1、第五章 一元一次方程,初中数学（北师大版）七年级 上册,第五章 一元一次方程,知识点一 一元一次方程的有关概念 1.方程的定义 含有未知数的等式叫做方程.方程是表达数量之间相等关系的“天 平”,因此,方程首先是等式,但它又是特殊的等式,是含有未知数的等式. 2.方程的解 使方程左、右两边的值相等的未知数的值,叫做方程的解,判断一个数 是不是方程的解,可以将这个数代入方程验证,只要左、右两边的值相 等就是该方程的解.,3.一元一次方程,例1 下列各式是一元一次方程的是 (只填序号). (1)S= ab;(2)x-y=0;(3)x=0;(4) =1;(5)3-1=2;(6)4y-5=1;(7)2x
2、2+2x+1=0; (8)x+2.,解析 (5)中不含未知数,所以不是一元一次方程;(7)中未知数的最高次 数是2,所以不是一元一次方程;(1)与(2)中含有的未知数不是一个,也不 是一元一次方程;(8)虽然形式上字母的个数是一个,但它不是等式,所以 也不是一元一次方程;(4)中分母中含有未知数,不是一元一次方程;只有 (3)、(6)符合一元一次方程的概念,所以它们是一元一次方程.,答案 (3)(6),例2 检验下面方程后面括号里的数是不是方程的解. (1)3x-1=2(x+1)-4(x=-1); (2) -1=3(x-2) .,解析 (1)当x=-1时,3x-1=3(-1)-1=-4,2(x
3、+1)-4=2(-1)+1-4=-4,此时等 号左右两边相等,故x=-1是方程3x-1=2(x+1)-4的解. (2)当x= 时, -1=-2,3(x-2)=-5,此时等号左右两边不相等,故x= 不是 方程 -1=3(x-2)的解.,知识点二 根据实际问题列方程 根据实际问题列简易方程的步骤 (1)设未知数:一般问什么设什么,有时也可根据题意间接设未知数; (2)找关系:找到能够反映应用题全部含义的相等关系; (3)列方程:分析题目中已知量和未知量之间的关系,列出相关代数式,用 相关代数式代替等式左右两边,就可以列出方程. 例3 在课外活动中,张老师发现同学们的年龄大多数是13岁,就问同学 们
4、:“我今年45岁,几年后你们的年龄是我年龄的三分之一?你们能列出 方程吗?”,解析 设x年后,同学们的年龄是张老师年龄的 ,易知x年后,张老师(45+ x)岁,同学们(13+x)岁,根据题意,可列出方程:13+x= (45+x).,知识点三 等式的基本性质特别提醒 (1)在“等式两边都加上(或减去)同一个整式,所得结果仍是等式”中, 整式可以是单项式也可以是多项式.,(2)在运用等式的基本性质2进行等式变形时,除数不能等于0.例如:若a= b,则 = 是错误的;反过来,若 = ,则a=b是正确的. 例4 根据等式的基本性质填空. (1)如果 x=5,那么x= ,根据 ; (2)如果x-2=-3
5、,那么x= ,根据 .,解析 (1)根据等式的基本性质2,等式两边同乘2,得x=10. (2)根据等式的基本性质1,两边同加上2,得x=-1.,答案 (1)10;等式的基本性质2;(2)-1;等式的基本性质1,题型一 根据一元一次方程的定义求字母的值 例1 已知(2-k)x|k-1|-21=3是关于x的一元一次方程,求k的值.,解析 因为(2-k)x|k-1|-21=3是关于x的一元一次方程,所以|k-1|=1且2-k0. 由|k-1|=1,得k-1=1或k-1=-1,解得k=2或k=0. 由2-k0,得k2.综上,k=0. 点拨 在一元一次方程中,如果未知数的指数或系数中含有某个字母, 那么
6、根据一元一次方程中未知数的指数等于1或未知数的系数不等于0 可以求得这个字母的值或取值范围.,题型二 根据一元一次方程的解求值 例2 已知关于x的方程3a-x= +3的解是x=4,求a2-2a的值. 分析 由方程的解的意义可知x=4必使方程左右两边相等,可把x=4代入 方程3a-x= +3,得到关于a的方程,从而求出a的值,进而求得a2-2a的值.,解析 把x=4代入方程3a-x= +3,得3a-4= +3,即3a-4=5,解得a=3. 当a=3时,a2-2a=32-23=3. 点拨 已知方程的解,求待定字母的值的方法:根据方程的解的定义把 方程的解代入方程,得到一个关于字母的方程,再解这个关
7、于字母的方 程,从而求出字母的值.,易错点一 对一元一次方程的定义理解不透彻 例1 下列方程:x+2y=3; +2x=5; =y+1;x=1;x2+5=2;x-2 =0,是一元一次方程的是 (填序号).,错解 正解 错因分析 选是因为忽略了定义中的“整式方程”,丢掉是因为只把“x=1”看做了方程的解.,易错点二 利用等式的基本性质2时,忽略除数不为0的条件 例2 下列说法中,正确的个数是 ( ) 若mx=my,则mx-my=0; 若mx=my,则x=y; 若mx=my,则mx+my=2my; 若x=y,则mx=my. A.1 B.2 C.3 D.4 错解 D 正解 C 错因分析 容易认为m是非
8、零的数而错误地以为是正确的,从而错选 D.其实没有限制m,当m=0时,不能由mx=my得到x=y.,知识点一 一元一次方程的有关概念 1.下列式子是一元一次方程的是 ( ) A.x+3=y+2 B.x+3=3-x C. =1 D.x2-1=0,答案 B 选项A,含有两个未知数,不是一元一次方程;选项B,符合一元 一次方程的定义;选项C,分母中含有未知数,不是一元一次方程;选项D, 未知数的次数是2,不是一元一次方程.故选B.,2.如果方程(m-1)x+2=0是关于x的一元一次方程,那么m的取值范围是 ( ) A.m0 B.m1 C.m=-1 D.m=0,答案 B 一元一次方程中未知数的系数不能
9、为零.,3.下列方程中的解是 的方程是 ( ) A.6x+1=1 B.7x-1=x-1 C.2x= D.5x=x+2,答案 C 当x= 时,只有C选项的方程左、右两边的值相等,故选C.,知识点二 根据实际问题列方程 4.吴颖买书需用48元钱,付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张.设所用 的1元纸币为x张,根据题意,下面所列方程正确的是 ( ) A.x+5(12-x)=48 B.x+5(x-12)=48 C.x+12(x-5)=48 D.5x+(12-x)=48,答案 A 因为用了1元的纸币x张,所以用了5元的纸币(12-x)张,故可列 方程为x+5(12-x)=48.故选A.,5.张明的妈妈
10、今年44岁,她的年龄比张明年龄的3倍还大2岁,设张明今年 x岁,则可列方程为 .,答案 3x+2=44,解析 根据题意得张明年龄的3倍+2=妈妈的年龄.故填3x+2=44.,知识点三 等式的基本性质 6.下列等式变形错误的是 ( ) A.若x-1=3,则x=4 B.若 x+1=x,则x+1=2x C.若x=y,则x-3=y-3 D.若a=b,则3a=3b,答案 B B项中 x+1=x,根据等式的基本性质2,两边同乘2,可得x+2=2 x,故B选项错误,故选B.,7.(1)如果- = ,那么x= ,根据 ; (2)如果-2x=2y,那么x= ,根据 ; (3)如果 x=4,那么x= ,根据 ;
11、(4)如果x=3x+2,那么x- =2,根据 .,答案 (1)-2y;等式的基本性质2,两边同时乘-10 (2)-y;等式的基本性质2,两边同时除以-2 (3)6;等式的基本性质2,两边同时乘 (4)3x;等式的基本性质1,两边同时减去3x,1.下列式子是一元一次方程的有 ( ) x=3;x+y=6;x2+3x=1; =-2; x= ;2x-3;x-7=10. A.3个 B.4个 C.5个 D.6个,答案 A 根据一元一次方程的定义知是一元一次方程,故选A.,2.下列方程中,解是x=2的方程是 ( ) A. x=2 B.- x+ =0 C.3x+6=0 D.5-3x=1,答案 B 将x=2代入
12、各选项,只有B选项两边相等,故x=2是- x+ =0的 解,故选B.,3.根据下列条件可列出一元一次方程的是 ( ) A.a与1的和的3倍 B.甲数的2倍与乙数的3倍的和 C.a与b差的20% D.一个数的3倍是5,答案 D D选项,设这个数为x,则3x=5.,4.下列变形符合等式的基本性质的是 ( ) A.如果2x-3=-7,那么2x=7-3 B.如果3x-2=x+1,那么3x-x=1-2 C.如果-2x=5,那么x=5+2 D.如果- x=1,那么x=-3,答案 D 将- x=1的两边同乘-3,得(-3) =(-3)1,即x=-3.,5.根据下列题干设未知数列方程,并判断它是不是一元一次方
13、程. (1)从60 cm的木条上截去2段同样长的木条,还剩下10 cm长的木条,截下 的每段木条的长为多少厘米? (2)小红对小敏说:“我是6月份出生的,我的年龄的2倍加上10,正好是我 出生的那个月的总天数,你猜我几岁?”,解析 (1)设截下的每段木条的长为x cm, 由题意得60-2x=10,是一元一次方程. (2)设小红的年龄为x岁, 由题意得2x+10=30,是一元一次方程.,1.若(m-2)x|2m-3|=6是一元一次方程,则m等于 ( ) A.1 B.2 C.1或2 D.任意数,答案 A 根据一元一次方程的概念可知,m-20,2m-3=1或-1,解得m=1.,2.若x=1是方程2x
14、-a=0的解,则2a= ( ) A.1 B.-1 C.4 D.-4,答案 C 将x=1代入方程得21-a=0,即2-a=0,所以a=2,所以2a=4.故选C.,3.如图5-1-1,天平右盘里放了一块砖,左盘里放了半块砖和2 kg的砝码, 此时天平两端正好平衡,那么一块砖的质量是 ( )图5-1-1 A.1 kg B.2 kg C.3 kg D.4 kg,答案 D 由天平平衡得2 kg+半块砖的质量=一块砖的质量. 设半块砖的质量为m kg,则2+m=2m=m+m. 由等式的基本性质1,得2=m,即m=2,故一块砖的质量是4 kg.故选D.,4.根据下列问题,设未知数并列出方程. (1)小丽从出
15、版社邮购3本一样的书,包括邮费的总价为37.5元,如果每本 书的邮费是2元,那么每本书的价格是多少元? (2)春运期间,汽车票价上浮20%,小明从南京去上海的票价是84元,求原 来的票价; (3)有A、B两袋大米,A袋大米重50千克,它的 比B袋的70%少8千克,B袋 有多少千克大米?,解析 (1)设每本书的价格是x元,则3x+32=37.5. (2)设原来的票价为x元,则x+20%x=84. (3)设B袋有x千克大米,则 50+8=70%x.,1.下列根据等式的基本性质变形正确的有 ( ) 若a=b,则ac=bc;若ac=bc,则a=b; 若a=b,则 = ;若 = ,则a=b; 若a=b,
16、则 = . A.1个 B.2个 C.3个 D.4个,答案 C 根据等式的基本性质2,在等式a=b的两边同时乘c,等式仍 成立,正确;当c=0时,a=b不一定成立,错误;当c=0时,此变形错误; 根据等式的基本性质2,等式 = 的两边同时乘c,等式仍成立,正确;因 为c2+10,所以在等式a=b的两边同时除以c2+1,等式仍成立,正确.故选C.,2.已知由- x=6可得x=-24,下列变形方法:方程两边同乘- ;方程两 边同乘-4;方程两边同除以- ;方程两边同除以-4.其中正确的有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个,答案 B 因为 1; (-4)=1,且6(-4)=-24; =1
17、,且6 =-24; 41,所以正确,错误.,3.关于x的方程(k+1)x2+kx-2=0是一元一次方程,则k= ,方程的解 是 .,答案 -1;-2,解析 由方程(k+1)x2+kx-2=0是一元一次方程得二次项系数k+1=0,即k= -1,代入方程得-x-2=0,即x=-2.,4.若x=4是方程2x-4=4x+a的解,求 a2+ a的值.,解析 将x=4代入方程2x-4=4x+a,得 24-4=44+a,解得a=-12. 当a=-12时,a2+ a= (-12)2+ (-12)=48- =46 .,答案 D A选项中含有两个未知数,B选项中等式的左边不是整式,C选 项中x的最高次数是2,因此
18、A、B、C选项中的方程均不是一元一次方程.,2.(2018河北保定莲池期末,8,)方程(a-2)x|a|-1+3=0是关于x的一元 一次方程,则a= ( ) A.2 B.-2 C.1 D.2,答案 B 由一元一次方程的定义得|a|-1=1且a-20,解得a=2且a2, 所以a=-2.,3.(2017山东滕州期末,7,)如果x=y,a为有理数,那么下列等式不一 定成立的是 ( ) A.1-y=1-x B.x2=y2 C. = D.ax=ay,答案 C 由等式的基本性质知A选项成立.由等式的基本性质2得B、 D选项成立.因为没有a0的条件,故C选项不一定成立.,1.(2018河南郑州实验学校第二次
19、月考,6,)下列方程的解是x=2的 是 ( ) A.4x+8=0 B.- x+ =0 C. x=2 D.1-3x=5,答案 B 将x=2代入各选项验证等式左右两边是否相等.,2.(2017陕西西安莲湖期末,15,)若x=2是方程ax+3bx-10=0的解,则 3a+9b的值为 .,答案 15,解析 将x=2代入方程ax+3bx-10=0, 得2a+6b-10=0,即2a+6b=10, 两边同除以2得a+3b=5. 则3a+9b=3(a+3b)=35=15.,3.(2017辽宁葫芦岛建昌二中月考,21,)用方程描述下列实际问题 中各数量之间的相等关系. (1)七年级某班为希望工程共捐款159元,
20、比平均每人捐3元多24元.这个 班的学生有多少人? (2)某市出租车的收费标准是:起步价为8元,路程 3千米内(含3千米)按起 步价收费,超过3千米后,每千米加收2元,某人乘出租车从甲地到乙地共 付费16元.求甲、乙两地的路程.,解析 (1)设这个班的学生有x人,根据题意可列方程为3x+24=159. (2)因为16元8元,所以甲、乙两地的路程大于3千米.设甲、乙两地的路 程为x千米.根据题意可列方程为8+2(x-3)=16.,答案 A 在等式左右两边同时除以2y(y0),可得 = ,故选A.,2.(2016辽宁大连中考,3,)方程2x+3=7的解是 ( ) A.x=5 B.x=4 C.x=3
21、.5 D.x=2,答案 D 利用等式的基本性质1.两边同减去3得2x=4,再利用等式的基 本性质2.两边同除以2得x=2.,答案 1,解析 因为关于x的方程3a-x= +3的解为2, 所以3a-2= +3,即3a=6,两边同除以3,得a=2, 所以a2-2a+1=4-4+1=1.,1.(2017浙江杭州中考改编,5,)有三个数x,y,c,下列说法正确的是 ( ) A.若x=y,则x+c=y-c B.若x=y,则xc=yc C.若x=y,则 = D.若 = ,则2x=3y,答案 B 当c0时,A不成立;无论c取何值,B都成立;当c=0时,C不成立; 若 = ,则3x=2y,故D不成立.此题选B.
22、,2.(2014云南曲靖中考,4,)某工厂采取节能措施,去年下半年与上 半年相比,月平均用电量减少2 000度,全年用电15万度,如果设上半年每 月平均用电x度,则所列方程正确的是 ( ) A.6x+6(x-2 000)=150 000 B.6x+6(x+2 000)=150 000 C.6x+6(x-2 000)=15 D.6x+6(x+2 000)=15,答案 A 上半年每月平均用电x度,那么下半年每月平均用电(x-2 000) 度,由题意得6x+6(x-2 000)=150 000,故选A.,1.某通讯公司推出两种手机付费方式:甲种方式不交月租费,每通话1分 钟付费0.15元;乙种方式需
23、交18元月租费,每通话1分钟付费0.10元.两种 方式不足1分钟均按1分钟计算. (1)如果一个月通话x分钟,那么用甲种方式应付话费多少元?用乙种方 式应付话费多少元? (2)如果求一个月通话多少分钟时两种方式的费用相同,可以列出一个 怎样的方程?它是一元一次方程吗?,解析 (1)甲种方式应付话费0.15x元,乙种方式应付话费(18+0.10x)元. (2)0.15x=18+0.10x,是一元一次方程.,2.a、b、c三个物体的质量关系如图5-1-2所示:图5-1-2 回答下列问题: (1)a、b、c三个物体就单个而言哪个最重? (2)若天平一边放一些物体a,另一边放一些物体c,要使天平平衡,
24、天平两 边至少应该分别放几个物体a和物体c?,解析 (1)根据题图知2a=3b,2b=3c. 则a= b,b= c,进而有a= c, 因为 c cc,所以abc, 所以a、b、c三个物体就单个而言,a最重. (2)由(1)知a= c,即4a=9c, 所以若天平一边放一些物体a,另一边放一些物体c,要使天平平衡,则天 平两边至少应该分别放4个物体a和9个物体c.,小明设计了一个问题,分三步完成: (1)已知关于x的一元一次方程(a-2)x|a|-1+8=0,求a的值,并在数轴上标注a 与x2对应的点,分别记作A、B; (2)在(1)的条件下,在数轴上另有一点C对应的数为y,C与A的距离是C与 B
25、的距离的5倍,且C在A、B两点之间,求y的值; (3)请结合(1)(2)提供的条件和图,在图中的9个方格内填上恰当的 数,使每一行、每一列、每条斜对角线上的三个数的和都相等.,图,图,解析 (1)由一元一次方程的定义得,|a|-1=1,a-20,所以a=-2, 则关于x的一元一次方程为-4x+8=0,两边同时加上4x,得8=4x,再两边同 时除以4,得x=2,则x2=4, 故A表示的数为-2,B表示的数为4. 在数轴上表示如图所示:(2)依题意有y-(-2)=5(4-y),即y+2=20-5y,由等式的基本性质得y=3. (3)设最下面一行中间位置的数为m,则最下面一行的和为m+1,则由斜对 角线上的数的和及每列数的和为m+1,可得最上面一行方格内的数从左 到右依次为m-1,-3,m-6,如图a.依题意有m-1-3+m-6=m+1,即2m-10=m+1, 得m=11.,完成方格如图b所示.,图a,图b,
