1、1课时跟踪检测（十二） 排列、组合与二项式定理（小题练）A 级124 提速练一、选择题1在 1,2,3,4,5 这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有( )A36 个 B24 个C18 个 D6 个解析：选 B 各位数字之和是奇数，则这三个数字中三个都是奇数或两个偶数一个奇数，所以符合条件的三位数有 A C A 61824(个)3 1332(2018广西南宁模拟) 5的展开式中 x3项的系数为( )(2x1x)A80 B80C40 D48解析：选 B 5的展开式的通项为 Tr1 C (2x)5 r r(1)(2x1x) r5 ( 1x)r25 rC x52 r，令 5
2、2 r3，解得 r1.于是展开式中 x3项的系数为(1)r5251 C 80，故选 B.153(2019 届高三南宁、柳州联考)从1,2,3，10中选取三个不同的数，使得其中至少有两个数相邻，则不同的选法种数是( )A72 B70C66 D64解析：选 D 从1,2,3，10中选取三个不同的数，恰好有两个数相邻，共有C C C C 56 种选法，三个数相邻共有 C 8 种选法，故至少有两个数相邻共有12 17 17 16 1856864 种选法，故选 D.4(2018新疆二检)( x23) 5的展开式的常数项是( )(1x2 1)A2 B2C3 D3解析：选 B 5的通项为 Tr1 C 5 r
3、C x2r10 ，令 2r102 或 0，解(1x2 1) r5(1x2) r5得 r4,5，展开式的常数项是 C (3)C 2.45 55(2018益阳、湘潭联考)若(13 x)2 018 a0 a1x a2 018x2 018， xR，则a13 a232 a2 01832 018的值为( )A2 2 0181 B8 2 0181C2 2 018 D8 2 0182解析：选 B 由已知，令 x0，得 a01，令 x3，得 a0 a13 a232 a2 01832 018(19) 2 0188 2 018，所以 a13 a232 a2 01832 0188 2 018 a08 2 0181，故
4、选 B.6现有 5 本相同的数学家的眼光和 3 本相同的数学的神韵 ，要将它们排在同一层书架上，并且 3 本相同的数学的神韵不能放在一起，则不同的放法种数为( )A20 B120C2 400 D14 400解析：选 A 根据题意，可分两步：第一步，先放 5 本相同的数学家的眼光 ，有 1 种情况；第二步，5 本相同的数学家的眼光排好后，有 6 个空位，在 6 个空位中任选 3 个，把 3 本相同的数学的神韵插入，有 C 20 种情况36故不同的放法有 20 种，故选 A.7(2019 届高三山西八校联考)已知(1 x)n的展开式中第 5 项与第 7 项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为
5、( )A2 9 B2 10C2 11 D2 12解析：选 A 由题意得 C C ，由组合数性质得 n10，则奇数项的二项式系数和为4n 6n2n1 2 9，故选 A.8(2018惠州模拟)旅游体验师小明受某网站邀请，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若不能最先去甲景区旅游，不能最后去乙景区和丁景区旅游，则小明可选的旅游路线数为( )A24 B18C16 D10解析：选 D 分两种情况，第一种：最后体验甲景区，则有 A 种可选的路线；第二种：3不在最后体验甲景区，则有 C A 种可选的路线所以小明可选的旅游路线数为12 2A C A 10.选 D.3 12 29.现有 5 种不同颜色
6、的染料，要对如图所示的四个不同区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能使用同一种颜色，则不同的着色方法的种数是( )A120 B140C240 D260解析：选 D 由题意，先涂 A 处，有 5 种涂法，再涂 B 处有 4 种涂法，第三步涂 C，若C 与 A 所涂颜色相同，则 C 有 1 种涂法， D 有 4 种涂法，若 C 与 A 所涂颜色不同，则 C 有 3种涂法， D 有 3 种涂法，由此得不同的着色方法有 54(1433)260(种)，故选 D.310(2018郑州模拟)若二项式 n的展开式的二项式系数之和为 8，则该展开(x22x)式每一项的系数之和为( )A1 B1C27 D27解
7、析：选 A 依题意得 2n8，解得 n3.取 x1 得，该二项展开式每一项的系数之和为(12) 31，故选 A.11(2018开封模拟)某地实行高考改革，考生除参加语文、数学、英语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科学生甲要想报考某高校的法学专业，就必须要从物理 、政治、历史三科中至少选考一科，则学生甲的选考方法种数为( )A6 B12C18 D19解析：选 D 法一：在物理、政治、历史中选一科的选法有 C C 9(种)；在物理、政1323治、历史中选两科的选法有 C C 9(种)；物理、政治、历史三科都选的选法有 1 种所2313以学生甲的选考方法共有 9911
8、9(种)，故选 D.法二：从六科中选考三科的选法有 C 种，其中包括了没选物理、政治、历史中任意一36科，这种选法有 1 种，因此学生甲的选考方法共有 C 119(种)，故选 D.3612(2018甘肃兰州检测)某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏，现有 4 个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完，4 个红包中有 2 个 6 元，1 个 8 元，1 个 10 元(红包中金额相同视为相同红包)，则甲、乙都抢到红包的情况有( )A18 种 B24 种C36 种 D48 种解析：选 C 若甲、乙抢的是一个 6 元和一个 8 元的，剩下 2 个红包，被剩下的 3 人中的 2 个人抢走，有
9、 A A 12(种)；223若甲、乙抢的是一个 6 元和一个 10 元的，剩下 2 个红包，被剩下的 3 人中的 2 个人抢走，有 A A 12(种)；223若甲、乙抢的是一个 8 元和一个 10 元的，剩下 2 个红包，被剩下的 3 人中的 2 个人抢走，有 A C 6(种)；若甲、乙抢的是两个 6 元，剩下 2 个红包，被剩下的 3 人中的 2 个223人抢走，有 A 6(种)，根据分类加法计数原理可得，共有 12126636(种)故选23C.二、填空题13(2018贵州模拟) 9的展开式中 x3的系数为84，则展开式的各项系数之和(xax)为_4解析：二项展开式的通项 Tr1 C x9
10、r r arC x92 r，令 92 r3，得 r3，所以r9 (ax) r9a3C 84，所以 a1，所以二项式为 9，令 x1，则(11) 90，所以展开式的39 (x1x)各项系数之和为 0.答案：014(2018福州四校联考)在(1 x3)(2 x)6的展开式中， x5的系数是_(用数字作答)解析：二项展开式中，含 x5的项是 C 2x5 x3C 24x2228 x5，所以 x5的系数是228.56 26答案：22815(2018合肥质检)在 4的展开式中，常数项为_(x1x 1)解析：易知 4 4的展开式的通项 Tr1 C (1) 4 r r.(x1x 1) 1 (x 1x) r4
11、(x 1x)又 r的展开式的通项 Rm1 C xr m( x1 )mC (1) mxr2 m， Tr1 C (1) 4 rC(x1x) mr mr r4(1) mxr2 m，令 r2 m0，得 r2 m，0 r4，0 m2，当 m0,1,2 时，mrr0,2,4，故常数项为 T1 T3 T5C (1) 4C (1) 2C (1) 1C (1) 0C (1)04 24 12 4 2425.答案：516(2018洛阳模拟)某校有 4 个社团向高一学生招收新成员，现有 3 名同学，每人只选报 1 个社团，恰有 2 个社团没有同学选报的报法有_种(用数字作答)解析：法一：第一步，选 2 名同学报名某个
12、社团，有 C C 12 种报法；第二步，从23 14剩余的 3 个社团里选一个社团安排另一名同学，有 C C 3 种报法由分步乘法计数原13 1理得共有 12336 种报法法二：第一步，将 3 名同学分成两组，一组 1 人，一组 2 人，共 C 种方法；第二步，23从 4 个社团里选取 2 个社团让两组同学分别报名，共 A 种方法由分步乘法计数原理得共24有 C A 36 种报法23 24答案：36B 级难度小题强化练1(2018南昌模拟)某校毕业典礼上有 6 个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有
13、( )A120 种 B156 种C188 种 D240 种解析：选 A 法一：记演出顺序为 16 号，对丙、丁的排序进行分类，丙、丁占 1 和52 号，2 和 3 号，3 和 4 号，4 和 5 号，5 和 6 号，其排法分别为 A A ，A A ，C A A ，C A23 23 1223 13A ，C A A ，故总编排方案有 A A A A C A A C A A C A A 120(种)23 1323 23 23 1223 1323 1323法二：记演出顺序为 16 号，按甲的编排进行分类，当甲在 1 号位置时，丙、丁相邻的情况有 4 种，则有 C A A 48(种)；当甲在 2 号位置
14、时，丙、丁相邻的情况有 3 种，1423共有 C A A 36(种)；当甲在 3 号位置时，丙、丁相邻的情况有 3 种，共有1323C A A 36(种)所以编排方案共有 483636120(种)13232(2018洛阳模拟)若 a sin xdx，则二项式 6的展开式中的常数项为( )0 (ax 1x)A15 B15C240 D240解析：选 D a sin xdx( cos x)| ( cos )( cos 0)1(1)2，0 0则 6的展开式的通项为 Tr1 C 26r (1) rx ，令 63r0 得 r2，所以展(2x1x) r6 6 3r2开式中的常数项为 C 24(1) 2240
15、.故选 D.263定义“规范 01 数列”a n如下：a n共有 2m 项，其中 m 项为 0，m 项为 1，且对任意 k2m，a 1，a 2，a k中 0 的个数不少于 1 的个数若 m4，则不同的“规范 01 数列”共有( )A18 个 B16 个C14 个 D12 个解析：选 C 由题意知：当 m4 时， “规范 01 数列”共含有 8 项，其中 4 项为 0,4 项为 1，且必有 a10，a 81.不考虑限制条件“对任意 k2m，a 1，a 2，a k中 0 的个数不少于 1 的个数” ，则中间 6 个数的情况共有 C 20(种)，其中存在36k2m，a 1，a 2，a k中 0 的个
16、数少于 1 的个数的情况有：若 a2a 31，则有C 4(种)；若 a21，a 30，则 a41， a51，只有 1 种；若 a20，则14a3a 4a 51，只有 1 种综上，不同的“规范 01 数列”共有 20614(种)故共有 14个故选 C.4某公司有五个不同部门，现有 4 名在校大学生来该公司实习，要求安排到该公司的两个部门，且每个部门安排两人，则不同的安排方案种数为( )A60 B40C120 D240解析：选 A 由题意得，先将 4 名大学生平均分为两组，共有 3(种)不同的分法，C24C2A2再将两组安排在其中的两个部门，共有 3A 60(种)不同的安排方法故选 A.2565(
17、2018郑州一模)由数字 2,0,1,9 组成没有重复数字的四位偶数的个数为_解析：根据所组成的没有重复数字的四位偶数的个位是否为 0 进行分类计数：第一类，个位是 0 时，满足题意的四位偶数的个数为 A 6；第二类，个位是 2 时，满足题意的四3位偶数的个数为 C A 4.由分类加法计数原理得，满足题意的四位偶数的个数为12 26410.答案：106(2018济南模拟)已知(1axby) 5(a，b 为常数，aN *， bN *)的展开式中不含字母 x 的项的系数和为 243，则函数 f(x) ， x 的最小值为sin 2x b2sin(x 4) 0， 2_解析：令 x0， y1，得(1 b)5243，解得 b2.因为 x ，所以 x ，0， 2 4 4， 34则 sin xcos x sin 1， ，2 (x 4) 2所以 f(x) sin 2x b2sin(x 4) sin 2x 2sin x cos x2sin xcos x 2sin x cos xsin xcos x1sin x cos x2 2， sin x cos x 1sin x cos x当且仅当 sin xcos x1 时取“” ，所以 f(x)的最小值为 2.答案：2
