1、第三章 一元一次方程,初中数学（人教版）七年级 上册,知识点一 等式的性质,解析 (1)a-3=b+2 由a-3变成a+1b+2变成b+2+4=b+6 (2)3x=2x+5 由2x+5变成53x变成3x-2x (3) x=5 由 x变成x5变成52=10 (4)5m=2n 由5m变成m2n变成2n5= n,答案 (1)b+6 (2)2x (3)10 (4) n 方法归纳 先从不需要填空的一边入手,比较这一边是怎样变形的,再 根据等式的性质,对另一边也进行同样的变形.,知识点二 利用等式的性质解方程,分析 利用等式的性质解方程,必须注意在加或减、乘或除以某个数 时,方程两边要同时进行,否则会出现
2、错误.,例2 利用等式的性质解下列方程: (1)x+5=7;(2)-4x=20;(3)4x-4=8;(4)4x=8x-12.,解析 (1)利用等式的性质1,两边都减去5得 x+5-5=7-5,即x=2. (2)利用等式的性质2,两边都除以-4得 = ,即x=-5. (3)利用等式的性质1,两边都加上4得 4x-4+4=8+4,即4x=12. 利用等式的性质2,两边都除以4得x=3. (4)利用等式的性质1,两边都减去8x得 4x-8x=8x-12-8x,即-4x=-12. 利用等式的性质2,两边都除以-4得x=3. 温馨提示 综合应用等式的性质使复杂的一元一次方程转化为x=a(a 是常数)的形
3、式,这就是解方程的基本思想.,题型一 判断等式变形是否正确 例1 判断下列说法是否正确. (1)如果a=b,那么ac=bc; (2)如果ac=bc,那么a=b; (3)如果a=b,那么-2a+m=-2b+m; (4)如果a=b,那么 a-n= b-n.,解析 (1)从a=b变形为ac=bc,等式两边同时乘c,正确. (2)从ac=bc变形为a=b,等式两边要同时除以c,但当c=0时不能变形,a与b 不一定相等,不正确. (3)从a=b变形为-2a+m=-2b+m要分两步,第一步是两边同时乘-2,第二步 是两边同时加m,正确. (4)从a=b变形为 a-n= b-n要分两步,第一步是两边同时乘
4、,第二步是 两边同时减n,正确.,点拨 判断等式的变形是否正确,关键是确定利用等式的哪个性质变 形.当对等式两边加、减或乘同一个数(或式子)时,变形均正确;当对等 式两边除以同一个数(或式子)时,要先判断这个数(或式子)是不是0,若 确定该数(或式子)不为0,则该变形正确,否则错误.,题型二 利用等式的性质对已知等式进行变形 例2 利用等式的性质在横线上填上适当的数或式子,并说明变形的根 据以及是怎样变形的. (1)如果2x-3=-5,则2x= ,x= ; (2)如果5x+2=2x-4,则3x= ,x= ; (3)如果 x=2x-3,则- x= ,x= .,分析 首先观察等式的左边是如何由上一
5、步变形得到的,确定变形的依 据,再对等式的右边进行相应的变形,得出结论.,解析 (1)-2;-1.根据等式的性质1,等式两边同时加3,得2x=-2;再根据等 式的性质2,两边同时除以2,得x=-1. (2)-6;-2.根据等式的性质1,等式两边同时减(2x+2),得3x=-6;再根据等式 的性质2,两边同时除以3,得x=-2. (3)-3; .根据等式的性质1,等式两边同时减2x,得- x=-3,再根据等式的性 质2,两边同时乘- ,得x= .,点拨 等式的变形先要联想到等式的性质,比较等号同一侧的变化特 征,从而确定是应用了等式的哪条性质,然后利用这一性质变形.,易错点 利用等式的性质2时,
6、常常忽略除数不为0这一条件 例 能不能由(a+3)x=b-1,得到x= ?,错解 能,根据等式的性质2,(a+3)x=b-1的两边同时除以(a+3)即可得到x = . 正解 当a=-3时,由(a+3)x=b-1,不能得到x= ;当a-3时,由(a+3)x=b- 1,能得到x= . 错因分析 利用等式的性质2时,要注意等式的两边同时除以的数(或式 子)不能为0.,知识点一 等式的性质 1.下列等式变形错误的是 ( ) A.若x-1=3,则x=4 B.若 x-1=x,则x-1=2x C.若x-3=y-3,则x-y=0 D.若3x+4=2x,则3x-2x=-4,答案 B B选项, x-1=x,根据等
7、式的性质2,两边都乘2,可得x-2=2x,故B 选项错误,故选B.,2.根据等式的性质,下列各式变形正确的是 ( ) A.由- x= y得x=2y B.由3x-2=2x+2得x=4 C.由2x-3=3x得x=3 D.由3x-5=7得3x=7-5,答案 B A选项,等式两边同时乘-3,得x=-2y;C选项,等式两边同时减去 2x,得x=-3;D选项,等式两边同时加5,得3x=7+5.,3.下列是等式 -1=x的变形,其中根据等式的性质2变形的是 ( ) A. =x+1 B. -x=1 C. + -1=x D.2x+1-3=3x,答案 D 根据等式的性质2,等式两边同时乘3,得2x+1-3=3x.
8、,知识点二 利用等式的性质解方程 4.在下列各题的横线上填上适当的数或整式,使所得结果仍是等式,并说 明变形是根据等式的哪一条性质以及是怎样变形的. (1)如果- = ,那么x= ,根据 ; (2)如果-2x=2y,那么x= ,根据 ; (3)如果 x=4,那么x= ,根据 ; (4)如果x=3x+2,那么x- =2,根据 .,答案 (1)-2y;等式的性质2,两边都乘-10 (2)-y;等式的性质2,两边都除以-2 (3)6;等式的性质2,两边都乘 (4)3x;等式的性质1,两边都减去3x,5.利用等式的性质解方程. (1)4x-6=-10;(2)-5x=-15; (3)10x=5x-3;(
9、4)7x-6=8x.,解析 (1)方程两边同时加上6,得4x-6+6=-10+6,即4x=-4.方程两边同时 除以4,得x=-1. (2)方程两边同时除以-5,得x=3. (3)方程两边同时减去5x,得10x-5x=-3,即5x=-3. 方程两边同时除以5,得x=- . (4)方程两边同时减去7x,得7x-6-7x=8x-7x, 合并,得-6=x,即x=-6.,1.下列变形不是根据等式的性质的是 ( ) A. = B.若-2a=x,则x+2a=0 C.若x-3=2-2x,则x+2x=2+3 D.若- x=1,则x=-2,答案 A 选项A的变形是根据分数的基本性质,分子、分母同乘10,不 是根据
10、等式的性质.,2.(2018湖北孝感八校联考)若a=b,则下列各式正确的是 ( ) A.a-9=b+9 B. = C.3a=-3b D.-3a=-3b,答案 D 选项D依据的是等式的性质2,两边同时乘-3.,3.下列变形正确的是 ( ) A.如果ax=bx,那么a=b B.如果(a+1)x=a+1,那么x=1 C.如果x=y,那么x-5=5-y D.如果(a2+1)x=1,那么x=,答案 D A中在等式两边同时除以x,但当x=0时不能直接变形,a与b不 一定相等,不正确;B中在等式两边同时除以(a+1),但当(a+1)=0时不能直 接变形,x不一定等于1,不正确;C中根据等式的性质不可能得到;
11、D中在 等式两边同时除以(a2+1),且a2+10,故成立.,4.把等式2x-y=10变形为-4x+2y=-20,其依据是 ( ) A.等式的性质1 B.等式的性质2 C.分数的基本性质 D.乘法分配律,答案 B 在等式2x-y=10的两边同时乘-2得,-4x+2y=-20,故依据是等式 的性质2.故选B.,5.等式3x=2x+1的两边同时减去 ,得x= , 其依据是 .,答案 2x;1;等式的性质1,6.如果(a2+1)x=b,可得x= ,这是根据 ,在等式两边同时 .,答案 ;等式的性质2;除以(a2+1),解析 因为a2+10,所以根据等式的性质2,等式两边同时除以(a2+1),得x =
12、 .,7.用适当的数或式子填空,使变形后仍是等式,并说明是根据哪一个性质 得到的. (1)若3x+5=2,则3x=2- ; (2)若-4x= ,则x= .,解析 (1)5.根据等式的性质1,方程两边都减5. (2)- .根据等式的性质2,方程两边都除以-4.,1.已知由- x=6可得x=-24,下列变形方法:方程两边同乘- ;方程两 边同乘-4;方程两边同除以- ;方程两边同除以-4.其中正确的有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个,答案 B 因为 1; (-4)=1,且6(-4)=-24; =1,且6 =-24; (-4)1,所以正确,错误.,2.下列说法正确的是 ( ) A.等
13、式ab=ac两边都除以a,可得b=c B.等式a=b两边都除以c2+1,可得 = C.等式 = 两边都除以a,可得b=c D.等式2x=2a-b两边都除以2,可得x=a-b,答案 B 选项A中,a可能为0,不能直接变形,b与c不一定相等,故A不正 确;选项C中,由 = 得b=c,两边应是同乘a,故C不正确;选项D中,两边都 除以2应是x=a- b,故D不正确.故选B.,3.如图3-1-2-1,在第一个天平上,砝码A的质量等于砝码B加上砝码C的 质量;如图3-1-2-1,在第二个天平上,砝码A加上砝码B的质量等于3个 砝码C的质量.请你判断:1个砝码A与 个砝码C的质量相等.图3-1-2-1,答
14、案 2,解析 砝码A的质量=砝码B的质量+砝码C的质量, 砝码A的质量+砝码B的质量=砝码C的质量+砝码C的质量+砝码C的 质量. 将代入,得砝码B的质量+砝码C的质量+砝码B的质量=砝码C的质 量+砝码C的质量+砝码C的质量. 两边都减去砝码C的质量,得砝码B的质量+砝码B的质量=砝码C的质量 +砝码C的质量. 所以砝码B的质量=砝码C的质量. 所以砝码A的质量=砝码C的质量+砝码C的质量,即1个砝码A的质量=2 个砝码C的质量.,1.下列变形正确的是 ( ) A.若3x-1=2x+1,则x=0 B.若ac=bc,则a=b C.若a=b,则 = D.若 = ,则 =,答案 D A选项,两边同
15、时减(2x-1),应该得到x=2,不正确;B、C选项没 有说明c0,也是错的;D选项在等式两边同时乘a,正确.,2.将方程2(x-1)=3(x-1)的两边同除以(x-1),得2=3,其错误的原因是 ( ) A.方程本身是错的 B.方程无解 C.不能确定(x-1)的值是不是0 D.2(x-1)小于3(x-1),答案 C 方程两边不能同时除以(x-1),因为不能确定(x-1)的值是不是0.,3.某同学在做作业时发现:方程2-( )x=- +2x不能求解了,因为( )处的 数字在印刷时被污迹盖住了,经过翻看后面的答案,知道该方程的解为x = ,该同学很快就知道了被污迹盖住的数字.你认为将该方程复原出
16、来 应为 .,答案 2-5x=- +2x,解析 设被污迹盖住的数字为a,则原方程变为2-ax=- +2x,把x= 代入 方程,得2- a=- +1,解得a=5.所以将该方程复原出来为2-5x=- +2x.,4.已知x=5是关于x的方程3x-2a=7的解,则a的值为 .,答案 4,解析 把x=5代入方程,得15-2a=7,根据等式的性质1,等式两边同时减去 15,得15-2a-15=7-15,即-2a=-8,根据等式的性质2,等式两边同时除以-2, 得a=4.,5.(1)如果mx=4m,那么x=4对吗?为什么? (2)如果x=4,那么mx=4m对吗?为什么?,解析 (1)不正确,等式两边不能同时
17、除以m,因为不能确保m一定不为0. (2)正确,根据等式的性质2,等式两边同时乘同一个数,结果仍相等.,6.下列方程的变形是否正确?为什么? (1)由3+x=5,得x=5+3; (2)由7x=-4,得x=- ; (3)由 y=0,得y=2; (4)由3=x-2,得x=-2-3.,7.利用等式的性质解下列方程: (1)3x+5=-13;(2) x-6=5; (3)3x+4=-13;(4) x-1=5.,一、选择题 1.(2018安徽东至庆丰中学月考,3,)下列变形错误的是 ( ) A.若x=y,则x+5=y+5 B.若 = ,则x=y C.若-3x=-3y,则x=y D.若x=y,则 =,答案
18、D A.x=y,等式两边同加5,得x+5=y+5,正确; B. = ,等式两边同乘a,得x=y,正确; C.-3x=-3y,等式两边同除以-3,得x=y,正确; D.没有说明m能否取0,错误.故选D.,2.(2018辽宁大连九中期末,2,)下列变形符合等式的性质的是 ( ) A.如果2x-3=-7,那么2x=7-3 B.如果3x-2=x+1,那么3x-x=1-2 C.如果-2x=5,那么x=5+2 D.如果- x=1,那么x=-3,答案 D 将- x=1的两边同乘-3,得(-3) =(-3)1,即x=-3.,二、填空题 3.(2016湖南湘潭阶段检测,10,)由2x-1=0得到x= ,可分两步
19、,按步 骤完成下列填空: 第一步:根据等式的性质 ,等式两边 ,得到2x=1. 第二步:根据等式的性质 ,等式两边 ,得到x= .,答案 1;同时加1;2;同时乘 (或同时除以2),解析 根据等式的性质即可得到答案.,1.(2018广东深圳百合外国语学校月考,1,)将方程 x= 中未知数 的系数化为1后,得出方程的解为 ( ) A.x=12 B.x= C.x=3 D.x=,答案 D 在方程两边同时乘4即可.,2.(2018安徽祁门古溪中学月考,3,)下列等式变形正确的是 ( ) A.如果x=y,那么x-2=y-2 B.如果- x=8,那么x=-4 C.如果mx=my,那么x=y D.如果|x|
20、=|y|,那么x=y,答案 A B选项,如果- x=8,那么x=-16,故此选项错误;C选项,如果mx= my,那么只有当m0时,x=y,故此选项错误;D选项,如果|x|=|y|,那么x=y, 故此选项错误.故选A.,3.(2017云南师大附中期末,7,)下列等式变形错误的是 ( ) A.如果x+7=26,那么x+5=24 B.如果3x+2y=2x-y,那么3x+3y=2x C.如果2a=5b,那么2ac=5bc D.如果3x=4y,那么 =,答案 D D选项,如果3x=4y,那么只有当a0时, = 才成立,故此选 项错误,故选D.,4.(2017湖北沙市中学月考,5,)下列运用等式的性质进行
21、的变形 中,不正确的是 ( ) A.如果a=b,那么a-c=b-c B.如果a=b,那么a+c=b+c C.如果a=b,那么 = D.如果a=b,那么ac=bc,答案 C 如果a=b,那么只有当c0时, = 才成立,故选C.,选择题 1.(2017浙江杭州中考,5,)设x,y,c是有理数,下列说法正确的是 ( ) A.若x=y,则x+c=y-c B.若x=y,则xc=yc C.若x=y,则 = D.若 = ,则2x=3y,答案 B 当c0时,A不成立;无论c取何值,B都成立;当c=0时,C不成立; 若 = ,则3x=2y,故D不成立.故选B.,2.(2016海南中考,2,)若代数式 x+2 的
22、值为1,则x等于 ( ) A.1 B.-1 C.3 D.-3,答案 B 由题意得x+2=1,利用等式的性质1,方程两边同时减去2,得x= 1-2,即x=-1.,3.(2013山东滨州中考改编,3,)把方程 x=1变形为x=2,其依据是( ) A.等式的性质1 B.等式的性质2 C.分式的基本性质 D.不等式的性质1,答案 B 在等式 x=1的两边同乘2,得x=2,故依据是等式的性质2.,1.(2016广东中考,9,)已知方程x-2y+3=8,则整式x-2y的值为 ( ) A.5 B.10 C.12 D.15,答案 A 把x-2y看成一个整体,根据等式的性质1,等式两边同时减去3, 得x-2y=
23、5.,2.(2015湖北咸宁中考,2,)方程2x-1=3的解是 ( ) A.-1 B.-2 C.1 D.2,答案 D 根据等式的性质1,方程两边都加1,得2x-1+1=3+1,即2x=4,再 根据等式的性质2,方程两边同时除以2,得x=2,故选D.,3.(2014四川眉山中考,3,)方程3x-1=2的解是 ( ) A.x=1 B.x=-1 C.x=- D.x=,答案 A 方程两边同时加1,得3x=3.方程两边同时除以3,得x=1,故选A.,4.(2014浙江湖州中考,11,)方程2x-1=0的解是x= .,答案,解析 因为2x-1=0,所以2x=1,所以x= .,1.已知2x2-3=5,你能求
24、出x2 +3的值吗?说明理由.,解析 能.由2x2-3=5,得2x2=5+3,x2=4,所以x2+3=4+3=7.,2.a、b、c三个物体的质量关系如图3-1-2-2所示:图3-1-2-2 回答下列问题: (1)a、b、c三个物体就单个而言哪个最重? (2)若天平一边放一些物体a,另一边放一些物体c,要使天平平衡,天平两 边至少应该分别放几个物体a和物体c?,解析 (1)根据题图知2a=3b,2b=3c, 则a= b,b= c,进而有a= c, 因为 c cc,所以abc, 所以a、b、c三个物体就单个而言,a最重. (2)由(1)知a= c,即4a=9c, 所以若天平一边放一些物体a,另一边
25、放一些物体c,要使天平平衡,则天 平两边至少应该分别放4个物体a和9个物体c.,1.规定“*”为一种新运算,对任意有理数a、b,有a*b=a+2b,若6*x=12, 试用等式的性质求x的值.,解析 由6*x=12,得6+2x=12,根据等式的性质1,等式两边同时减去6,得6 +2x-6=12-6,即2x=6,根据等式的性质2,等式两边同时除以2,得x=3.,2.能否从等式(3a+7)x=4a-b中得到x= ?为什么?反过来,能否从等式 x= 中得到(3a+7)x=4a-b?为什么?,3.已知3b-2a-1=3a-2b,请你利用等式的性质比较a与b的大小.,解析 等式两边同时加上2a+1,得3b=5a-2b+1,两边同时加上2b,得5b=5 a+1,两边同时除以5,得b=a+ ,所以ba.,
