NT1，知四边形 CMNT 为平行四边形，故 CT MN，同理在 AA1上靠近点 A 处取一点 Q，使得 AQ ，连接 BQ， TQ，则有13BQ CT MN，故 BQ与 MN 共面，即 Q与 Q 重合，故 AQ ，选 D.13二、填空题13(2018南京模拟)在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形， BAD60，侧棱 PA底面 ABCD， PA2， E 为 AB 的中点，则三棱锥 PBCE 的体积为_解析：由题意知 S 底面 ABCD22si
12、n 602 ，所以 S EBC ，故3326VPEBC 2 .13 32 33答案：3314(2018内蒙古包头一模)已知直线 a， b，平面 ，且满足 a ， b ，有下列四个命题：对任意直线 c ，有 c a；存在直线 c ，使 c b 且 c a；对满足 a 的任意平面 ，有 ；存在平面 ，使 b .其中正确的命题有_(填序号)解析：因为 a ，所以 a 垂直于 内任一直线，所以正确；由 b 得 内存在一直线 l 与 b 平行，在 内作直线 m l，则 m b， m a，再将 m 平移得到直线 c，使c 即可，所以正确；由面面垂直的判定定理可得不正确；若 b ，则由 b 得 内存在一条直
13、线 l 与 b 平行，必有 l ，即有 ，而满足 b 的平面 有无数个，所以正确答案：15(2019 届高三益阳、湘潭联考)已知三棱锥 SABC 的顶点都在球 O 的球面上，ABC 是边长为 3 的正三角形， SC 为球 O 的直径，且 SC4，则此三棱锥的体积为_解析：如图，设 O1为 ABC 的中心，连接 OO1，故三棱锥 SABC 的高 h2 OO1，三棱锥 SABC 的体积 V 2OO1S ABC，因为 OO113 1，所以 V 21 32 .22 3 213 34 332答案：33216(2018全国卷)已知圆锥的顶点为 S，母线 SA， SB 所成角的余弦值为 ， SA 与78圆锥
14、底面所成角为 45，若 SAB 的面积为 5 ，则该圆锥的侧面积为_15解析：如图， SA 与底面成 45角， SAO 为等腰直角三角形设 OA r，则 SO r， SA SB r.在 SAB 中，2cos ASB ，sin ASB ， S SAB SASBsin ASB (78 158 12 12r)2 5 ，解得 r 2 ， SA r4 ，即母线长 l4 ， S 圆锥侧2158 15 10 2 5 57 rl2 4 40 .10 5 2答案：40 2B 级难度小题强化练1(2018武汉调研)已知底面半径为 1，高为 的圆锥的顶点和底面圆周都在球 O 的3球面上，则球 O 的表面积为( )A
15、. B432327C. D12163解析：选 C 如图， ABC 为圆锥的轴截面， O 为其外接球的球心，设外接球的半径为 R，连接 OB， OA，并延长 AO 交 BC 于点 D，则AD BC，由题意知， AO BO R， BD1， AD ，则在 Rt BOD 中，有3R2( R)21 2，解得 R ，所以外接球 O 的表面积 S4 R23233，故选 C.1632(2018南京模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为( )A. B23 43C2 D83解析：选 A 由三视图可知，该几何体为三棱锥，将其放在棱长为 2 的正方体中，如
16、图中三棱锥 ABCD 所示，故该几何体的体积 V 122 .13 12 233(2018福州模拟)已知圆柱的高为 2，底面半径为 ，若该圆柱的两个底面的圆周3都在同一个球面上，则这个球的表面积等于( )A4 B 1638C. D16323解析：选 D 如图，由题意知圆柱的中心 O 为这个球的球心，于是球的半径 r OB 2.故这个球的表面积OA2 AB2 12 3 2S4 r216.故选 D.4(2018贵阳检测)三棱锥 PABC 的四个顶点都在体积为 的5003球的表面上，底面 ABC 所在的小圆面积为 16，则该三棱锥的高的最大值为( )A4 B6C8 D10解析：选 C 依题意，设题中球
17、的球心为 O，半径为 R， ABC 的外接圆半径为 r，则 ，解得 R5，由 r216，解得 r4，又球心 O 到平面 ABC 的距离为4 R33 50033，因此三棱锥 PABC 的高的最大值为 538，故选 C.R2 r25(2018全国卷)已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面 所成的角都相等，则 截此正方体所得截面面积的最大值为( )A. B334 233C. D324 32解析：选 A 如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，平面 AB1D1与棱 A1A， A1B1， A1D1所成的角都相等，又正方体的其余棱都分别与A1A， A1B1， A1D1平行，故正方体 ABCD
18、A1B1C1D1的每条棱所在直线与平面 AB1D1所成的角都相等如图所示，取棱AB， BB1， B1C1， C1D1， D1D， DA 的中点 E， F， G， H， M， N，则正六边形EFGHMN 所在平面与平面 AB1D1平行且面积最大，此截面面积为 S 正六边形 EFGHMN6 12 22sin 60 .故选 A.22 3346(2018南宁模拟)如图，在正方形 ABCD 中， AC 为对角线， E， F 分别是 BC， CD 的中点， G 是 EF 的中点现在沿 AE， AF 及 EF 把这个正方形折成一个空间图形，使 B， C， D三点重合，重合后的点记为 H.下列说法错误的是_(将符合题意的序号填到横线上)9 AG EFH 所在平面； AH EFH 所在平面； HF AEF 所在平面； HG AEF 所在平面解析：根据折叠前 AB BE， AD DF 可得折叠后 AH HE， AH HF， HE HF H，可得AH平面 EFH，即正确；过点 A 只有一条直线与平面 EFH 垂直，不正确； AG EF， AH EF， AH AG A， EF平面 HAG，平面 HAG平面 AEF.过 H 作直线垂直于平面 AEF，该直线一定在平面 HAG 内，不正确； HG 不垂直 AG， HG平面 AEF 不正确，不正确，综上，说法错误的序号是.答案：
