1、1甘肃省天水一中 2018-2019 学年高二数学上学期期末考试试卷 文（含解析）一、单选题(每小题 5 分，共 60 分)1.已知复数 其中为虚数单位，则的共轭复数的虚部为 A. 1 B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，再利用共轭复数及虚部的定义求解即可.【详解】 ，则的共轭复数的虚部为 ，故选 C【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的摸这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化
2、简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2.若命题 p：x ，tanxsinx，则命题非 p 为( )A. x0 ，tanx 0sinx 0(-2,2)B. x0 ，tanx 0sinx0(-2,2)C. x0 ，tanx 0sinx 0(-2,2)D. x0 ， tanx0sinx0(-,-2)(2,+)【答案】C【解析】【分析】根据全称命题“ ”的否定为特称命题“ ”可得结果.xM,p(x) xM,p(x)【详解】全称命题中“”改为 “”，并否定结论，2所以命题非 p 为：x 0 ，tanx 0sinx 0，故选 C.(-2,2)【点睛】本题主要考查全称命题的否定，属于简单题.全称命题与特
3、称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词;二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可.3.下列说法错误的是A. 对分类变量 X 与 Y，随机变量 K2的观测值 k 越大，则判断“X 与 Y 有关系”的把握程度越小B. 在回归直线方程 =0.2x+0.8 中，当解释变量 x 每增加 1 个单位时，预报变量 平均增加y y0.2 个单位C. 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于 1D. 回归直线过样本点的中心（ ， ）x y【答案】A【解析】A对分类变量 X 与 Y 的随机变量 K
4、2的观测值 k 来说，k 越大， “X 与 Y 有关系”可信程度越大，因此不正确；B在线性回归方程 =0.2x+0.8 中，当 x 每增加 1 个单位时，预报量平均增加 0.2 个单位，y正确； C两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近 1，因此正确； D回归直线过样本点的中心（ ， ） ，正确x y综上可知：只有 A 不正确故选：A4.已知 恒成立，则实数 的取值范围是x0,y0，若2yx+8xym2+2m mA. B. m4或 m2 m2或 m4C. D. 22 f(x) (,2取 ，则对称轴 ， 在 上为单调递增，但 ，所以“ 在a=3 x=(a+1)=2 f(x) (,2 a
5、4 f(x)上为单调递增”是“ ”的必要不充分条件.(,2 a4【点睛】充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若 则 ”是真命题，p q“若 则 ”是假命题，则 是 的充分不必要条件；若“若 则 ”是真命题， “若 则 ”是真q p p q p q q p命题，则 是 的充分必要条件；若“若 则 ”是假命题， “若 则 ”是真命题，则 是 的必p q p q q p p q要不充分条件；若“若 则 ”是假命题， “若 则 ”是假命题，则 是 的既不充分也不必要p q q p p q条件.7.点 到双曲线 渐近线的距离为 ，则双曲线的离心率等于（ M(2,0) C:x2a2y2b2
6、=1(a0,b0) 1） A. B. C. D. 243 233 4【答案】C【解析】分析：利用点到直线的距离公式列出方程，然后根据 a，b，c 关系求解双曲线的离心率即可详解：点 到双曲线 的渐近线 的距离为 ，M(2,0) C:x2a2-y2b2=1(a0,b0) bxay=0 1 ，|2b|a2+b2=2bc=1 ， ，c=2b a= 3b双曲线的离心率 e=ca=2b3b=233故选 C点睛：本题考查的简单性质的应用，考查计算能力8.在 中，角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c，且 若 ABC b2+c2=a2+bc. sinBsinC=，则 的形状是sinAsinA A
7、BC ( )5A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形【答案】C【解析】【分析】直接利用余弦定理的应用求出 A 的值，进一步利用正弦定理得到： b c，最后判断出三角形的形状【详解】在 ABC 中，角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c，且 b2+c2 a2+bc则： ，cosA=b2+c2-a22bc =bc2bc=12由于：0 A，故： A =3由于：sin BsinCsin 2A，利用正弦定理得： bc a2，所以： b2+c22 bc0，故： b c，所以： ABC 为等边三角形故选： C【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理及三角形面积公式
8、的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型9. ( 113+ 124+ 135+ 1n(n+2)=A. B. C. D. 1n(n+2) 12(1- 1n+2) 12(32- 1n+1- 1n+2) 12(1- 1n+1)【答案】C【解析】【分析】直接利用裂项相消化简求和即可【详解】 （1 ）113+ 124+ 135+ 1n(n+2)=12 -13+12-14+ 1n-1- 1n+1+1n- 1n+2= （1 ）= ，12 +12- 1n+1- 1n+2 12(32- 1n+1- 1n+2)故选 C.6【点睛】本题考查数列的求和方法：裂项相消求和，属于中档题10.若双曲线的中心为
9、原点， 是双曲线的焦点，过 F 直线 l 与双曲线交于 M， N 两点，F(-2,0)且 MN 的中点为 ，则双曲线的方程为 P(1,3)A. B. C. D. x23-y2=1 y2-x23=1 y23-x2=1 x2-y23=1【答案】D【解析】【分析】圆锥曲线中点弦问题，用点差法。先把 M， N 两点坐标设出来 ， ，代入双曲M(x1,y1) N(x2,y2)线方程，再做差，得到的式子 ，将中点 及直线斜率代入，然后可以找出x21-x22a2 =y21-y22b2 P(1,3)a、 b 的关系，从而解出双曲线方程。【详解】解：根据题意， 是双曲线的焦点，则双曲线的焦点在 x 轴上，F(-
10、2,0)设双曲线的方程为 ，且 ， ，x2a2-y2b2=1 M(x1,y1) N(x2,y2)直线 MN 过焦点 F，则 ，则有 ，变形可得 ，KMN=3-01-(-2)=1 y1-y2x1-x2=1 y1-y2=x1-x2，x21a2-y21b2=1,x22a2-y22b2=1, ， ，-x21-x22a2 =y21-y22b2又由 ，且 ， ，y1-y2=x1-x2 x1+x2=2 y1+y2=6变形可得： ，b2=3a2又由 ，则 ，c=2 a2+b2=4解可得： ， ，a2=1 b2=3则要求双曲线的方程为： ；x2-y23=1故选：D【点睛】本题是双曲线中点弦问题，利用设而不求的方
11、法，学生在平常学习中要重点练习。11.已知三角形的三边分别为 a， b， c，内切圆的半径为 r，则三角形的面积为7；四面体的四个面的面积分别为 S1， S2， S3， S4，内切球的半径为 R.类比三S=12(a+b+c)r角形的面积可得四面体的体积为( )A. B. C. V=12(S1+S2+S3+S4)R V=13(S1+S2+S3+S4)RD. V=14(S1+S2+S3+S4)R V=(S1+S2+S3+S4)R【答案】B【解析】【分析】根据几何体和平面图形的类比关系，三角形的边应与四面体中的各个面、面积与体积进行类比，利用类比推理，即可得到结论【详解】根据几何体和平面图形的类比关
12、系，三角形的边应与四面体中的各个面进行类比，而面积与体积进行类比，则 的面积为 ，ABC S=12(a+b+c)r对应于四面体的体积为 ，故选 BV=13(S1+S2+S3+S4)R【点睛】本题考查了类比推理的应用，其中合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)12.设函数 是奇函数 的导函数， ，当 时， ，则使得f(x) f(x)(xR) f(-1)=0 x0 xf(x)-f(x)0 xA. B. (-,-1)(1,+) (-,-1
13、)(0,1)C. D. (-1,0)(1,+) (0,1)(1,+)【答案】B【解析】【分析】由已知当 x0 时总有 xf（ x） f（ x）0 成立，可判断函数 g（ x） 为减函数，由=f(x)x已知 f（ x）是定义在 R 上的奇函数，可证明 g（ x）为（，0）（0，+）上的偶函数，根据函数 g（ x）在（0，+）上的单调性和奇偶性，大致画出 g（ x）的图象，而不等8式 f（ x）0 等价于 xg（ x）0，数形结合解不等式组即可【详解】设 g（ x） ，则 g（ x）的导数为： g（ x） ，=f(x)x =xf(x)-f(x)x2当 x0 时总有 xf（ x） f（ x）成立，即
14、当 x0 时， g（ x）恒小于 0，当 x0 时，函数 g（ x） 为减函数，=f(x)x又 g（ x） g（ x） ，=f(-x)-x=-f(x)-x=f(x)x=函数 g（ x）为定义域上的偶函数又 g（1） 0，=f(-1)-1=函数 g（ x）的图象大致如图：数形结合可得，不等式 f（ x）0 xg（ x）0 或 ，x 0g(x) 0 x 0g(x) 0 0 x1 或 x1故选：B【点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13.等差数列 中， ， ，则当 取最大值时， 的值为_an a10 S
15、3=S5 Sn n【答案】 4【解析】【分析】9由已知条件得到 的数量关系，然后结合等差数列的通项公式求出结果a1、d【详解】 ， ，a10 S3=S5，3a2=5a3即 ，3(a1+d)=5(a1+2d)，3a1+3d=5a1+10d -2a1=7d解得 d=-27a1若 取最大值，Snan=a1+(n-1)d=a1-27a1n+27a1=(97-27n)a10当 时成立 n=4故答案为 4【点睛】本题考查了等差数列的前 项和最值情况的求解，结合题意先求出 的数量关系，n a1、d要求数列和的最大，找出限制条件，从而求出结果。14.在 中， 分别是内角 的对边，且 ， ， ，ABC a,b,
16、c A,B,C a=2 b=3 m=(cosC,sinC)，若 ，则 _n=(2,233) mn c=【答案】 7【解析】【分析】利用向量垂直时数量积为 0 以及同角三角函数的商数关系，可求得 ，结合三角形tanC= 3的内角取值范围，即可确定 ，进而利用余弦定理求解.C=3【详解】 ， 且 ，m=(cosC,sinC) n=(2,-233) mn ， ，则 ，mn=2cosC-233sinC=0 tanC= 3 C=3 ，即 .c2=4+9-22312=7 c= 7故填： 7【点睛】本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了向量垂直的坐标表示；在解三角形中，已知两边和它们的夹角，或已知两边
17、及一边的对角，或已知三边，都能直接利用10余弦定理理解三角形.15.已知点 为双曲线 的右焦点，直线 交 于 两点，若F2 C:x2a2y2b2=1(a0,b0) y=kx C A,B， ，则 的虚轴长为_AF2B=23 SAF2B=23 C【答案】 22【解析】【分析】设双曲线的左焦点为 F1，则四边形 AF1BF2是平行四边形，利用余弦定理和双曲线的性质化简 求出 b 即可SAF2B=23【详解】由题意知点 B 与点 A 关于原点对称，设双曲线的左焦点为 F1，连接 AF1，BF 1，由对称性可知四边形 AF1BF2是平行四边形，F 1AF2= ， ，3 SAF2B=23设|AF 2|=m
18、，则|AF 1|=2a+m，在AF 1F2中，由余弦定理可得：4c2=m2+（m+2a） 2m（m+2a） ，化简得：4c 24a 2=m2+2ma，即 4b2=m（m+2a） ，又 = m（m+2a） = ，SABF212 3223b 2=22b= 22故答案为： 22【点睛】本题考查了双曲线的定义及简单性质的运用，属于中档题16.函数 只有一个零点，则实数的取值范围为_y=2x3ax2+1【答案】 (,3)11【解析】【分析】利用导数研究函数的单调性与极值，由 只有一个零点，结合函数的单调性可得f(x)，从而可得结果.f(0)f(a3)0【详解】 ，y=f(x)=2x3ax2+1，f(x)
19、=6x22ax由 得 或 ，f(x)=0 x=0 x=a3在 上递增，在 上递减，f(x) (,0,)(a3,+) (0,a3)或 在 上递增，在 上递减，f(x) (,a3),(0,+) (a3,0)函数 有两个极值点 ，f(x) x=0.x=a3因为 只有一个零点，所以 ，f(x) f(0)f(a3)0解得 ，故答案为 .a0 f(m) f(M)=0.f(M)f(m)0 cosA正弦定理得 ，再由余弦定理及 ，配方化简可得 ，由三角a=2RsinA=25 b+c=26 bc=6形面积公式可得结果.【详解】 （）由 及正弦定理得cosCcosA+2c+3b2a =02sinAcosC+2co
20、sAsinC+3cosAsinB=0从而 即2sin(A+C)+3cosAsinB=0 2sinB+3cosAsinB=0又 中 , . ABC sinB0 cosA=-23（） 外接圆半径为 3, ,由正弦定理得 ABC sinA=53 a=2RsinA=25再由余弦定理 ,及a2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-2(1+cosA)bc b+c=26得 bc=6 的面积 .ABC S=12bcsinA=12653= 5【点睛】以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类
21、问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.19.中华人民共和国道路交通安全法第 47 条的相关规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线” ， 中华人民共和国道路交通安全法 第 90 条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣 3 分，罚款 50 元的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的 5 个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据：月份 1 2 3 4 5违章驾驶员人数 120 105 100 90 85（1）请利用所给数据求违章人数 与月份之间的回归直线方程
22、；y y=bx+a14（2）交警从这 5 个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查了 50 人，调查驾驶员不“礼让斑马线”行为与驾龄的关系，得到如下 列联表：能否据此判断有 的把握认为“礼22 97.5%让斑马线”行为与驾龄有关？不礼让斑马线 礼让斑马线 合计驾龄不超过 1 年 22 8 30驾龄 1 年以上 8 12 20合计 30 20 50参考公式及数据：.b=ni=1xiyi-nxyni=1x2i-nx2=ni=1(xi-x)(yi-y)ni=1(xi-x)2,a=y-bxP(K2k) 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.70
23、6 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828（其中 ）K2= n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) n=a+b+c+d【答案】 （1） ；（2）有 的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄关y=-8.5x+125.5 97.5%【解析】【分析】（1）利用所给数据计算 、 ，求出回归系数，写出回归直线方程；x y（2）由列联表中数据计算 K2，对照临界值得出结论【详解】 （1）由表中数据知， ，x=3,y=100 ，b=ni=1xiyi-nxyni=1x2i-nx2 =1415-150055-45=-8.5 ，a=y-bx=125.5所求回归直线方程为 。y=
24、-8.5x+125.5（2）由表中数据得 ，K2=50(2212-88)230203020=509 5.5565.024根据统计有 的把握认为 “礼让斑马线”行为与驾龄关97.5%15【点睛】本题考查了线性回归方程与独立性检验的应用问题，属于基础题20.已知抛物线 与直线 相交于 、 两点，点 为坐标原点 .y2=x l：y=k(x-1) A B O（1）当 k=1 时,求 的值；OAOB（2）若 的面积等于 ，求直线的方程 .OAB54【答案】 （1） （2） 或0 2x+3y2=0 2x3y2=0【解析】【分析】（1）联立直线与抛物线方程，化为关于 y 的一元二次方程，由根与系数关系求出
25、A， B 两点的横纵坐标的和与积，直接运用数量积的坐标运算求解；（2）直接代入三角形面积公式求解即可.【详解】 （1）设 ， 由题意可知：k=1， ，A(y12，y1) B(y22，y2) x=y+1联立 y2x 得：y 2-y10 显然：0， ，y1+y2=1y1y2=-1 （ y12） （ y22）+ y1y2（1） 2-10，OA OB=（2）联立直线 与 y2x 得 ky2-y k0 显然：0，l：y=k(x-1) ，y1+y2=1ky1y2=-1 S OAB 1|y1 y2| ，=12 =12(y1+y2)2-4y1y2=121k2+4=54解得： k ，23直线 l 的方程为：2
26、x+3y+20 或 2x3 y+20【点睛】本题考查了直线和圆锥曲线的关系，考查了平面向量数量积的坐标运算，训练了三角形面积的求法，是中档题21.已知函数 .f(x)=xalnx(aR)（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；a=2 y=f(x) A(1,f(1)（2）讨论函数 的单调区间 .f(x)【答案】 （1） （2）当 时增区间 ，当 时增区间 ，减区间x+y2=0 a0 (0,+) a0 (a,+)(0,a)16【解析】试题分析：（1）当 时， ，求得切点为 ， ，求得斜率为a=2 f(x)=x2lnx A(1,1) f(x)=12x，故切线方程为 ；（2）函数的定义域为 ， ，当
27、f(1)=1 y1=(x1) (0,+) f(x)=1ax=xax时， ， 恒成立，函数单调递增，当 时， 在 上单调递减，a0 x0 f(x)0 a0 f(x) (0,a)在 上单调递增 .(a,+)试题解析：（1） ， ， ，即a=2 f(x)=x2lnx f(1)=12ln1=1 A(1,1)， ，f(x)=12x f(1)=12=1由导数的几何意义可知所求切线的斜率 ，k=f(1)=1所以所求切线方程为 ，即 .y1=(x1) x+y2=0（2） ，f(x)=1ax=xax当 时， ， 恒成立，a0 x0 f(x)0 在定义域 上单调递增；f(x) (0,+)当 时，令 ，得 ，a0
28、f(x)=0 x=a ， ，得 ； 得 ；x0 f(x)0 xa f(x)b0)由已知得 ，解得： ，a-c= 2-1ca=22 a= 2c=1 所以 b2=a2-c2=1所以椭圆 E 的方程为 x22+y2=1假设存在符合条件的点 ，(2) M(m,0)设 ， ，P(x1,y1) Q(x2,y2)则 ， ，MP=(x1-m,y1) MQ=(x2-m,y2)，MP MQ=(x1-m)(x2-m)+y1y2=x1x2-m(x1+x2)+m2+y1y2当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 ， y=k(x-1)由 ，得： ，y=k(x-1)x22+y2=1 (2k2+1)x2-4k2x+(
29、2k2-2)=0， ，x1+x2=4k22k2+1 x1x2=2k2-22k2+1，y1y2=k2-(x1+x2)+x1x2+1=- k22k2+1，MP MQ=(2m2-4m+1)k2+m2-22k2+1对于任意的 k 值，上式为定值，故 ，解得： ，2m2-4m+1=2(m2-2) m=54此时， 为定值；MP MQ=-716当直线 l 的斜率不存在时，直线 l： ， ， ， ，18由 ，得 为定值，综合 知，符合条件的点 M 存在，其坐标为 【点睛】本题考查椭圆的标准方程、椭圆的性质，考查直线与椭圆的位置关系，以及存在性问题、转化与划归思想的应用，属于难题解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在，注意：当条件和结论不唯一时要分类讨论；当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；当条件和结论都不知，按常规方法题很难时采取另外的途径.
